高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品同步测试题

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一．函数的零点
1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
二.函数零点存在定理
1.条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
2.结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
3.零点存在定理注意事项
①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；
②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数.
三.二分法
1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
四．常见的函数模型
一．求函数零点的两种方法
1.代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
2.几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
二．确定函数f(x)零点所在区间
1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
三．判断函数零点个数的常用方法
1.利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
2.画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
3.结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
4.转化成两个函数图象的交点问题.
四．已知函数有零点(方根有根)求参数值
1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
2.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
3.数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.
五．运用二分法求函数的零点应具备的条件
1.函数图象在零点附近连续不断.
2.在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
考点一 函数的零点
【例1】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安）函数的零点为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023秋·福建莆田）设函数，则方程的解集为 .
3．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)；(2)；(3)；(4).
考点二 零点的区间
【例2-1】（2023·全国·高一课堂例题）方程的根所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2020秋·陕西渭南 ）已知函数的零点位于区间内，则 .
【一隅三反】
1．（2023春·安徽亳州·高一校考期中）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）若是函数的零点，则属于区间（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2024秋·内蒙古呼和浩特· ）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三 零点个数
【例3-1】6（2023秋·高一课时练习）方程解的个数为 .
【例3-2】（2023·全国·高一课堂例题）若方程有一解，则的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一课堂例题）方程的实根的个数为 （ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）函数的零点个数为 .
3．（2023·陕西渭南）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 .
4．（2023湖南）已知函数，，且有三个零点，则实数k的取值范围是 ．
考点四 比较零点的大小
【例4】（2022秋·四川绵阳·高一四川省绵阳实验高级中学校考期末）设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·浙江温州）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·福建福州 ）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）．
A．B．C．D．
考点五 零点之和
【例5-1】（2023安徽）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（ ）
A．2B．1C．0D．
【例5-2】（2023秋·河北保定·高一保定市第三中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023福建）若是二次函数的两个零点，则= .
2．（2023·贵州毕节 ）已知函数，则函数的所有零点之和为 ．
3．（2023秋·四川成都 ）已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ）
A．4B．3C．2D．
考点六 二分法
【例6-1】（2023秋·江苏淮安）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7B．6次0.6
C．5次0.7D．5次0.6
【例6-2】（2023秋·高一课时练习）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（ ）
A．B．
C．D．
【例6-3】（2023秋·高一课时练习）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·高一课时练习）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A．B．
C．D．
3（2023秋·高一课时练习）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次，B．6次，
C．7次，D．7次，
4．（2023·全国·高一课堂例题）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
考点七 函数模型的应用
【例7-1】（2023·辽宁大连 ）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年
【例7-2】（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱
B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可
C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加0.7元
【一隅三反】
1．（2023·四川遂宁）在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以万元的优惠价转让给了尚有万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图所示；③每月需各种开支元.当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额.

2．（2023·全国·高一课堂例题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．

(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）（x0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483