河南省商丘市2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(解析版)

这是一份河南省商丘市2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(解析版)，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. －1B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为复数，所以其虚部为
故选：
2. 已知向量，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 在中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，所以.
故选：C.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 圆锥轴截面一定是等边三角形
B. 用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
C. 三棱柱的侧面可以是三角形
D. 棱锥的侧面和底面可以都是三角形
【答案】D
【解析】对于A，圆锥的轴截面一定是等腰三角形，中有当母线等于底面直径时，
轴截面才是等边三角形，故错误；
对于B，只有用一个平行于底的平面去截棱锥，才一定会得到一个棱锥和一个棱台，故错误；
对于C，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，故错误；
对于D，棱锥为三棱锥时，侧面和底面都是三角形，故正确.
故选：D.
5. 复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，故对应的点为.
故选：D．
6. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，四边形是平行四边形，，
如图，是的直观图，，
所以四边形的直观图面积为.
故选：D.
7. 已知是单位向量，若，则（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】，即，
.
故选：B.
8. 已知的三边上高的长度之比为，若的最短边与最长边的长度之积为8，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意，不妨设的三边上的高的长度分别为，
由三角形的面积公式可得：，
所以，所以为最小边，为最大边，
所以，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】ABD
【解析】对于A，设，故，无解，
故与不共线，故可作为一组基底，故A正确；
对于B，设，故，无解，
和不共线，故可作为一组基底，故B正确；
对于C,，故和共线，故不能作为一组基底，故C错误；
对于D，设，无解，故和不共线，故可作为一组基底，故D正确.
故选：ABD.
10. 若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】，，
，故选项A正确；
，故选项B正确；
，，
故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：．
11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则的面积为
【答案】ABD
【解析】对于，因为在中，，
所以当时，，故为等腰三角形，故正确；
对于，由正弦定理，得，
所以，故正确；
对于，由余弦定理得，
又因为是中的一个内角，所以，
所以是钝角三角形，故错误；
对于，，故正确.
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 物体在力的作用下，由点移动到点，已知，力对该物体所做功的大小为__________．
【答案】
【解析】由题意得，所以对物体做的功
．
故答案为：.
13. 若复数满足，且为纯虚数，则__________.
【答案】
【解析】因为为纯虚数，设，且，
则，
因为，所以，所以，
解得，所以.
故答案为：.
14. 已知向量满足，且，则与的夹角为_______．
【答案】
【解析】设与的夹角为，由夹角余弦公式，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（，为虚数单位），且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）设复数，若，求、所满足的方程.
解：（1）由得.
为纯虚数，且，，.
（2），，，
，即，.
故、所满足的方程为.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的大小．
解：（1）因为，由正弦定理得，
整理得，
即，
所以，
又因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）由且，
由余弦定理，可得，即，
解得或（舍），
所以．
17. 已知向量．
（1）若，求在上的投影向量；
（2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
解：（1），
因为，所以，解得：，
则在上的投影向量为.
（2）若与的夹角是钝角，
则且与方向不相反，
即，且
解得：且，
故实数k的取值范围是.
18. 已知向量与的夹角为，，.
（1）若，求实数k值；
（2）是否存在实数k，使得？说明理由.
解：（1）∵向量与的夹角为，，
，
又且，
，
，.
（2）若，则，使，
，，
又向量与不共线，
，解得：，
存在实数时，有．
19. 已知O，A，B是不共线的三点，且.
（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.
解：（1）证明：若m+n=1，则，，
故，即，
，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线.
（2）证明：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，
变形得，即，，
又，，故.