广西壮族自治区部分学校2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区部分学校2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了 在复平面内，复数对应的点位于， 已知的三个顶点分别为，且，则， 记的内角的对边分别为，若，则， 直线的倾斜角为， 在中，角的对边分别为，若，则， 若，则， 已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】，
复数对应的点为，
故复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
2. 已知的三个顶点分别为，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由可得，，
因，故，解得.
故选：D.
3. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理，得.
故选：D.
4. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故选:A.
5. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
与函数对称轴相同，
则，
得，所以的值可能为.
故选：C.
6. 在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以，而，
在中，，所以，故，
由余弦定理得，代入得，
，故，
故，故B正确.
故选：B.
7. 若，则（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】B
【解析】由题意得，
则，
故选：B.
8. 已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，分别记为，，
连接.
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，
此时的中点为该正六边形的中心，且平面，
当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.
设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥的底面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（ ）
A. 三棱锥和四棱柱B. 四棱锥和三棱柱
C. 四棱锥和四棱柱D. 五棱锥和三棱柱
【答案】AD
【解析】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个，
所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意；
对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，
所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意；
对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，
所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意；
对于D中，由五棱锥顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，
所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意.
故选：AD.
10. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. 的虚部为3D.
【答案】BCD
【解析】由题得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，复数的虚部为3，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11. 对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ）
A. 过定点
B. 的半径为9
C. 与可能相切
D. 被截得的弦长最小值为
【答案】BC
【解析】可变形为，
由，得，所以直线过定点2,3，故A正确；
圆的标准方程为，半径为3，故B不正确；
由，所以点2,3在圆的内部，
所以与相交，不会相切，故C不正确；
当与点2,3和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.
因为点2,3和圆心连线的斜率为，所以，解得，
此时的方程为，因为圆心到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
故选：BC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数为纯虚数，则实数______.
【答案】1
【解析】由复数纯虚数可得，
解得.
13. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为______.
【答案】
【解析】因为与的夹角为，
所以，
故在方向上投影向量为.
14. 在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________.
【答案】
【解析】因为且底面为菱形，所以为等边三角形，
过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，
因为，所以，又平面，平面，
所以，，平面，所以平面，
平面，所以，，则，
因为点到的距离均为，所以，则，
，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
解：（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
16. 已知圆经过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断圆C：与圆的位置关系.
解：（1）设圆的方程为，
则解得
故圆的方程为，标准方程为.
（2）圆的圆心为，半径为4.
圆的圆心为，半径为3.
设两圆圆心的距离为，则.
因为，所以圆与圆相交.
17. 在棱长为2的正方体中，为的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积.
解：（1）如图，正方体中, 为的中点，连接交于O，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直.
则可以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系.
由于棱长为2，则面对角线为.
因此涉及的关键点坐标为，
则.
则，
则异面直线与所成角的余弦值为的余弦值为.
（2）根据题意，知道，显然
由正方体结构特征知，面，则到平面的距离为.
故.
故三棱锥的体积为.
18. 在中，角的对边分别是，已知.
（1）证明：.
（2）若的面积为1，求.
解：（1）由可得，
故，,
即,
由正弦定理可得，故.
（2）由可得，故,
结合得,故，
又,故，
故，
由余弦定理可得.
19. 如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线.
（1）求圆台的表面积与体积；
（2）若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值.
解：（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积，
圆台侧面积为；
所以圆台的表面积为.
取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高；
可得圆台的体积为.
（2）如下图所示：
圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大；
圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆，
而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形，
当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大，
易知为等边三角形，可得，
作于点，易知，
因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件，
所以球体积的最大值为.