2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是
A．B．C．D．
2．（4分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A．B．C．且D．且
3．（4分）如图，已知直线，直线、分别与直线、、分别交于点、、、、、，若，，则的值为
A．B．C．D．
4．（4分）一个不透明的口袋中装有个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为
A．27B．30C．33D．36
5．（4分）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当，是矩形B．当，是菱形
C．当，是菱形D．当，是正方形
6．（4分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是
A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
7．（4分）如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记△的面积为，△的面积为，若正方形的边长，，则的大小为
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）一元二次方程配方为，则的值是 ．
10．（4分）若，且，则的值为 ．
11．（4分）如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则主持人与点的距离为 米．
12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为 ．
13．（4分）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点．若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）①解方程：；
②解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
15．（6分）如图，已知是坐标原点，，的坐标分别为，．
（1）画出△绕点顺时针旋转后得到的△；
（2）在轴的左侧以为位似中心作△的位似三角形，使△与△的位似比为；
（3）直接写出线段与线段的位置关系与数量关系．
16．（8分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
17．（8分）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，若，，求．
18．（10分）如图1，雯雯同学将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作与点，连接，求证平分；
（3）如图3，过点作交于点，当时，求与的数量关系，并证明你的结论．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，则代数式的值是 ．
20．（4分）已知，是方程的两根，则 ．
21．（4分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
22．（4分）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为 ．
23．（4分）如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为 ．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价（元与购买件数（件之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元．
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）该学校预计购买甲、乙两款运动服共1000件，最终花费为56000元，请问有哪几种购买方案．
25．（10分）已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）如图1，点的横坐标为4，若点是上一动点，
①求直线的函数表达式；
②连接，若△的面积为4，求的坐标；
（2）如图2，点是线段上一点，，在线段上取点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在直线上，且，在平面内是否存在一点，使得四边形为正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）（1）如图1，△与△都是等腰直角三角形，且，求证：△△．
（2）如图2，在△中，，，，点是射线上一动点，连接，绕点逆时针旋转，得到连接，；
①求证：；
②若，求的长；
（3）如图3，菱形中，，点是线段上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得，线段交线段与点，若，求（用含有的式子表示）．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是
A．B．C．D．
解：该几何体的主视图是：
故选：．
2．（4分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A．B．C．且D．且
解：关于的一元二次方程，
，
方程有两个实数根，
△，
解得，
的取值范围是且，
故选：．
3．（4分）如图，已知直线，直线、分别与直线、、分别交于点、、、、、，若，，则的值为
A．B．C．D．
解：，
，
，，
，
即，
故选：．
4．（4分）一个不透明的口袋中装有个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为
A．27B．30C．33D．36
解：由题意知，袋中球的总个数约为（个，
所以袋中白球的个数，
故选：．
5．（4分）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当，是矩形B．当，是菱形
C．当，是菱形D．当，是正方形
解：．有一个直角的平行四边形是矩形，故对；
．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故对；
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对；
．对角线相等的平行四边形是长方形或正方形，故错；
故选：．
6．（4分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是
A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选：．
7．（4分）如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
解：由题意可得，
，
故选：．
8．（4分）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记△的面积为，△的面积为，若正方形的边长，，则的大小为
A．6B．7C．8D．9
解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在△与△中，
，
△△，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）一元二次方程配方为，则的值是 1 ．
解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：1．
10．（4分）若，且，则的值为 76 ．
解：设，
，，，
，
，
，
，
，，，
，
故答案为：76．
11．（4分）如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则主持人与点的距离为 米．
解：点是线段上靠近点的黄金分割点，，米，
米，
米，
主持人与点的距离为米，
故答案为：米．
12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为 24 ．
解：如图，连接，，过作于，作于，
由纸条的对边平行可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
纸条等宽，则，
，
四边形为菱形，
菱形的面积，
故答案为：24．
13．（4分）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点．若，则的值为 ．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
由作图得：平分，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
△△，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（16分）（1）①解方程：；
②解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
解：（1），
，
或，
解得，；
（2）解不等式①：，
解得，
解不等式②：，
，
解得，
不等式组的解集为；
（3）
，
当时，原式；
当时，不符合题意；
当时，原式；
当时，不符合题意．
15．（6分）如图，已知是坐标原点，，的坐标分别为，．
（1）画出△绕点顺时针旋转后得到的△；
（2）在轴的左侧以为位似中心作△的位似三角形，使△与△的位似比为；
（3）直接写出线段与线段的位置关系与数量关系．
解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，△即为所求；
（3）由作图可知，线段与线段的位置关系与数量关系分别为平行、．
16．（8分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
解：（1）本次被调查的学生人数为（名．
选择“足球”的人数为（名．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
17．（8分）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，若，，求．
解：（1）四边形的形状为矩形，理由如下：
四边形为菱形，
，对角线分别平分一组对角，
．
由菱形的性质可知为，的中点，
又为中点，故为△的中位线，
，．
，
又，
．
，
．
故四边形为平行四边形．
，又，
．
，
，
．
又，
故四边形为矩形（对角线相等且互相平分的四边形为矩形）．
（2）如图所示，设，相交于点，
由（1）中可知，．
又，即．
，，
，又，
△△．
，即，
即，
．
18．（10分）如图1，雯雯同学将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作与点，连接，求证平分；
（3）如图3，过点作交于点，当时，求与的数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1所示：
，，，
由折叠的性质得：，，，
，
的延长线交于，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）证明：如图2所示：
由折叠的性质得：，，
由（1）可知：△△，
，
，
，
，
即，
，
，
又，
△△，
，
又，
△△，
，
，
，
平分；
（3）解：与的数量关系是：或，证明如下：
延长于的延长线交于，如图3所示：
设正方形的边长为，，则，
由折叠的性质得：，，
，，
，
，
，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得：，，
①当时，则，，，，
，
△△，
，
，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
；
②当时，则，，，，
同理可证：△△，
，
，
，，
，，
，
△△，
，
，
，
，
，
综上所述：与的数量关系是：或．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知，则代数式的值是 ．
解：
．
当时，
．
故答案为：．
20．（4分）已知，是方程的两根，则 ．
解：，是方程的两根，
，，
，
；
故答案为：．
21．（4分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
解：如图：
由题意可知，，，
，
在△中，，
大正方形的面积
中间小正方形的面积，小正方形的外阴影部分的，
阴影部分的面积为，
针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
22．（4分）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为 ．
解：过点作交的延长线于点，过作轴，轴，过点作轴，
则，，，
点，，
，，
，
经过旋转，
，，
，
△为等腰直角三角形，
，
，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
23．（4分）如图，在菱形中，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度取最小值时，的长为，则菱形的边长为 ．
解：设菱形的边长为，
如图，连接延长到，使得，连接，，．
，，
△是等边三角形，
，
，
，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，
，
，
，
当点在的延长线上时，的值最小，如图2中，
过点作于点．
，，
，
，
，，
，
．
解得（负值舍去），
菱形的边长为，
故答案为：．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价（元与购买件数（件之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元．
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）该学校预计购买甲、乙两款运动服共1000件，最终花费为56000元，请问有哪几种购买方案．
解：（1）设当时，与的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
与的函数关系式为；
当时，，
由题意可知，当时，与的函数关系式为；
综上所述，与的函数关系式为；
（2）设甲款运动服购买件，则乙款运动服购买件，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，；
当时，；
有2种购买方案：
①甲款运动服购买200件，乙款运动服购买800件；
②甲款运动服购买300件，乙款运动服购买700件．
25．（10分）已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）如图1，点的横坐标为4，若点是上一动点，
①求直线的函数表达式；
②连接，若△的面积为4，求的坐标；
（2）如图2，点是线段上一点，，在线段上取点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在直线上，且，在平面内是否存在一点，使得四边形为正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）①当时，，
，
，解得：，
直线；
②设，由题意得：，，
则，
解得：，
；
（2）存在，理由：
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
△△，
，，
，
，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设，，
，，
，
，
，
则，
则点，，
，
，
解得：（舍去）或，
则点，、，，
四边形为正方形，
则的中点即为的中点，
由中点坐标公式得，点，．
26．（12分）（1）如图1，△与△都是等腰直角三角形，且，求证：△△．
（2）如图2，在△中，，，，点是射线上一动点，连接，绕点逆时针旋转，得到连接，；
①求证：；
②若，求的长；
（3）如图3，菱形中，，点是线段上一动点，连接，以为边在直线的左侧作菱形，使得，线段交线段与点，若，求（用含有的式子表示）．
【解答】（1）证明：△与△都是等腰直角三角形，且，
，，，
，且，
△△．
（2）①证明：如图1，设与相交于点，
，，
，
又，由三线合一性质可得：
，，
从而，
由勾股定理可得，
，
．
又绕点逆时针旋转，得到，
，，
同理可求得，．
，，
△△．
，
，
即．
②解：若，
，，
由勾股定理可得：，
又△△，
，即，
．
又由①知，
，故点与点重合，
．
（3）解：在菱形中，，
，，
则△为等边三角形，，
，
，
．
，且四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，
故．