河北省邢台市部分高中2024届高三二模数学试卷(解析版)

这是一份河北省邢台市部分高中2024届高三二模数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列集合关系不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A：因为，故A正确；
B：由空集的定义可知，故B正确；
C：由图可知C正确；

D：因为空集中不包含任何元素，故D错误；
故选：D.
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以的虚部为，
故选：D.
3. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A B. C. 或1D. 或1
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
又，所以，
解得或（舍），
所以.
故选：B
4. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，又，
所以.
所以：，
所以.故选：A.
5. 已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，.
所以，
由因为在，两个不同点处的切线相互平行，
所以，又，所以，故CD错误；
因为且，所以，故A不成立；
当时，.故B成立.
故选：B
6. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】对于A，函数的最小正周期，A错误；
对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；
对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；
对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：D.
7. 已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；
由于时，曲线的方程为，即，
故结合曲线对称性，作出曲线C如图：
而表示曲线C上的点到直线的距离，
可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最小值为，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最大值为，
故的最小值与最大值之和为，
所以的最小值与最大值之和为，
故选：C．
8. 设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过作，设，则，
所以，设抛物线在点处的切线的方程为，
由，消得到，由，
得到，所以由题有，即，
所以，又，所以，
得到为的角平分线，又，所以，
又均为直角三角形，所以，得到，
所以，
故答案：B.
二、选择题
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
【答案】BCD
【解析】对A：若样本数据的方差为2，
则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
10. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】AB
【解析】依题意，在上恒成立，当时，，
令，
则，，
故当时，，当时，，
故，故，则不等式成立；
当时，令，因为，
，故在内必有零点，设为，
则，
则，故，不合题意，舍去；
综上所述，.
故选：AB.
11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（ ）

A. 当平面时，为的中点
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D. 三棱锥体积的最大值为8
【答案】ACD
【解析】由题设，长轴长，短轴长，
则，
得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，
由，，∴四边形为平行四边形，，
当平面时，平面，平面平面，
则，有，中，是中点，
则为的中点，A选项正确；
，，，则中，，，
外接圆半径为，
，则平面，
三棱锥外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，B选项错误；
点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为， 令，则，又，
则，，，
，
由椭圆性质知，
则当或时，的最大值为，C选项正确；
由，要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，
则椭圆方程为，
设，联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确.故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知，则______.
【答案】3
【解析】的通项为，所以展开式中的系数为，
的通项为，所以展开式中的系数为，
所以.
故答案为：3.
13. 如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________．
【答案】
【解析】由题意设，因为面积为，所以，
根据题意有：，
所以，
则长方体的体积为，
，令，有，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
14. 在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是__________．
【答案】
【解析】如图，在中，由正弦定理：可得：，因，则，即.
设，则，在中，设，由正弦定理，，则得：，
由余弦定理可得：，即.
在中，由余弦定理，,
因，则，则当时，即时，，此时.故答案为：.
四、解答题
15. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，，
则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，．
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
所以令，则，，
所以．
设平面的法向量为，则，
取．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
（1）解：由，
当时，，则，当时，，
两式相减得，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）证明：由（1）知．
当时，；
当时，，
所以，所以，
所以当时，．
综上，．
17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
解：（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，，
，
，，
所以的分布列为：
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则，
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
则
由，又，所以，
则，又，
所以，
设，所以，由二次函数可知当时取最大值，
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
18. 将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．
（1）求E的方程：
（2）设直线AB，CD的倾斜角分别为，．当今时，
（i）求值：
（ii）若有最大值，求的取值范围．
（1）解：设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为，
根据题意，可得，即，
代入方程，可得，整理得，
所以曲线的轨迹方程为.
（2）解：（i）设直线的方程为，，
联立方程组，整理得，
则，且，
可得，所以，
可得，
所以，同理可得，
又因为三点共线，可得，即，
所以，
所以.
（ii）设直线的方程为，其中，由（i）知，直线的斜率为，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
联立方程组，整理得，
则，解得，
若有最大值，则，
又因为，所以实数的取值范围为，

19. 在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
（1）用洛必达法则求；
（2）函数（，），判断并说明的零点个数；
（3）已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
解：（1）
（2），，
所以，．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，，，
当时，，所以仅在时存在1个零点．
（3），所以，，…，
将各式相乘得，
两侧同时运算极限，所以，
即，令，原式可化为，
又，由（1）得，
故，由题意函数定义域为，
综上，0
1
2
3
P