湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.近年来，新能源行业迎来了爆发式增长，新能源不仅环保，而且发展潜力巨大.下列能源产业图标中，是中心对称图形的是（ ）.
A.B.C.D.
2.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）.
A.B.C.D.
3.图形经过旋转变换后所具有的性质是（ ）.
A.形状不变，大小改变B.大小不变，形状改变
C.形状和大小都不变D.形状和大小都改变
4.如图，绕点A逆时针旋转60°得到，若，则（ ）.
A.90°B.100°C.110°D.120°
5.已知二次函数解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ）.
A.B.C.D.
6.如图，在中，，则的度数为（ ）.
A.130°B.135°C.140°D.150°
7.下列函数关系中，是二次函数的是（ ）.
A.生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系
B.当速度为100km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系
C.长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系
D.圆的面积s与半径r之间的关系
8.已知一正多边形的一个外角等于72°，则该正多边形的中心角等于（ ）.
A.144°B.120°C.108°D.72°
9.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）.
A.且B.C.且D.
10.已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（ ）.
A.若直线与函数图象至少有3个公共点，则m的取值范围是
B.图象与坐标轴的交点为和
C.当或时，函数值y随x值的增大而减小
D.当时，函数有最大值是4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.若是方程的根，则______.
12.若点与点关于原点对称，则______.
13.已知的半径为5，若点P在外，则OP_______5（填“＞”、“<”、“=”）.
14.如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是______.
15.如图，AB、BC、CD、DA都是的切线，，，则______.
16.学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度h（单位：m）满足关系式，其中t（单位：s）是物体运动的时间，（单位：m/s）是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为21m时，t的值为______s.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解下列方程：（1）（2）
18.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径.
19.已知二次函数的图象关于y轴对称，且经过点和点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该抛物线与x轴的交点坐标.
20.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）绕点O旋转180°后得到，则点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出绕点A逆时针旋转90°后得到的；
（3）在第（2）问的条件下，计算点C的运动轨迹的长度.
21.已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求m的值.
22.美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加.该市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化面积达到14.4万亩.若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题：
（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；
（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现.
23.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，点D在弧AC上，点P为线段AB延长线上一点，连接AC、BD、CD、BC、PC，已知.
（1）求证：PC为半圆O的切线；
（2）若四边形CDBP为平行四边形，求的度数.
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知的半径为2，且与y轴、x轴的正半轴分别交于点A、B，点P是该坐标平面内一点，给出如下的定义：①若在上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为的“集团点”；②若点P（点P不在直线AB上）关于直线AB的对称点在上或其内部，则称点P为的“明德点”；③若点P同时满足条件①②，则称点P为的“明德集团点”.
（备用图）
（1）在点，，中，的“明德集团点”是______；
（2）若点P是的“集团点”，点P所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积：当点P在直线上时，求点P的纵坐标的取值范围；
（3）若点P是的“明德点”，且，求点P的横坐标的最大值.
25.已知二次函数（b，c是常数）.
（1）当是二次函数图象上的点时，求代数式的值；
（2）若二次函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最大值；
（3）若二次函数的表达式可以写成（m是常数，且）的形式，该函数图象与x轴交于B、C两点（点B在点C左侧），已知点D、点E都是该抛物线对称轴上的点，点D位于第一象限，且，点F是点O关于该抛物线的对称轴对称的点，连接FD并延长交y轴于点G，连接BG.当的周长的最小值等于时，求此时m的值.
九年级期中考试参考答案
数学试卷24-25学年第一学期
1-5 BBCCA 6-10 CDDCC
11.4； 12.； 13.> 14.； 15.2； 16.3或7
17.解：（1） ，，
（2），，，
18.解：OE为高，且OE过圆心，OE平分CD，又，.
设圆的半径是x米，则，在中，，
即：，解得：
即此门洞的半径OC的长度是米.
19.（1）解：设这个二次函数的解析式为
把分别代入中得：
解得，，这个二次函数的解析式为
（2）解：当时，，解得或
这个二次函数与x轴的交点为和
20.（1）、
（2）
（3），弧长
21.解：（1）恒成立，
此方程总有实数根
（2）根据韦达定理得：，，
有：解得：
22.（1）解：设年平均增长率为x，依题意得：，
解得：
答：绿化面积的平均增长率为20%；
（2）解：2026年的绿化面积为万亩，
该目标能实现.
23.（1）如图，连接OC ，

AB是圆O的直径
PC为半圆O的切线
（2）四边形CDBP是平行四边形
设为 又，且
即为30°
24.解：（1）由点P是的“集团点”得：点P在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即.
，，
，是的“集团点”
根据对称性，由点P是的“明德点”得点P必在关于直线AB的对称圆上或其内部（不含A、B两点）
，，
只有是的“明德集团点”，
故答案为：；
（2）“集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域
点P在直线上
设，令，解得：；
令，解得：
点P的纵坐标的取值范围为：或
（3）取AB中点为H，连接DH，，，
点P在以H为圆心，HA为半径的圆上 又点P是的“明德点”
点P位于AB上方的半圆上运动（不包括端点A、B），
当过点P作平行于y轴的切线时，即轴时，点P横坐标最大，
点P的横坐标的最大值为
故答案为：.
25.解：（1）把代入，得：，即
（2）把化成一般式得，
.，.
.
把的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向下，有最大值，
当时，的最大值是5.
（3）由题意得：、，抛物线对称轴为直线，则
设点，由得：从而得：
又由对称轴垂直平分线段OF，且平行于y轴，
则由三角形中位线逆定理得：
在中，，
点C是点B关于函数对称轴的对称点，
连接CG交对称轴于点E，即C、E、G三点共线时，则点E即为所求点.
理由是：，即
则，解得
，故