高中数学5.2.1 三角函数的概念综合训练题

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一．任意角的三角函数的定义
二．三角函数值在各象限的符号
1.口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
2.根据三角函数的定义可知：
(1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负.
三.诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin（α＋k·2π）＝sin α，,cs（α＋k·2π）＝cs α，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tan α，))
四.同角三角函数的基本关系
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sin α＝±\r(1－cs2α)，,cs α＝±\r(1－sin2α)，,（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.))
(2)tan α＝eq \f(sin α,cs α)⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
一．三角函数的定义
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝eq \r(x2＋y2)，再求sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
二．三角函数式的化简
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
三．已知tan α的值，求关于sin α，cs α齐次式的值的方法
(1)对只含有sin α，cs α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(2)对于形如eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的分式，分子、分母同时除以cs α，cs2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)对于形如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cs2α，转化为形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,sin2α＋cs2α)的式子求值.
四．已知 sin α±cs α，sin αcs α求值问题
一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(2)(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ；
(3)(sin θ＋cs θ)2＋(sin θ－cs θ)2＝2；
(4)(sin θ－cs θ)2＝(sin θ＋cs θ)2－4sin θcs θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cs θ，sin θ－cs θ，sin θcs θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
五．证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”.
六．含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
考点一 坐标法求三角函数值
【例1-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2023秋·高一课时练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·河北张家口·高一统考期中）若，且角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·云南大理 ）已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川眉山·高一校考期中）（多选）已知角的终边经过点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
4（2023春·广西钦州·高一统考期末）（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二 三角函数值在各象限的符号
【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）若且，则的终边所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例2-2】（2023秋·高一课时练习）当x为第二象限角时， （ ）
A．1B．0
C．2D．－2
【例2-3】（2023春·新疆·高一八一中学校考期中）若，，则的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）若，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．（2023秋·广东·高一统考期末）已知为第二或第三象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三 诱导公式一
【例3-1】（2023秋·高一课时练习）的值为（ ）
A．－B．
C．－D．
【例3-2】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·天津南开·高一学业考试）的值为（ ）．
A．1B．0C．D．不存在
2．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋 单元测试）代数式的值为（ ）
A．－B．C．－D．
考点四 同角三角函数公式的简单应用
【例4-1】（2023·全国·高一课堂例题）已知是第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）若是第四象限的角，且，则 .
【一隅三反】
1．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）若，且为第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川宜宾·高一校考期中）已知 ，其中，的值为（ ）
A．－B．－C．D．
考点五 弦切互化求值
【例5】（2023·全国·高一课堂例题）已知，则
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则的值为 .
2．（2023春·四川自贡·高一校考期中）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
3．（2023春·四川达州·高一校考期中）已知
(1)求的值；
(2)求的值．
考点六 sin α±cs α，sin αcs α求值
【例6-1】（2023·全国·高一课堂例题）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【例6-2】（2023秋·高一课时练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·陕西渭南·高一统考期末）已知与是方程的两个根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)求sin θcs θ的值；
(2)求sin3θ＋cs3θ的值．
考点七 三角函数式的化简
【例7】（2023·全国·高一课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【一隅三反】
1（2023·高一课时练习）若，化简：．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）（1）化简；
（2）化简，其中是第三象限角．
考点八 三角恒等式的证明
【例8】（2023湖南）求证：
（1）；
（2）；
（3）.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一专题练习）求证：
(1)
(2)
2．（2022·全国·高一专题练习）求证：
(1)＝；
(2)
3．（2023秋·高一课时练习）证明下列恒等式：
（1）
（2）
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
描述方式
基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
Tan α＝eq \f(sin α,cs α)(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切