湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．不是最简二次根式；
B．不是最简二次根式；
C．不是最简二次根式；
D．是最简二次根式．
故选：D．
2. 如图，点M（﹣3，4）到原点的距离是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】C
【解析】∵点M的坐标为（﹣3，4），
∴点M离原点的距离是=5．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.，所以A选项错误；
B.与不能合并，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误．
故选：C．
4. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小宇同学在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点D、E，且米，则A、B两点的距离是（ ）
A. 9米B. 18米C. 36米D. 54米
【答案】C
【解析】∵D、E是、的中点，即是的中位线，
∴，
∴（米）．
故选：C．
5. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴．
故选：D．
6. 如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （ ）
A. 过点D作与交于点C
B. 在下方作与交于点C， 使
C. 在上截取， 使， 连接
D. 以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接
【答案】D
【解析】A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 90D. 96
【答案】A
【解析】∵，，
∴四边形平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为．
故选：A．
8. 如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（ ）

A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】A
【解析】如图，连接、，

，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故选：A．
9. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，下列说法不正确是（ ）
A. 若，那么四边形是矩形
B. 若平分，那么四边形是菱形
C. 若且，那么四边形是菱形
D. 若，那么四边形是矩形
【答案】D
【解析】∵
∴四边形是平行四边形，
A. 若，那么四边形是矩形，正确，不符合题意；
B. 若平分，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
C. 若且，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
D. 若，不能得出四边形是矩形，错误，符合题意；
故选D．
10. 如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】由折叠的性质可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
如图，作于，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
二、填空题
11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 已知菱形的两条对角线分别是4和6，则其面积是________．
【答案】12
【解析】∵菱形的两条对角线分别是4和6，
∴其面积是．
故答案为：12．
13. 若x，y为实数，且，则__________．
【答案】
【解析】∵，且
∴
∴
解得
∴，故答案为：
14. 古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为________．
【答案】
【解析】由题意得，，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，，，
由可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，负值舍去，
故答案为：．
16. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【答案】45
【解析】延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
18. 如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．

（1）求证：；
（2）若点D是中点，说明四边形是矩形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，又∵，
∴四边形为矩形．
19. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米，米，
答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米
20. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
（2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
（3）先化简，再求值：，其中．
解：（1）根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
（2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
（3）原式，
，
，
原式



．
21. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．
（1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形的面积为______．
（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．
（1）解：，，，
，
不是直角，故答案为：不是．
（2）解：四边形的面积为，
故答案为：14．
（3）解：如图，点和四边形即为所求．
22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
（1）证明： ∵为的中点， 为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：当满足条件时， 四边形是菱形，理由为：
由（1）可得四边形为平行四边形；
，是的中点，，
∵四边形为平行四边形，，∴四边形为菱形.
23. 如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为______．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
24. 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接）
证明：取中点，连接
又为的中点，四边形是正方形
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
又∵，
∴，
∴
又交正方形外角的平分线于点F
∴，
在和中
∴
∴．
25. 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
深入研究
（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
解：（1）∵菱形的四条边相等，∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；故答案是：③④；
（2）分三种情况，①当AC＝AD＝AB时，如图1，
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∵AC＝AD＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；
②当AD＝CD，AB＝BC时，如图2，
∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝80°；
③在四边形ABCD中，AC＝CD＝BC，如图3，
∴∠CAD＝∠ADC＝40°，∴∠ACD＝∠ACB＝100°
∴∠BCD＝360°﹣100°﹣100°＝160°；
综上，∠BCD＝140°或80°或160°；
故答案为140°或80°或160°；
（3）如图4，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形；
（4）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．