高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀当堂检测题

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考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（ ）
A．双曲线B．两条射线C．一条线段D．一条直线
【答案】B
【解析】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段（不包含两端点）上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），
则有.
故选：B
【例1-2】（2023黑龙江）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．1或21B．14或36C．2D．21
【答案】D
【解析】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设，
根据双曲线的定义知|，所以或，
而，，
双曲线右支上一点，，则，
则点到右焦点的距离为
，
当时，取得最小值，最小值为2，
故不成立，舍去，满足要求，
所以点P到另一个焦点的距离为21，
【例1-3】（2023·四川达州）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，，
所以.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·云南曲靖）（多选）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为一直线
B．当时，点的轨迹为一射线
C．当时，点的轨迹不存在
D．当时，点的轨迹是双曲线
【答案】AB
【解析】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；
对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对；
对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线，
且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错；
对于D选项，当时，，且，
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.
故选：AB.
2．（2023秋·高二课时练习）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】B
【解析】双曲线中，得，则，
由双曲线的定义可得，
因为，所以，解得，
故选：B
3．（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由双曲线标准方程得：由双曲线定义得:
即，解得（舍去）或，故选：A.
4（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知，，，，
若，则，或12，
若，，，
故“”是“”的必要不充分条件．故选：A．
考点二 焦点三角形周长及面积
【例2-1】（2023春·内蒙古赤峰）已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则 ，的面积为 ．
【答案】
【解析】在双曲线中，，，则，
根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．
因为，的周长为，所以，
所以，．
在中，，
则，
所以，的面积为．
故答案为：；.
【一隅三反】
1．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】D
【解析】由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
2．（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．15C．12D．30
【答案】A
【解析】，根据双曲线定义：，
，，，
根据余弦定理：，
则，.
故选：A
3．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为 ．
【答案】
【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面积为.
故答案为：

考点三 双曲线上的点到定点距离的最值
【例3-1】（2022秋·内蒙古赤峰）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，
即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以
，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
【例3-2】（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ．
【答案】22
【解析】根据双曲线，得，，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得：，
由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，
可得，即有．
则，当是双曲线的通径时最小，
故.
故答案为：22
【例3-3】（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
2．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】双曲线，，，
圆的圆心为，半径，
在双曲线的左支上，，
所以，
根据圆的几何性质可知，的最小值是，
所以的最小值是.
故答案为：
3．（2023春·宁夏银川）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
5（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【解析】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
考点四 双曲线的标准方程
【例4-1】（2023·贵州毕节·高二统考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得.故选：C
【例4-2】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）（）多选已知曲线（ ）
A．表示两条直线B．表示圆
C．表示焦点在轴上的双曲线D．表示焦点在轴上的椭圆
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故A错误；
对于B，当时，曲线为表示圆，故B正确；
对于C，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当时，，则曲线为表示焦点在轴上的椭圆，故D正确.
故选：BCD.
【例4-3】（2023广东湛江）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
已知与椭圆共焦点的双曲线过点
【答案】(1)(2)（3）（4）
【解析】（1）由已知得，即,∵，∴.
∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是;
（2）设双曲线的方程为，则,∴双曲线方程为.
（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，解得；
所以双曲线的标准方程为.
（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，
所以椭圆的焦点坐标为，，所以双曲线的焦点坐标为，，
设所求双曲线的标准方程为，则，
故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，
∴代入有，化简得，解得或.
当时， ，不合题意，舍去；∴，
∴所求双曲线的标准方程为.

【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，
因为由可推出或，，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A.
2．（2023·新疆克拉玛依）（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，则
C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆 D．当时曲线不是椭圆
【答案】AD
【解析】若则方程为曲线表示圆，故A正确
若为椭圆，则 且，故B错误
若是焦点在轴上的椭圆，则 ，故错误
若则方程为表示双曲线，则曲线不是椭圆，故D正确，
故选：AD
3．（2023·海南海口）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
【答案】（1）；（2）.（3）
【解析】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
（3）由题意可知椭圆的焦点坐标为；
所以可设双曲线标准方程为，其中；
代入点可得，联立解得；
所以双曲线标准方程为.
考点五 与双曲线有关的轨迹方程
【例5】（2022秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切；
(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，
所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，
所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，
根据题意有，
化简得
∴顶点的轨迹方程为.

【一隅三反】
1．（2023·高二课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为动圆过点，且与圆外切，
所以，，，
所以，
所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
因为实轴长为，焦点为，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，即
故答案为：
2．（2023湖南）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】圆，，圆心，，
圆，，圆心，，
设，因为圆同时与圆及相外切，
所以，
即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.
故选：D
4．（2023春·福建福州·高二校考期中）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A