3.1 导数的概念及意义、导数的运算 课件-2025届高三数学一轮复习

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[课程标准要求] 1.了解导数概念的实际背景,能通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3, 的导数.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数,并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
定义:如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 ,即f′(x0)= = .
定义的变化形式:f′(x0)= .
2.函数y=f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个 的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′= .
3.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 的斜率k0,即k0= = .
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.
4.基本初等函数的导数公式
函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.
5.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)g(x)]′= ;
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
6.复合函数的导数一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x= .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　 　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　 　)(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.(　 　)(4)若f(x)=-sin x,则f′(x)=cs(-x).(　 　)
解析:因为(x-2)′=-2x-3,所以A错误;(xcs x)′=cs x-xsin x,所以B正确;(ln 10)′=0,所以C错误;(e2x)′=2e2x,所以D错误.故选B.
3.(选择性必修第二册P81习题5.2 T6改编)已知函数f(x)=2xf′(1)+xln x,则f′(1)等于(　 　)A.eB.1C.-1D.-e
解析:f′(x)=2f′(1)+ln x+1,当x=1时,f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.故选C.
所以k=y′|x=-1=5,
从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.
考点一　导数的概念与运算[例1] (1)(2024·北京模拟)下列结论正确的是(　　)
B.若y=sin x2,则y′=2xcs x2C.若y=cs 5x,则y′=-sin 5x
对于B,y=sin x2,则y′=2xcs x2,故正确;对于C,y=cs 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;
(2)已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,则a=　　　　. 
所以f′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,则a=e2.
(1)导数的运算的原则:先化简解析式,使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导.(2)导数的运算的方法:①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;⑥复合函数:明确复合关系,由外向内,层层求导.
[针对训练] 函数f(x)=x(x-1)·(x-2)·…·(x-5),则f′(0)=　　　　. 
解析:因为f′(x)=(x)′·[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]+[(x-1)·(x-2)·…·(x-5)]′·x=(x-1)(x-2)·…·(x-5)+[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]′·x,所以f′(0)=(0-1)×(0-2)×…×(0-5)+0=-120.
考点二　导数的几何意义及应用角度一　求切线方程
(2)设曲线y=x+ln x的一条切线过点(0,1),则此切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)
在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0,y0)的切线方程,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.(1)在点P处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(2)求过点P的切线方程的步骤为:第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步:写出在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度二　求参数的值或范围[例3] (1)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
解析:(1)因为y′=aex+ln x+1,所以切线的斜率k=y′|x=1=ae+1,所以切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1.又切线方程为y=2x+b,
即a=e-1,b=-1.故选D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　 　　. 
解析:(2)因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.
(-∞,-4)∪(0,+∞)
O为坐标原点,由题意,
因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,
所以Δ=a2+4a>0,解得a0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
角度三　公切线问题[例4] 已知函数f(x)=xln x,g(x)=x2+ax(a∈R),若经过点A(0,-1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切,则a等于(　　)A.0B.-1C.3D.-1或3
解析:设直线l与f(x)的图象相切于点(x1,y1).因为f(x)=xln x,所以f′(x)=ln x+1,y1=f(x1)=x1ln x1,则直线l的方程为y-x1ln x1=(ln x1+1)(x-x1),又点A(0,-1)在直线l上,所以-1-x1ln x1=(ln x1+1)·(0-x1),解得x1=1,所以y1=0,因此直线l的方程为y=x-1.直线l与g(x)的图象相切,所以x2+ax-x+1=0,Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3.故选D.
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心,解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练](1)(角度二)(2024·河北唐山模拟)若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切,则k等于(　　)
解析:(1)令y=f(x)=1+3ln x,所以f′(x)= ,
设切点为(m,1+3ln m),则切线的斜率k=f′(m)= ,即曲线在点(m,1+3ln m)处的切线方程为y-(1+3ln m)= (x-m),
即y= x+3ln m-2,因为直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切,所以3ln m-2=-2,所以m=1,又 =k,所以k=3.故选A.
(2)(角度一)(2024·河北保定模拟)函数f(x)= +ln x 的图象在点(1,f(1))处的切线的方程为　　　　 　. 
(3)(角度三)已知直线l:y=x+b为曲线f(x)=ex的切线,若直线l与曲线g(x)= 也相切,则实数m的值为　　　　. 
解析:(3)设直线l:y=x+b与曲线f(x)=ex相切于点(x0, ),由f′(x0)= =1,得x0=0,所以切点坐标为(0,1),所以直线l的方程为y=x+1.又由直线l与曲线g(x)相切,联立方程,消去y得 =x+1,化简得x2-2(m-1)x+9=0,所以Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=4或m=-2.
考点三　导数与原函数的图象[例5] 函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是(　　)A.0