湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（5*8=40）
1. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据空间向量共面基本定理可得结果.
【详解】由于，，，
由空间向量共面基本定理知，，，均与共面，
不能构成一组基底，故ABD均错误.
故选：C.
2. 若方程表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. .D.
【答案】A
【解析】
【分析】圆的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】表示圆，
则，解得.
故选：A
3. 已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的倾斜角，然后求得直线的斜率，然后利用点斜式即可得解.
【详解】直线的倾斜角为，直线与直线的倾斜角互余，所以直线的倾斜角为
所以．
又直线过点，代入点斜式方程得．
故选：B
4. 圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ）
A 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得.
【详解】圆：，圆心为，半径为；
圆：，圆心为，半径为；
圆心距，，两圆相交，
联立两圆方程，得，
即公共弦所在直线的方程为，
故圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为：.
故选：D.
5. 如图所示，直线与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得.
【详解】对于A，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误；
对于B，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误；
对于C，由的图象，可知，，即，，
此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确；
对于D，由的图象，可知，，即，，
而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误.
故选：C.
6. 直线等分圆的周长，则的最小值为（ ）
A 9B. 4
C. 6D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】圆心坐标代入直线方程得关系，然后利用基本不等式求最小值．
【详解】由题意圆心坐标为，且圆心在直线上，所以，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：A．
7. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312
【答案】A
【解析】
【分析】由独立事件概率乘法公式可得.
【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件，
由题知，
则3人中至少有2人投中的概率为：
.
故选：A.
8. 如图，在正方体中，分别为中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
二、多选题（6*3=18）
9. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A. 若，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点2,3
B. 若两直线与平行，则实数的值为1
C. 若，则直线不经过第二象限
D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与与轴截距，得到C正确；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数的取值范围.
【详解】A选项，，
故直线恒过定点2,3，A正确；
B选项，两直线与平行，则，
解得或，
当时，两直线与满足要求，
当时，两直线与满足要求，
综上，或，B错误；
C选项，若，则直线变形为，
直线斜率，与轴截距为
直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确；
D选项，直线，直线经过定点，
画出坐标系，如下：

其中，，
则要想直线与线段相交，则直线斜率或，
解得或，D错误.
故选：AC
11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线l与圆C相交B. 的最小值为
C. 四边形面积的最小值为4D. 存在点，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合点到直线距离公式及切线长定理，逐项分析判断即可.
【详解】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，四边形面积：
，
当且仅当时取等号，因此四边形面积的最小值为，C正确；
对于D，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，D错误.
故选：BC
三、填空题（5*3=15）
12. 圆与圆的位置关系为________
【答案】相交
【解析】
【分析】求出两圆圆心距、两半径和与差，再进行比较即可确定两圆位置关系
【详解】圆的圆心坐标为，半径
圆的圆心坐标为，半径
则圆心距
又，
所以两圆位置关系为相交．
故答案为：相交
13. 已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点，当三点共线时，最小.
【详解】由题意可得点与在直线的同侧，故设点关于的对称点.
则有，解得，
则.
当点为和直线交点时，即三点共线时，最小，最小值为.
故答案为：.
14. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故答案为：.
四、解答题（15+15+13+17+17）
15. 某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1），
（2）众数为，平均数为69.5，分位数为71.7
（3）
【解析】
【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求的值；
（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；
（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.
【小问1详解】
因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以.
【小问2详解】
众数为
平均数为，
前两个分组频率之和0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为.
【小问3详解】
第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，
则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，
则从这5人中选出2人，有共10种结果，
两人来自不同组有共4种结果，
所以两人来自不同组的概率为.
16. 已知平面内两点.
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程；
（2）若，求的边AB上的中线所在直线方程；
（3）已知直线m过点，且与平行，求直线m的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两直线垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程整理即得；
（2）先求出边边的中点坐标，再利用点斜式方程整理即得；
（3）由两直线平行求出直线m的斜率，再由点斜式方程整理即得.
【小问1详解】
由可得直线的斜率为,
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
【小问2详解】
由可得边的中点，
故直线的斜率为,
则所在直线方程为，即；
【小问3详解】
由（1）已得，
直线与平行，故其斜率为，
则直线m的方程为，即.
17. 已知直线过定点．
（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解；
（2）设Mx,y，，根据条件得到，代入即可求解.
【小问1详解】
因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
【小问2详解】
设Mx,y，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为.
18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可；
（2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；
（3）利用线面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面.
【小问2详解】
设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量,
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问3详解】
设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为，
，
解得，此时的长度为.
19. 已知的圆心在x轴上，经过点和．
（1）求的方程；
（2）过点的直线l与交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
【答案】（1）
（2）①或；②.
【解析】
【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；
在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；
②分析可知，当时，AB取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【小问1详解】
设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.