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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀随堂练习题，文件包含人教版高中数学必修一精讲精练57三角函数的应用精练原卷版docx、人教版高中数学必修一精讲精练57三角函数的应用精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
2．（2023春·陕西西安·高一校考期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A．100mB．C．D．
【答案】A
【解析】设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R，
由圆的切线的性质可得：，，
则，，
所以，可得，
即，
又因为，
，
所以，
所以，
所以球的直径.
故选：A.
3．（2022春·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的周期为，所以，
由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为，
因为初始位置为点，所以当时，，
所以，所以可能取，
所以，
故选：D
4．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（ ）（参考数据：，）
A．441量B．159量C．473量D．127量
【答案】A
【解析】由题意可得，可得，
解得，所以，
当时，
（量）.
故选：A.
5．（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（ ）
A．、、
B．当时，点到轴距离的最大值是
C．当时，函数单调递减
D．当时，
【答案】C
【解析】A选项：
有题意，，，
因从点出发，所以，
代入得，
得，因，所以，故A正确，
选项B：
由A得，，
当时，，
所以，
故点到轴距离的最大值是，B正确；
选项C：
因，
令，，
得，，
故当时，函数不是单调递减的，C错误；
选项D：
当，，
故，，故D正确，
故选：C
6．（2023春·云南）（多选）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（ ）
A．频率为
B．初相位或
C．振幅
D．当时，小球第三次回到平衡位置
【答案】ACD
【解析】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确；
B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误；
C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确；
D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确.
故选：ACD．
7（2023春·四川成都·高一校考期中）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s
【答案】CD
【解析】对于A，D，由题图可知，质点的运动周期为，所以A错，D正确；
对于B，C，由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故B错，C正确．
综上，CD正确．
故选：CD.
8．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．
【答案】 4
【解析】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.
9．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】依题意设，则，周期，又，解得，所以.
故答案为：.
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因为，所以，所以，
由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，
当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得
则，
因为，可得，当或时，取最小值；
当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，
此时函数在上先增后减，此时，
不妨设，则
，
.
综上可得，最小值为.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数（其中，，）的图象如图所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程．则
①质点运动的圆形轨道的半径为 米；
②质点旋转一圈所需的时间 秒；
③函数的解析式为： ；
④图中，质点首次出现在直线上的时刻 秒．
【答案】
【解析】
已知函数（其中，，）的图象如图所示，
结合解析式与图象得到，
因为，所以，因为，所以，
因为在处取到最大值，所以，（），
因为，解得，
所以解析式为.
因为图象刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程，
所以振幅就是圆的半径，得到半径为米，
质点旋转一圈所需的时间就是一个周期，因为，所以周期为，所以秒，
因为图中，质点首次出现在直线上的时刻就是函数在上最左侧的零点，
所以，解得秒.
故答案为：；；；．
12．（2023·重庆 ）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm.
【答案】
【解析】由题意，且最小正周期，即，故，
所以，且，即，
不妨令，故，
当，则.
故答案为：
13（2023春·浙江温州·高一校联考期中）如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)，
(2)1
【解析】（1）由题意可知：，
所以，又，得到，即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，
即，又，所以，
故，
当时，，所以时点P距离地面的高度为85.
（2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，
由（1）知，得到，即，得到，
所以， 又，
所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.
14．（2023春·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？
【答案】(1)；
(2)在0时至4时或12时至16时进出港.
【解析】（1）由表格知，，则，，
函数的周期，则，即有，又，
即，而，则，
所以．
（2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港，
由，得，解得，
即，而，因此当时，；当时，，
所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港.
15．（2023春·广东佛山·高一统考期中）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），为当地的纬度值.
(1)若，，求的值，并直接写出用，表示的关系式；
(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；
(3)设第天时太阳直射点的纬度平均值为.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断与近似满足函数，经计算，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日?
(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.
【答案】(1)，；
(2)表格见解析；
(3)6月21日；
(4)97.
【解析】（1）由题意得，
，，间的关系式为.
（2）根据可得：
（3）因为周期，所以春分到夏至需要天，
3月、5月有31天，4月、6月有30天，所以夏至大概是6月21日.
（4）因为，故应在400年中设定97个闰年.
16．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期中）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（，单位：h）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：
经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象．
(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
【答案】(1)图见解析，
(2)一天中有8小时不允许这种货车通行
【解析】（1）散点图，如图：
依题意，，，
，解得：，当时，y取最大值，则，
而，于是，
所以函数的近似解析式为.
（2）若车流量超过4千辆时，即，则，
解得，，即，，而，
因此和满足条件，共有，
所以一天中有8小时不允许这种货车通行.
17．（2023春·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.
(1)求d与时间t（单位：s）之间函数关系
(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象
【答案】(1)；
(2)图象见解析
【解析】】（1）由题意，
所以，，
因为逆时针方向每分转2圈，所以,
因为时，，所以，即，
又，所以
，所以；
（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，
列表如下
描点连线，图象如图.
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深（米）
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
观测站
A
B
C
观测站所在纬度/度
40.0000
23.4393
0.0000
观测站正午太阳高度角/度
66.3870
82.9464
73.6141
太阳直射点的纬度/度
16.3857
16.3859
太阳直射点的纬度平均值/度
观测站
A
B
C
观测站所在纬度度
40.0000
23.4393
0.0000
观测站正午太阳高度角度
66.3870
82.9464
73.6141
太阳直射点的纬度度
16.3870
16.3857
16.3859
太阳直射点的纬度平均值度
16.3862
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
x
0
1
0
0
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
2．（2023春·陕西西安·高一校考期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A．100mB．C．D．
【答案】A
【解析】设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R，
由圆的切线的性质可得：，，
则，，
所以，可得，
即，
又因为，
，
所以，
所以，
所以球的直径.
故选：A.
3．（2022春·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的周期为，所以，
由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为，
因为初始位置为点，所以当时，，
所以，所以可能取，
所以，
故选：D
4．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（ ）（参考数据：，）
A．441量B．159量C．473量D．127量
【答案】A
【解析】由题意可得，可得，
解得，所以，
当时，
（量）.
故选：A.
5．（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（ ）
A．、、
B．当时，点到轴距离的最大值是
C．当时，函数单调递减
D．当时，
【答案】C
【解析】A选项：
有题意，，，
因从点出发，所以，
代入得，
得，因，所以，故A正确，
选项B：
由A得，，
当时，，
所以，
故点到轴距离的最大值是，B正确；
选项C：
因，
令，，
得，，
故当时，函数不是单调递减的，C错误；
选项D：
当，，
故，，故D正确，
故选：C
6．（2023春·云南）（多选）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（ ）
A．频率为
B．初相位或
C．振幅
D．当时，小球第三次回到平衡位置
【答案】ACD
【解析】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确；
B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误；
C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确；
D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确.
故选：ACD．
7（2023春·四川成都·高一校考期中）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s
【答案】CD
【解析】对于A，D，由题图可知，质点的运动周期为，所以A错，D正确；
对于B，C，由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故B错，C正确．
综上，CD正确．
故选：CD.
8．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．
【答案】 4
【解析】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.
9．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】依题意设，则，周期，又，解得，所以.
故答案为：.
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因为，所以，所以，
由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，
当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得
则，
因为，可得，当或时，取最小值；
当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，
此时函数在上先增后减，此时，
不妨设，则
，
.
综上可得，最小值为.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数（其中，，）的图象如图所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程．则
①质点运动的圆形轨道的半径为 米；
②质点旋转一圈所需的时间 秒；
③函数的解析式为： ；
④图中，质点首次出现在直线上的时刻 秒．
【答案】
【解析】
已知函数（其中，，）的图象如图所示，
结合解析式与图象得到，
因为，所以，因为，所以，
因为在处取到最大值，所以，（），
因为，解得，
所以解析式为.
因为图象刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程，
所以振幅就是圆的半径，得到半径为米，
质点旋转一圈所需的时间就是一个周期，因为，所以周期为，所以秒，
因为图中，质点首次出现在直线上的时刻就是函数在上最左侧的零点，
所以，解得秒.
故答案为：；；；．
12．（2023·重庆 ）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm.
【答案】
【解析】由题意，且最小正周期，即，故，
所以，且，即，
不妨令，故，
当，则.
故答案为：
13（2023春·浙江温州·高一校联考期中）如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)，
(2)1
【解析】（1）由题意可知：，
所以，又，得到，即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，
即，又，所以，
故，
当时，，所以时点P距离地面的高度为85.
（2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，
由（1）知，得到，即，得到，
所以， 又，
所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.
14．（2023春·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？
【答案】(1)；
(2)在0时至4时或12时至16时进出港.
【解析】（1）由表格知，，则，，
函数的周期，则，即有，又，
即，而，则，
所以．
（2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港，
由，得，解得，
即，而，因此当时，；当时，，
所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港.
15．（2023春·广东佛山·高一统考期中）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），为当地的纬度值.
(1)若，，求的值，并直接写出用，表示的关系式；
(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；
(3)设第天时太阳直射点的纬度平均值为.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断与近似满足函数，经计算，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日?
(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.
【答案】(1)，；
(2)表格见解析；
(3)6月21日；
(4)97.
【解析】（1）由题意得，
，，间的关系式为.
（2）根据可得：
（3）因为周期，所以春分到夏至需要天，
3月、5月有31天，4月、6月有30天，所以夏至大概是6月21日.
（4）因为，故应在400年中设定97个闰年.
16．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期中）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y（单位：千辆）是时间t（，单位：h）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：
经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象．
(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
【答案】(1)图见解析，
(2)一天中有8小时不允许这种货车通行
【解析】（1）散点图，如图：
依题意，，，
，解得：，当时，y取最大值，则，
而，于是，
所以函数的近似解析式为.
（2）若车流量超过4千辆时，即，则，
解得，，即，，而，
因此和满足条件，共有，
所以一天中有8小时不允许这种货车通行.
17．（2023春·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.
(1)求d与时间t（单位：s）之间函数关系
(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象
【答案】(1)；
(2)图象见解析
【解析】】（1）由题意，
所以，，
因为逆时针方向每分转2圈，所以,
因为时，，所以，即，
又，所以
，所以；
（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，
列表如下
描点连线，图象如图.
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深（米）
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
观测站
A
B
C
观测站所在纬度/度
40.0000
23.4393
0.0000
观测站正午太阳高度角/度
66.3870
82.9464
73.6141
太阳直射点的纬度/度
16.3857
16.3859
太阳直射点的纬度平均值/度
观测站
A
B
C
观测站所在纬度度
40.0000
23.4393
0.0000
观测站正午太阳高度角度
66.3870
82.9464
73.6141
太阳直射点的纬度度
16.3870
16.3857
16.3859
太阳直射点的纬度平均值度
16.3862
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
x
0
1
0
0
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