人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀达标测试

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A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即，
据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.故选：B.
2．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】圆，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：B
3．（2023·湖北武汉）（多选）已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABC
【解析】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；
C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.
故选：ABC
4．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【答案】B
【解析】由题意可得，
故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，
易知，故两圆内切.
故选：B
5．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的圆心坐标为
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若，直线被圆截得的弦长为4
【答案】ABD
【解析】变形为，故恒过定点正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确．
故选：ABD．
6．（2023春·广东阳江·高二统考期末）（多选）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为：，即，
令，即，得，所以直线过定点，故A正确；

对于B，因为，
所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误；
对于C，因为圆：，可化为，圆心，
当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值，
此时其值为，故C错误；
对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确.
故选：AD.
7．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
可得圆心距，
如图，，
所以，
当共线时，取得最小值，
故的最小值为.

故选：B
8．（2023广东深圳）圆与圆的公共弦长的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】由，得，圆心，半径；
由，得，圆心，半径，
所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，

如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.
故选：D.
9．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）（多选）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（ ）
A．直线与圆相交
B．的最小值是1
C．若到直线的距离为2，则点有2个
D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是
【答案】BCD
【解析】对于A，由圆：，得圆的标准方程为，圆心为，半径，
又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A错误；
对于B，圆心到直线的距离，所以的最小值为，故B正确；
对于C，设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设，由，解得：或.
当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为2；
当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，不合题意.
综上所述，圆上到直线的距离为2的点有且只有2个，故C正确
对于D，过作与圆相切于，连结.
则切线长要使切线长最小，只需最小.
又点到圆心的最小值为圆心到直线的距离，由勾股定理得切线长的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023安徽）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
【答案】AC
【解析】根据题意，圆：，其圆心，半径，
圆：，即，其圆心，半径，
则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；
的最小值为，最大值为，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心，圆心，
则两个圆心所在直线斜率，故C正确，
故选：AC.
11．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）（多选）已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．该圆的面积为B．点在该圆内
C．该圆与圆相离D．直线与该圆相切
【答案】BD
【解析】，可知圆心为，半径；
对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；
对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为1，
因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；
对于D：圆心到直线的距离，
所以直线与该圆相切，故D正确，
故选：BD．
12．（2022秋·高二单元测试）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】根据题意可知，两圆心关于原点对称，
在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：

显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确；
利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为，
又到切线的距离为1，即，解得或；
当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确；
由对称性可知，切线与直线平行，
易知，所以直线的方程为，
可设的方程分别为，
由两平行线间距离公式可得，解得，
即切线的方程分别为，；
整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误；
故选：ABC
13．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【解析】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
14．（2023秋·高一单元测试）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
【答案】BD
【解析】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
15．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）（多选）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设圆的方程为，因为圆与轴相切，且在直线上，
所以，即，所以圆的方程为或，
又圆的圆心为，半径为1，
当圆与圆外切时，或（舍去），
解得或；
当圆与圆内切时，或，
解得或（舍去）；
综上，圆的半径长可能是、或2.
故选：BCD
16．（2022·高二课时练习）（多选）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
17．（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）（多选）已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．圆与圆公切线的长度为
C．圆与圆公共弦所在直线的方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
【答案】BCD
【解析】因为圆，圆，
所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，故圆与圆相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确
将两圆方程作差得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；
因为的圆心为，半径，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为，
又圆心到直线的距离为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确.
故选：BCD
18．（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）（多选）圆与圆相交于，两点，则（ ）
A．的直线方程为B．公共弦的长为
C．圆与圆的公切线长为D．线段的中垂线方程为
【答案】ACD
【解析】由，得，则，半径，
由，得，则，半径，
对于A，公共弦所在的直线方程为，
即，所以A正确，
对于B，到直线的距离，
所以公共弦的长为，所以B错误，
对于C，因为，，，
所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，
对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，
所以直线为，即，所以D正确，
故选：ACD
19．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）（多选）已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）．
A．直线AB的方程为
B．过A，B两点，且过点的圆的方程为
C．与的公切线的长度为
D．以线段AB为直径的圆的方程为
【答案】AD
【解析】由解得或，
即，，
对于A，直线AB的方程为，故A正确，
对于B，设过A，B两点，且过点的圆的方程，
得，解得，
圆的方程为，故B错误，
对于C，的圆心为，半径为，的圆心为，半径为2，
两圆半径相等，则与的公切线的长度为，故C错误，
对于D，中点为，，则以线段AB为直径的圆的方程为，
故选：AD
20．（2023春·江西·高三统考阶段练习）若过点且与圆相切的直线只有一条，则 .
【答案】0
【解析】由题意可得点在圆上，
所以，解得.
故答案为：0.
21．（2023春·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 .
【答案】或
【【解析】圆化为标准方程为，圆心，半径为1，
当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，由题意，
所以，平方化简得，解得或.
故答案为：或.
22．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为 ．
【答案】
【解析】圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
24．（2023秋·湖北·高二统考期末）直线l过且与圆相切，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】由圆的方程，得，此圆的圆心为，半径为2，
显然点在圆上，因此直线l垂直于经过点、点的直线，
所以直线l的方程为.
故答案为：
25．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．

故答案为：.
26．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）过点引圆切线，则切线长是 .
【答案】3
【解析】把圆的方程化为标准方程得：，
得到圆心坐标为，圆的半径，
，
切线长是，
故答案为：3
1．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，
设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，直线、均与圆相交，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
2．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
设是直线的动点，自向圆作切线，
当长最短时，两切线所成的角最大，
即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，
由点到直线的距离公式可得，
，，，
．
故选：C．
3．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）（多选）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为D．的面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】由圆，可得，可得圆心，半径为，
因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得，
对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确；
对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确；
对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，因为圆心到直线的距离为，
则圆上点到直线的最小距离为，
因为，所以的面积的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
4．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）“”是“直线与圆相离”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】将配方，即，
表示圆需满足，
所以或，其圆心为，半径为，
因为直线与圆相离，
故圆心到直线的距离，解得，
结合或可得或，
（）
则成立推不出直线与圆相离；
反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，
故选：B
5．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为B．四边形面积的最大值为
C．弦的长度的取值范围为D．直线恒过定点
【答案】ACD
【解析】由题意可设圆心为，半径为，
故，解得，则，
故圆的方程为，A正确；

连接,则,
设,则,则，
故，
所以，
当时，四边形面积取到最大值，B错误；
当弦过圆心时最长，最大值为4；
当弦时最短，最小值为，
即弦的长度的取值范围为，C正确；
由题意知，，
故四边形为矩形，则为矩形的对角线，二者互相平分，
而，故过的中点，D正确，
故选：ACD
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．若圆与圆恰有三条公切线，则
C．直线与圆相离
D．圆关于对称
【答案】B
【解析】圆可化为，圆心为，半径为.
对于A：因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
圆可化为，圆心为，
半径为，因为，所以，
解得，故B正确；
对于C：到直线的距离为，则直线
与圆相切，故C错误；
对于D：显然圆心不在直线上，则圆不关于
对称，故D错误；
故选：B
7．（2023·江西·校联考模拟预测）关于曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C可能经过点
B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条
C．若，曲线C表示两条直线
D．若，则直线被曲线C截得弦长等于
【答案】B
【解析】A. 将点代入方程得，即，方程无解，所以曲线C不可能经过点，故错误；
B.若，曲线C：表示以为圆心，以为半径，又原点到圆心的距离为，且，所以原点在圆外，所以过原点与曲线C相切的直线有两条，故正确；
C. 当时，曲线C：，则，解得，表示点，故错误；
D. 当时，曲线C： ，圆心在直线上，所以直线被曲线C截得弦长为直径，等于2，故错误.
故选：B
8．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
9．（2022秋·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为 .
【答案】
【解析】表示两点所在直线的斜率，
设两点所在直线的方程为，即，
如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值，
圆的圆心为，半径为，
当圆与直线相切时，
圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
10．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
由已知可得，圆心，半径.
因为为切线，所以，
所以，四点共圆，过圆心，
所以，是圆与圆的公共弦，所以，
且.
设四边形面积为，则.
又，
所以，.
显然，当增大时，也增大，
所以，当最小时，有最小值.
当时，最小，，此时.
故答案为：.
11．（2023·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ．
【答案】或
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以
即
当时，，即
解得或（舍去）
当时，，即
解得或（舍去）
当时，，即
解得（舍去）
综上，或
故答案为：或
12．（2023·江西·校联考二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： .
【答案】或
【解析】圆圆心，半径，
圆圆心，半径，
由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，
如图所示，
则 ，即，所以，
解得，所以，
设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离 ，解得 ， 所以公切线方程为，即或.
故答案为：或