湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知直线，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线和直线的位置关系为
A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直
2.已知向量，，且，则x=
A.-3B.-1C.1D.0
3.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为
A.0B.C.D.
4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为
5.如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则
A.B.C.6D.
6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
A.B.C.D.
7.若平面内两条平行直线与间的距离为，则实数a=
A.B.2C.或2D.或1
8.在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则
A.B.C.D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线，则
A.l不过原点B.l在x轴上的截距为
C.l的斜率为D.l与坐标轴围成的三角形的面积为
10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是
A.B.
C.事件C与D互斥D.事件A与事件D相互独立
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是DD1，A1B1，CD，BC的中点，则下列说法正确的有
A.E，F，G，H四点共面B.BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M，使得MC1⊥平面EFG
D.在线段A1B上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的方程为，则坐标原点到直线l的距离为________.
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________.
14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为偶数，则的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点，，B，C关于原点O对称.
（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；
（2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，点D满足.
（1）用表示；
（2）若三棱锥A1-ABC的所有棱长均为2，求及.
17.（本小题满分15分）
在菱形ABCD中，，AB=2，将菱形ABCD沿着BD翻折，得到三棱锥A-BCD如图所示，此时.
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若点E是CD的中点，求直线BE与平面ABC所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和.假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响.
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率.
19.（本小题满分17分）
在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点，且方向向量为（）的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为（）的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中.
（1）求经过，的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，，证明：；
（3）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1所在平面经过三点，，，侧面BCC1B1所在平面的一般式方程为，侧面ACC1A1所在平面的一般式方程为，求平面ABB1A1与平面ACC1A1的夹角大小.
宜昌市协作体高二期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 直线和直线的斜率分别为，-2，因为，所以.故选A.
2.C 因为，故，即.故选C.
3.D 因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，又，所以，因为，所以.故选D.
4.C 设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，
，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C.
5.B 因为，所以，则
，所以.故选B.
6.D 依题意，向量在向量上的投影向量为，所以投影向量的坐标为.故选D.
7.A ①当时，可得，，由，则此时不符合题意；②当时，可得直线l1的斜率，直线l2的斜率，由，整理可得，则，解得或，当时，可得，，整理l2的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意：当时，可得，，整理l2的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意.综上可得.故选A.
8.B 在正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，又PA=1，，所以，所以PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面ABC的法向量为，则令，则，所以，则点O到平面ABC的距离，所以.故选B.
9.ACD 因为，所以l不过原点，所以A正确；令，得，所以l在x轴上的截距为，所以B错误；把化为，所以l的斜率为，所以C正确；把化为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，所以D正确.故选ACD.
10.ABD 样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则，，A正确；事件C包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则，B正确；事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误：，由，得A，D相互独立，D正确.故选ABD.
11.AD 以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以解得故，即E，F，G，H四点共面，故A正确；因为，，所以，所以BD与EF所成角的大小为，故B错误；假设在线段BD上存在点M，符合题意.设，则，若MC1⊥平面EFG，则，.因为，，所以此方程组无解，所以在线段BD上不存在点M，使得MC1⊥平面EFG，故C错误；因为，所以A1B//EG，又平面EFG，平面EFG，所以A1B//平面EFG，故A1B上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离，是定值，又△EFG的面积是定值，所以在线段A1B上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值，故D正确.故选AD.
12. 方法一：直线l过点与，记到直线l的距离为d，则在△AOB中，，而，，，所以.
方法二：直线l的方程改写为，由点到直线的距离公式，原点到直线l的距离为.
13. 以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直线坐标系Axyz，则，，，设与BD1，CD都垂直的一个向量，且，，取，则，，所以，所以直线BD1与CD之间的距离为.
14. 这个试验的等可能结果用下表表示：
共有12种等可能的结果，其中的结果有6种，所以的概率为.
15.解：（1）因为B，C关于原点O对称，所以，1分
，2分
所以BC边上高所在直线的斜率为，3分
因为，所以BC边上高所在直线的方程为，
所以BC边上高所在直线的一般式方程为.5分
（2）因为过点B的直线l平分△ABC的面积，
所以直线l经过边AC的中点，7分
又，所以直线l的方程.13分
16.解：（1）因为，
所以，2分
所以
.7分
（2）因为三棱锥A1-ABC的所有棱长均为2，
所以，，9分
，11分
又
.13分
所以
.15分
17.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，，所以△BAD与△BCD均为正三角形，
取BD的中点O，连结OA，OC，则OA⊥BD，2分
因为AB=2，所以，
因为，所以OA⊥OC，4分
又，BD，平面BCD，所以OA⊥平面BCD.5分
因为平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.6分
（2）解：由（1）可知，OA，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
因为E是CD的中点，所以，所以，，，9分
设为平面ABC的一个法向量，则
令，得，，所以.11分
，13分
设直线BE与平面ABC所成角为，则，所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为.15分
18.解：（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件M，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是.5分
（2）记“甲答对第i个问题”为事件，“乙答对第i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件
，
所以
，
即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是.11分
（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件
，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是.17分
19.（1）解：由，得，直线AB的方向向量为，1分
故直线AB的点方向式方程为.3分
（2）证明：由平面可知，平面的法向量为，4分
由平面可知，平面的法向量为，5分
设交线l的方向向量为，则，，6分
即令，解得，，故，8分
又平面的法向量为，
，9分
因为，所以.10分
（3）解：设侧面ABB1A1所在平面的法向量，11分
因平面经过三点，，，则，，
所以即令，解得，，12分
故平面的法向量，
平面的法向量为，
由（2）可求得平面与平面的交线的方向向量为，14分
平面的法向量为，
由，
解得，则，15分
所以，16分
故平面ABB1A1与平面ACC1A1夹角的大小为.17分a
1
1
3
3
5
5
1
1
3
3
5
5
b
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
8
c
3
5
5
1
1
3
3
5
5
1
1
3
d
8
8
8
8
8
8
2
2
2
2
2
2
e
5
3
1
5
3
1
5
3
1
5
3
1