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重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
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这是一份重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
2. 若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
3. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则，
所以其侧面积为，解得，
所以圆锥的高为.
故选：C.
4. 在中，，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】在中，根据大边对大角可得A>B，
由正弦定理，得，所以，故或.
故选：D.
5. 若，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，，
则，
而，即得，
所以，又，所以.
故选：A.
6. 如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题图，.
故选：A.
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，所以，
因为，
两式相减，得，
由正弦定理，得，即，
因为，所以.
故选：A.
8. 已知向量满足：为单位向量，且与相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】和相互垂直，则，
则，设，则，
因为恒成立，则，即，则，
，
对称轴时：，即.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法不正确的为（ ）
A. B.
C. D. 在复平面上对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
在复平面上对应的点在第三象限，故D错误.
故选：ACD.
10. 在中，已知，下列结论中正确的是（ ）
A. 这个三角形被唯一确定B. 一定是钝角三角形
C. D. 若，则的面积是
【答案】BC
【解析】依题意可设，
对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；
对于B，因为，，
所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理可知，，故C正确；
对于D，因为，即，即，
又因为，所以，则，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则此三角形有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，
从而，即，
即，故，从而为等腰三角形，A正确；
对于B，若，则，而，
即，解得或，故此三角形有两解，B正确；
对于C，注意到等价于，
而这又等价于，所以或，
也就是为等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，已知条件为，且，
而等价于，
即，
对该等式通分得到，
即，即，
这即为，
由知该等式即为，
从而条件等价于且，从而该三角形内切圆半径
，
又由于，
当且仅当时等号成立，
从而，故该三角形的内切圆面积，
验证知当时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是，
D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 三个平面最多可以将空间分为______部分．
【答案】
【解析】如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.
故答案为：.
13. 已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则__________.
【答案】
【解析】设的夹角为，
因为在方向上的投影向量为，，
所以，得，
从而，.
故答案为：.
14. 一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意可知，正方体在正四面体内部任意旋转，
当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球即为正四面体的内切球，
将正四面体放到正方体中，作出图形如图，
因为正四面体的棱长为2，则图中正方体的棱长为，
所以正四面体的体积为，
侧面积为，
设正四面体内切球的半径为，则，解得，
设放置进去的正方体的棱长最大值为，则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
解：（1）法一：设，则，
所以，解得，
所以或.
法二：设，
因为，，所以，
因，所以，
解得或，
所以或.
（2）因为向量与互相垂直，
所以，即，
而，，所以，
因此，解得.
16. 在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
解：（1）因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）由三角形的面积公式可得，解得，
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
17. 如图，在正方体中，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
解：（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
18. 在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且.
（1）若时，求面积的最大值；
（2）若，
①求角的大小；
②当取得最大值时，求的面积.
解：（1）由题意可得，，
根据余弦定理得，
所以，
所以的面积为，
当，即时，面积最大，最大值1.
（2）①由，
，
则，
由正弦定理得，化简得，
所以，
又因为，所以.
②因为，由，
可得，
整理得，
又因为，所以，
令为锐角，
则，
其中为锐角，
当，即时，取得最大值，
此时，，
解得，
的面积为.
19. 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
其中，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.
（1）请写出复数的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；
（2）请根据上述材料证明欧拉公式，并计算与；
（3）记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.
解：（1）设的三角形式为，
，，
所以复数的三角形式为，
由泰勒公式
令可得，的3阶近似值为.
（2）由，
令得到，，
化简得
，
所以，欧拉公式得证，
因为，所以，
两式相加得，两式相减得，
所以，.
（3）记，
由棣莫弗定理得，
从而得，所以，
所以64在复数域内的6次方根为
，
，
，
设，其中，
代入计算可得，.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
2. 若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
3. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则，
所以其侧面积为，解得，
所以圆锥的高为.
故选：C.
4. 在中，，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】在中，根据大边对大角可得A>B，
由正弦定理，得，所以，故或.
故选：D.
5. 若，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，，
则，
而，即得，
所以，又，所以.
故选：A.
6. 如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题图，.
故选：A.
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，所以，
因为，
两式相减，得，
由正弦定理，得，即，
因为，所以.
故选：A.
8. 已知向量满足：为单位向量，且与相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】和相互垂直，则，
则，设，则，
因为恒成立，则，即，则，
，
对称轴时：，即.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法不正确的为（ ）
A. B.
C. D. 在复平面上对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
在复平面上对应的点在第三象限，故D错误.
故选：ACD.
10. 在中，已知，下列结论中正确的是（ ）
A. 这个三角形被唯一确定B. 一定是钝角三角形
C. D. 若，则的面积是
【答案】BC
【解析】依题意可设，
对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；
对于B，因为，，
所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理可知，，故C正确；
对于D，因为，即，即，
又因为，所以，则，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则此三角形有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，
从而，即，
即，故，从而为等腰三角形，A正确；
对于B，若，则，而，
即，解得或，故此三角形有两解，B正确；
对于C，注意到等价于，
而这又等价于，所以或，
也就是为等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，已知条件为，且，
而等价于，
即，
对该等式通分得到，
即，即，
这即为，
由知该等式即为，
从而条件等价于且，从而该三角形内切圆半径
，
又由于，
当且仅当时等号成立，
从而，故该三角形的内切圆面积，
验证知当时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是，
D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 三个平面最多可以将空间分为______部分．
【答案】
【解析】如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.
故答案为：.
13. 已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则__________.
【答案】
【解析】设的夹角为，
因为在方向上的投影向量为，，
所以，得，
从而，.
故答案为：.
14. 一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意可知，正方体在正四面体内部任意旋转，
当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球即为正四面体的内切球，
将正四面体放到正方体中，作出图形如图，
因为正四面体的棱长为2，则图中正方体的棱长为，
所以正四面体的体积为，
侧面积为，
设正四面体内切球的半径为，则，解得，
设放置进去的正方体的棱长最大值为，则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
解：（1）法一：设，则，
所以，解得，
所以或.
法二：设，
因为，，所以，
因，所以，
解得或，
所以或.
（2）因为向量与互相垂直，
所以，即，
而，，所以，
因此，解得.
16. 在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
解：（1）因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）由三角形的面积公式可得，解得，
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
17. 如图，在正方体中，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
解：（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
18. 在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且.
（1）若时，求面积的最大值；
（2）若，
①求角的大小；
②当取得最大值时，求的面积.
解：（1）由题意可得，，
根据余弦定理得，
所以，
所以的面积为，
当，即时，面积最大，最大值1.
（2）①由，
，
则，
由正弦定理得，化简得，
所以，
又因为，所以.
②因为，由，
可得，
整理得，
又因为，所以，
令为锐角，
则，
其中为锐角，
当，即时，取得最大值，
此时，，
解得，
的面积为.
19. 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
其中，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.
（1）请写出复数的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；
（2）请根据上述材料证明欧拉公式，并计算与；
（3）记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.
解：（1）设的三角形式为，
，，
所以复数的三角形式为，
由泰勒公式
令可得，的3阶近似值为.
（2）由，
令得到，，
化简得
，
所以，欧拉公式得证，
因为，所以，
两式相加得，两式相减得，
所以，.
（3）记，
由棣莫弗定理得，
从而得，所以，
所以64在复数域内的6次方根为
，
，
，
设，其中，
代入计算可得，.
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