河北省保定市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(解析版)

这是一份河北省保定市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合,且,则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】因为，所以是方程，
即，得，
当时，，解得：，此时，
满足，所以．故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
所以为奇函数，
设，可知为偶函数，
所以为奇函数，则B，C错误，
易知，所以A正确，D错误．
故选：A.
4. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，如图所示，
正四棱柱中，有且，四边形为平行四边形，
则有，则就是异面直线与所成的角．
设，则，
中，由余弦定理得．
故选：C.
5. 已知双曲线的离心率为方程的解，则的渐近线的斜率的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为方程的解为或，
且双曲线的离心率大于1，所以．由，解得．
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
解得或（舍去），
所以．故选：B.
7. 6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组．当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是（ ）
A. 在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案
B. 一次游戏共有种手势结果
C. 一次游戏分不出组的概率为
D. 两次游戏才分出组的概率为
【答案】D
【解析】对A，一共有种分组方案，A错误．
对B，每人有3种选择，所以一次游戏共有种手势结果，B错误．
对CD，要分出组，有两类情况．第一类情况，首先确定3个人出一样的手势，再确定另外2个人出其他两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势，所以能分出组的手势结果有种．
第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种手势中的同一种时，能分出组的手势结果有种，
所以一次游戏就分出组的概率为，所以一次游戏分不出组的概率为，C错误．
两次游戏才分出组的概率为，D正确．
故选：D
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上的点，且在第一象限，是的角平分线，过点作的垂线,垂足为，若，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，延长交于点，可知，
所以，所以．
故选：B.

二、选择题
9. 下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（ ）
A. 这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为
B. 这5天的最低气温的极差为
C. 这5天的最高气温的众数是
D. 这5天的最低气温的第40百分位数是
【答案】ACD
【解析】对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确．
对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误．
对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确．
对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确．
故选：ACD
10.已知直四棱柱的侧棱长为3,底面是边长为2的菱形, 为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A. 若与平面所成角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B. 若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为
C. 若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D. 经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
【答案】AD
【解析】如图，
对于A，可知轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确．
对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误．
对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误．
对于D，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得．设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，
所以，D正确．
故选：AD
11. 已知定义域为的函数满足，则（ ）
A.
B.
C. 是奇函数
D. 存在函数以及，使得的值为
【答案】ACD
【解析】由，取，得，A正确．
取，得，解得．
取，得，
所以，B错误．
取，得，
所以是奇函数，C正确．
当时，在两边同时除以，
得，
令，则，
当时，，
所以，
所以，D正确．
故选：ACD
三、填空题
12. 已知向量的夹角的余弦值为，，且，则_______．
【答案】4
【解析】向量的夹角的余弦值为，，则，
由，解得(负值舍去)．
故答案为：4.
13. 在等比数列中，，则_______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由，得，
由，得，
所以.
故答案为：
14. 已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则_______，_______．
【答案】2
【解析】圆的标准方程为，圆心，
则为的角平分线，所以．
设，则，
所以，则，
即，解得，则，
所以点与重合，
此时，可得，
所以．故答案为：；
四、解答题
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
解：（1）因为，根据正弦定理，得，
化简得，因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，解得．
因为为的中线，所以，
所以，
因为，所以，解得.

16. 某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.

（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）.
（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.
将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：.
解：（1）强化训练后的平均成绩约为.
由于前三列概率之和为，
设中位数为，则，
解得，所以中位数约为83.13.
（2）零假设为跳水运动员是否优秀与强化训练无关.
补充完整的表格为
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．

（1）证明：．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：连接，因为底面是菱形，分别为的中点，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，因为平面，所以．
（2）解：因为是的中点，所以．
又，平面，所以平面．
连接，以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示．设，则，
，
，
．
设是平面的法向量，由，
得取，可得，
设是平面的法向量，
由得取，可得，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18. 已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为．
（1）求C的方程；
（2）设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上．
解：（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于，
直线的方程为，由抛物线的对称性知，
所以，得．
联立方程组，消去得．
设两点的横坐标分别为，则，．
又，所以，所以的方程为．
（2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为，
则直线的方程为．
联立方程组消去得，显然，
设，则．
设，同理可得，
所以，同理可得．
直线的方程为，
即．
同理，直线的方程为
．
两直线方程联立得，解得，
即直线与的交点在定直线上．
19. 已知函数为其导函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．
（1）解：，当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
强化训练后
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
40
60
100
强化训练后
60
40
100
合计
100
100
200