人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品一课一练

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A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，
所以，抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故选：D.
2．（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】设，由抛物线方程化为，得焦点，准线，
由抛物线定义可得，解得，故选：B.
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件；
当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件.
综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
故选：C
5．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【解析】如图，过点P作PH垂直于准线，垂直为H，
根据抛物线的定义，所以当A，P，H三点共线时最小，
此时.
故选：A．

6．（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【解析】设的外接圆的圆心为，设外接圆的半径为，则，
解得，则，
根据抛物线的定义及圆心B在C上得，即，
又圆心在的垂直平分线上，则，
所以，即，
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B
10．（2023春·四川成都）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，
则设抛物线的方程为，
由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，
即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.
故选：A.
11．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为直线过点，所以直线的方程为.
由得，.

设，则.
因为
，
整理得，解得，
所以抛物线的准线方程是.
故选：D.
12．（2023秋·高二课时练习）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（ ）
A．2或－2B．2或－1
C．2D．3
【答案】C
【解析】设A，B两点的坐标为，，
将直线方程与抛物线方程联立
得，则，解得，
由已知得，解得 或（舍去）．
故选：C.
13．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，，
故，
由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直线的斜率为.
故选：C
14．（2023·重庆渝中 ）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，
故选：BC.
15．（2023春·广西河池·高二统考期末）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切
D．直线的斜率之积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，
因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A正确；
对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；
对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，
过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；
对于D中，设，联立方程组，
整理得，可得，则，
所以D正确.
故选：ACD.
16．（2023春·江西九江·高二校考期末）（多选）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．时，以为直径的圆经过点
【答案】AD
【解析】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则，
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，
可得，解得且，故Ｃ错误；
则，故A正确；
可得，
易知同号，所以，故B错误；
因为，，
所以
，
当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确.
故选：AD.

17．（2023春·陕西安康·高二校考期中）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 .
【答案】4
【解析】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，
要使最小，则需最大，，且，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是4．
故答案为：4．

18．（2023秋·高二单元测试）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
延长交准线于点，如图所示．
根据抛物线的定义知，，
所以，
当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．

故答案为：.
19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由曲线，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，
要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，
即，当且仅当在一条直线上时，
所以的最小值为.
故答案为：.
20．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
【答案】3.8
【解析】由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
21．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
【答案】2
【解析】设交点坐标为，过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
故答案为：2.
22．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为
【答案】/
【解析】过点作的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为，
则切线方程为：，
由可得即，
所以，故，所以，
而，故的面积为.

故答案为：
23．（2023·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程 ．
【答案】
【解析】设动点Q的坐标，点P坐标，，
因为，所以，，
可得，，
代入得，整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
24．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，故抛物线方程为：.
（2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，
所以，，
设点的坐标为，则，即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：.
25．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程.
【答案】(1)4
(2)或
【解析】（1）解：根据题意，抛物线的焦点为，可得，所以.
（2）解：由（1）知，抛物线方程为，
因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为，
又由焦点为，可设所求直线方程为，
联立方程组，整理得，
则，设，可得，
则
又因为，即，解得，即，
所以所求直线方程为或.
1．（2023·福建三明）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，
由题意得，，
若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设过点的直线方程为，，
与抛物线联立得，
设，
则，
因为，设，
则，即，
将代入中得，，
如图所示，可知，，
因为∽，所以，故，
即，解得，
则到抛物线准线的距离为，

假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为
同理可得，故到抛物线准线的距离为，
综上，到抛物线准线的距离为.
故选：B
2．（2023春·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，
则轴，设，则，，
由抛物线的定义得，则有，
在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
，，∴，
于是直线l的倾斜角为，斜率．
当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.
故选：D．
3．（2023·江西赣州）已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过作垂直于准线为

抛物线的焦点为，所以，即，抛物线为
准线方程为，
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，
设,，,，可得，
则，
所以的中点为，
，
由圆与准线相切，可得，
两边平方，化简可得，
即直线的方程为，可得直线经过焦点，则
由圆与准线相切于，可得，
由准线，且，
可得，
即，
由，可得，
即有，，
直线的斜率为，所以，则
所以点E到y轴的距离为.
故选：D.
4．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条通径与轴垂直，
且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，
因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C.

5．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，且．因为的面积为，所以，
代入抛物线的方程可得，则．
又因为直线过点，
所以直线的方程为：，化简可得：．
由，得，
所以，则．
直线的方程，同理可得．
因为，所以四边形的面积为．

故选：D.
6．（2023·河南·统考三模）已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】D
【解析】由抛物线的准线为，则，故，
由题意，故A正确；
拋物线的准线，且，以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以为直径的圆与准线相切，故B正确；
拋物线的焦点为，则，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程得解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：D

7．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点，若的面积为，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】由得，．
因为，，，故．
由，则，抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，同理得到抛物线经过点的切线方程是．
解方程组得，所以．
所以到直线的距离，
的面积，
所以
故选：A
8．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（ ）

A．B．的准线方程为
C．的焦点坐标为D．弹道上的点到直线的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于.
此时，，，
抛物线的方程为，即，
解得，故A正确；
抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为，
故B正确，C错误；
因为，，故，
所以直线的方程为即，
不妨设上一点为，，
当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大.
由可得，故，
解得，
此时点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.

9．（2022秋·江西南昌·高二校考期中）（多选）已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，的最小值为
B．的取值范围是
C．当点是弦的中点时，直线的斜率为
D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有
【答案】ABD
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，则，
，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值为，A正确；

对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，
由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；
对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，
若，则直线的斜率，C错误；
对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，
即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，
所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.
故选：ABD
10．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5
D．
【答案】BC
【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，
设直线的倾斜角为，画图为：

根据抛物线的定义：，从图可知，，
，在中，，
所以，同理，
则
，故当时，
故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知，，故B正确；
对于C项，，
当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；
当直线过焦点时，，
当直线不过焦点时，不是定值，
举例当时，此时，，
即，，，故D错误；
故选：BC.
11．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）已知动点M的坐标满足方程，直线：，过点且方向向量为的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，则（ ）
A．动点M的轨迹是一条抛物线
B．直线与动点M的轨迹只有一个交点
C．
D．
【答案】CD
【解析】将两边平方可得，
当时，，这表示抛物线，
当时，，表示射线，
故动点M的轨迹是一条抛物线和一条射线，故A错误，
联立，
当时，令，所以直线与动点M的轨迹有两个交点，分别为，故B错误，
由题意可知直线的方程为，由于直线与射线无交点，
所以，设，所以，
由于直线经过抛物线的焦点，所以，故C正确，
由于
，故D正确，
故选：CD
12．（2023春·云南大理·高二统考期末）（多选）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（ ）
A．的准线方程是
B．过的焦点的最短弦长为2
C．直线过定点
D．若直线过点，则的面积为24
【答案】AC
【解析】将代入中得，即，
则抛物线为，
所以的准线方程是，故A正确；
抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为，
联立，可得，设交点为，
则，，
所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；
设，，直线为，
联立，可得：，
所以，，
又，
所以，
因为，，即，
所以，
化简整理得，
即，得，
所以直线为，
所以直线过定点，故C正确；
若直线过点，则，即，，
所以，，
直线为，即，
所以，
点到直线的距离为，
所以，故D不正确.
故选：AC.
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）（多选）抛物线C：，AB是C的焦点弦（ ）
A．点P在C的准线上，则的最小值为0
B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C．若AB的斜率，则△ABO的面积
D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切
【答案】ABD
【解析】由题意可知：抛物线C：的焦点，准线，
对于选项A：根据抛物线的性质可知：以AB为直径的圆与准线相切，
若点P是以AB为直径的圆与准线的切点，则，所以；
若点P不是以AB为直径的圆与准线的切点，则为锐角，所以；
综上所述：的最小值为0，故A正确；
对于选项B：设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，
当时，取到最小值6，
此时以AB为直径的圆的面积最小，最小值为，故B正确；
对于选项C：若AB的斜率，则，直线，即，
由选项B可得：，
点到直线直线的距离，
所以△ABO的面积，故C错误；
对于选项D：由选项B可知：以AB为直径的圆的圆心为，半径，
设圆的圆心为，半径，
若圆与圆内切，则，即，
整理得，
因为对任意的恒成立，则，解得，
即圆心为，半径的圆恒与以AB为直径的圆都内切，故D正确；
故选：ABD.
14．（2023春·云南临沧·高二校考期末）（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点
【答案】BD
【解析】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．
故选：BD．

15．（2023春·江苏常州·）（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【解析】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

16．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最小值为2
C．当取到最大值时，直线AP与C相切
D．当取到最大值时，
【答案】AC
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，
由消去x得：，则，

对于A，显然，，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，的面积，
当且仅当时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，
由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，
即，，D错误.
故选：AC
17．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）（多选）已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（ ）
A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条
B．已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4
C．的最小值为
D．的最小值为4
【答案】BCD
【解析】对于A，因为在抛物线外，显然过与抛物线相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；
对于B，设，则，即，
则线段的中点的横坐标为，故B正确；
对于C，，（当点在线段上时，取等号），故C正确；
对于D，设，设直线的方程为，
由，得，
易得，则，
，（当且仅当时，等号成立），故D正确；
故选：BCD
.
18．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）（多选）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线 的垂线，垂足为，为坐标原点，，则（ ）
A．
B．若，则的面积为
C．若为抛物线上的动点，则的取值范围为
D．若，则直线的倾斜角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由抛物线的性质可知，所以，，
又因为轴，所以，，
所以，，
则有，得证，所以A正确；
对于B，设，由，可得，所以，
代入抛物线的方程可得，可得，所以，所以B不正确；

对于C，过作垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，所以，则，
当直线与抛物线相切时，最大，此时最小，
设直线的方程为，代入抛物线的方程可得，即，由，可得，即直线的倾斜角为或，
当点与原点重合时，此时，，
则，所以．所以C正确；
对于D，由焦点，设直线的方程为，代入抛物线的方程可得，即，
设，，其中，，
则，，，，
连接，可得，
则
整理可得
即，解得，
则直线的斜率为，即，所以，故D正确．
故选：ACD．
19．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）（多选）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】由对称性得点在抛物线上，
所以，解得，故A选项正确；
设直线和双曲线交于两点，
设直线方程为，
代入抛物线方程可得：，，
所以，
所以：
故B选项正确；
则，
当且仅当时等号成立，故C错误；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，

过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确．
故选：ABD．
20．（2023春·广东韶关·高二统考期末）（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设线段的中点为P，以线段为直径的圆P交y轴于M，N两点，过P且与y轴垂直的直线交抛物线于点H，则（ ）
A．圆P与抛物线的准线相切B．存在一条直线l使
C．对任意一条直线l有D．有最大值，且最大值为
【答案】ACD
【解析】若直线轴，则直线l与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意．
设点、，设直线的方程为，
联立，整理可得，，
因为，，，
所以，从而到准线的距离为，
而圆P的直径为，所以，
故圆P与抛物线的准线相切，选项A正确；
由韦达定理可得，，
，
，
所以不存在一条直线l使，选项B不正确；
因为，，，
所以，从而，所以，
由抛物线的定义可得，从而，选项C正确；

因为，，，
所以圆P的直径为，则，
点P到y轴的距离为，
∴，
所以当时，最小，最小值为，D正确．
故选:ACD．
21．（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）（多选）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．抛物线为
B．若，为上的动点，则的最小值为4
C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4
D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，
从而抛物线的方程是，所以A错误；
设到准线的距离为，由题可知准线为，则，故B正确；
抛物线的焦点为，直线过焦点，由，可得，
设直线与抛物线交点为，
则，
所以直线与抛物线相为所得弦长，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，不妨设点在第一象限，过点向准线作垂线，垂足为，则，连接，
在中，设，则，要求的最小值，
即最小，即最小，所以当直线与抛物线相切时，角最小，
设切线方程为存在，且，由，联立得，
令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
22．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）（多选）已知过点的直线交抛物线于，两点，设，，点是线段的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值－8B．的最小值为4
C．的最小值为D．点的轨迹方程为
【答案】ACD
【解析】由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，显然，两点在轴的两侧，设，且，，
联立，整理可得，
显然，，，，，所以A正确；
所以，当且仅当时取等号，所以B不正确；
因为，，所以
，当且仅当时取等号，所以C正确；
由题意可得的中点，设，则，
消参可得，整理可得，所以D正确．
故选：ACD．
23．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期末）（多选）抛物线的焦点是，准线与轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，为垂足，，为垂足，则下列说法正确的是（ ）
A．若以为圆心，为半径的圆与相交于和，则是等边三角形
B．若点的坐标是，则的最小值是4
C．
D．两条直线，的斜率之和为定值
【答案】AD
【解析】因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以，又，所以为等边三角形，故A正确；

因为，等号当且仅当，，三点共线时成立，所以当，，三点共线时，取最小值3，故B错误；

设直线的方程是，代入并消去得，
设，，则，.
由，，得，所以，即，故C错误；
，，所以
，故D正确.
故选：AD.

24．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程 .
【答案】（答案不唯一，只需满足即可）
【解析】如下图所示：
设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为，
设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为，
所以，点到点的距离等于点到直线的距离，
所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
设点的轨迹方程为，则，可得，
所以，圆心的轨迹方程为，则，
所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为，
所以，圆的方程为，
故满足条件的一个圆的方程为.
故答案为：（只需满足即可）.
25．（2023春·浙江台州·高二统考期末）已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则
【答案】4
【解析】显然直线的斜率存在，设直线：，
联立，消去得，
则且，即，代入，得，
得，得，则，则.
联立，消去得，
则，且，即，
将代入，得，
得，得，又，所以，则，则，
由，得，解得，所以或，
当时，不合题意，舍去；
当时，.
综上所述：.
故答案为：.
26．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为 ．
【答案】
【解析】不妨设，且．
抛物线的焦点，
因为的面积为，所以，代入抛物线方程可得，则．
直线AB的方程为．由得，
所以，于是有．
直线MN的方程为，同理可得．
因为，所以四边形AMBN的面积为．
故答案为：.
27．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知、是抛物线：上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点
(1)证明：轴：
(2)若点的坐标为，求的面积.
注：抛物线在点处的切线方程为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设，，则中点，
直线：，：，
，解得，
即，从而轴.
（2）由（1）可解得，则，即
由于轴，则
，
即的面积为.
28．（2023春·河南驻马店·高二统考阶段练习）已知圆：与轴相交于，两点（点在轴的上方），过点作圆的切线，是平面内一动点，过点作的垂线，垂足为，且，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】（1）设，
由题可得，，，，
，，，
因为，所以有，，，，
即，，，即，
所以．
（2）设直线的斜率为，线段的中点为，
因为直线过点，所以，
设，，，，
联立，
恒成立，
，，
，
因为的中点为，所以横坐标为，
又因为点在直线上，所以，
设的垂直平分线为，则斜率为，
，即，
则，，
所以，为定值．

29．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在，
设直线，，，，
联立消去得，则△，
则，所以，
所以且，
故，
即，
整理得对任意的恒成立，故，
故所求抛物线的方程为．
（2）由题知，，，，，，则.
又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.

点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
30．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）在平面直角坐标系中，一个动点P到定点的距离比它到的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与轨迹C：没有公共点；只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由已知得，令，则
整理得，.
（2）由题意，直线l的方程为.
联立方程组（*）
（i）当时，直线l：与有唯一公共点，与无公共点，此时共有一个公共点.
（ii）当时，判别式为
①由，.
故或时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，与各有一个交点为，，故分别有两个公共点.
②当直线过时，直线方程为，与交于，，与无交点，故直线与轨迹共有两个公共点
③由.
故当且，时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点，
与有一个公共点，故直线与轨迹有三个公共点
④由，或.
故当，或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点，与有一个公共点
综上，
当时，直线轨迹有三个公共点；
当时，直线轨迹有两个公共点；
当时，直线轨迹有一个公共点.