河南省新乡市2024届高三第三次模拟考试数学试卷(解析版)

这是一份河南省新乡市2024届高三第三次模拟考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列集合中有无数个元素的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
2. 已知为纯虚数，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，由是纯虚数，得，
所以.故选：B.
3. 已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A. 10B. C. 5D.
【答案】A
【解析】，
则，故选：A.
4. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.故选：C.
5. 已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3，
因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为，
所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是.故选：C.
6. 如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此，即D正确，ABC错误.故选：D.
7. 倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，
如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，
则，
解得，同理可得，
如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，
则，
而，可得，故，故A正确，
故选：A
8. 设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令函数，求导得，即函数在上单调递减，
而，又，
因此，
所以.
故选：B
二、选择题
9. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（ ）
A. 这组新数据平均数为3B. 这组新数据的平均数为6
C. 这组新数据的方差为D. 这组新数据的方差为
【答案】BC
【解析】依题意，这组新数据的平均数为，
方差为.故选：BC.
10. 已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与为异面直线
C. 若，且，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，显然，又，则，A正确；
对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；
对于C，由，，知点在平面内，
即为平面的公共点，而，因此，C正确；
对于D，由，得，而，因此，D正确故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是周期函数
D.
【答案】BCD
【解析】由，得，
则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；
令，得，则，因此，A错误；
由，得，则，
因此的图象关于直线对称，B正确；
由，得的图象关于直线对称，
因此直线及均为图象的对称轴，
从而，令，得，
即，则，
故
，D正确.
故答案为：BCD.
三、填空题
12. 双曲线的实轴长为4，则________.
【答案】1
【解析】显然恒成立，则双曲线焦点在x轴上，
于是，所以.
故答案为：1.
13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.
【答案】
【解析】函数，由，得，
由存在，使得，得，解得，
所以的最小值为.故答案为：.
14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，则，由，得，显然，
连接，由，，得，
，
因此的周长
显然，当，即时，，而时，，
所以的周长的取值范围是.故答案为：
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．
（1）解：因为，所以，令，得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.
（2）证明：设切点为，则切线的方程为，
则，整理得，
由过点可以作两条直线与曲线相切，
可得方程有两个不相等的正根.
令，则，
当时，在上单调递减，则方程最多只有一个正根，不符合题意，
当时，若，则在上单调递增，
若，则在上单调递减，则，
故要使得方程有两个不相等的正根，则.
16. 如图，在四面体中，分别为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，，因为，所以，且，
又，所以，≌，则，有，
因为，所以，则，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，
因为，分别为，的中点，所以，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
解：（1）记这2个球颜色相同为事件，
则；
（2）依题意的可能取值为、、，
则，
，，
所以的分布列为：
所以
18. 已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设，则，即，
显然点，依题意，，
解得，由椭圆的焦距是2，得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，因为，
则，
由（1）知，则直线的方程为，即，
从而点到直线的距离，
即，即.
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，即，点在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，故存在定点，使得.
19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数,例如：.对于任意的实数,定义数列满足．
（1）求的值；
（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．
①求的通项公式；
②证明：对任意的，都有．
（1）解：由，得，则，
所以；由，得，
则，所以.
（2）①解：依题意，，则，
对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，
而，则当时，，设，
此时，即；
当时，，设，
此时，即，
因此，
恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，
因为，所以.
②证明：由，得，则为递增数列，，
当时，，
则
，
所以对任意的，都有.