湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】因为，所以，
图中阴影部分表示的集合中除去，
故阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2. 下列各式正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.
【详解】对于①，元素与集合的关系用符号，应为，故①错误；
对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；
对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；
对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，故④错误；
所以正确的个数有2个.
故选：A.
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题否定即可解答.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
它的否定是存在量词命题，即，，
故选：B.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明AB是错误的，利用作差法可证C是错误的，利用不等式的性质可证D是正确的.
【详解】对A：当时，由，故A错误；
对B：当，，则满足，但不成立，故B错误；
对C：根据不等式的性质，若，则b+ma+m−ba=ab+m−ba+maa+m=ma−baa+m>0，
也就是，故C错误；
对D：若且，则即，故D正确.
故选：D
5. 已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到或，使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，从而得到答案.
【详解】，解得或，
故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，
其中满足要求，其他选项不满足.
故选：A
6. 已知集合，若为单元素集合时，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；
【详解】因为集合，若为单元素集合，
则方程组只有唯一解，
所以，整理可得，
当时，方程变为，此时，符合题意；
当时，，
所以或，
故选：C.
7. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A. 6钱B. 7钱C. 8钱D. 9钱
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
8. 对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（ ）
A. 若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B. 若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C. 若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D. 若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论．
【详解】，，集合无公共元素，
选项A中，集合为空集，没有真子集，A错；
选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确；
选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错；
选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错．
故选：B．
二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 已知集合A={1，2，}，B={1，}，若，则a的可能取值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】BD
【解析】
【分析】利用，可得或，再验证即可．
【详解】因为，
又集合，2，，，，
所以或，
解得或或，
当时，不满足集合元素的互异性，
所以或．
故选：BD．
10. 已知实数x，y满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式的性质直接求解.
【详解】因为，，则，，故A、C正确；
由题，故，B错误；
，则，故，D正确；
故选：ACD.
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.
【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知集合，写出一个满足的集合：_____________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】写出满足的集合即可.
【详解】解：根据题意，只要是满足的集合即可
所以
故答案为：
13. 已知命题是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】写出命题的否定为真命题，得到，求出，得到实数的取值范围.
【详解】由题意，命题¬p:∀x∈1,2,x2−2x−a>0是真命题，
所以，
其中，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
14. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断的关系及的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.
【详解】解：关于的不等式的解集为，
所以，且和1是关于的方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，
解得，
所以，因为，所以
即
故答案为：.
四､解答题（共5小题，满分77分）
15 已知集合，或x≥4．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解；
（2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，集合，
因为集合或x≥4，所以或.
【小问2详解】
解：由集合或x≥4，可得，
因为，且 “”是“”充分不必要条件，
可得，则，解得，即实数的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；
（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.
【小问1详解】
即为，
所以不等式对于任意x∈R恒成立，
当时，得，显然符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
【小问2详解】
不等式即为，
即．
又，不等式可化为，
若，即时，得或，即解集为或；
若，即时，得，即解集为；
若，即时，得或，即解集为或．
综上可知，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
17. 根据要求完成下列问题：
（1）已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（2）已知，比较与的大小并说明理由；
（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值．
【答案】（1）不存在，理由见解析
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由基本不等式说明即可；
（2）用作差法比较大小即可；
（3）由（2）的结论得，即可求解．
【小问1详解】
不存在，∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴不存在、使得．
【小问2详解】
，证明如下：
，
当且仅当时等号成立，
∴．
【小问3详解】
由（1）得，
∴，
∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最大值为．
18. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.
【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；
（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.
（2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值.
【小问1详解】
依题意，生产每吨产品的平均成本为，
而，当且仅当，即时取等号，
所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.
【小问2详解】
设利润为，则，
而，因此当时，，
所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.
19. 已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合具有性质，求证：；
（3）若集合具有性质，求的最大值.
【答案】（1）集合具有性质；集合不具有性质；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.
（2）确定，变换，计算得到证明.
（3）确定，得到，确定，再根据均值不等式计算最值得到答案.
【小问1详解】
，则；
；，
故集合具有性质；
，故，
故集合不具有性质；
【小问2详解】
，
故，故，即，
集合具有性质，故，
【小问3详解】
集合具有性质，则，，，，
，
故，
又，故，即，，，
当为偶数时当且仅当，即时等号成立，
当奇数时等号不成立，，故，即，
故，
综上所述：，故最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.