专题练8.2　椭圆（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材）

这是一份专题练8.2　椭圆（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材），共20页。试卷主要包含了2　椭圆，已知曲线C，设椭圆C，已知A和P3,32为椭圆C，已知椭圆C，已知椭圆E，已知椭圆C1，已知O为坐标原点,点F为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M1,32在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
考点1 椭圆的定义和标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=( )
A.1 B.2 C.4 D.5
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为( )
A.52 B.6 C.5 D.2
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=35,则|OP|=( )
A.135 B.302 C.145 D.352
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为23.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
考点2 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( )
A.233 B.2
C.3 D.6
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23 B.23
C.-23 D.-23
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32 B.22
C.12 D.13
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A.22,1 B.12,1
C.0,22 D.0,12
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 .
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆x−12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
8.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C:x2121+y296=1上一点,F1,F2为C的两个焦点,且|PF2|=8,则|PF1|=( )
A.10 B.12 C.14 D.16
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C:x2m+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为22”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若OD=2DB,则椭圆C的离心率为( )
A.12 B.32 C.13 D.23
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆C上一点,且|PF1|=4|PF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.15,25 B.25,35 C.25,1 D.35,1
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F2Q|∶|F1P|∶|F1Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离心率为( )
A.22 B.23 C.32 D.33
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为( )
A.15 B.152 C.37 D.415
7.(多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率e=35
B.|PF1|+|PF2|=5
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.|PF1|的最小值为165
8.(多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,若过F1且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于A,B两点,则( )
A.C的离心率为12
B.PF1·PF2=2
C.点F2到直线l的距离为3
D.△PAB的周长为8
9.(多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则( )
A.轨道的焦距为d2+d1
B.轨道的离心率为d2−d1d2+d1
C.轨道的短轴长为2d1d2
D.当d1d2越大时,轨道越扁
10.(2024山东青岛一模,13)已知O为坐标原点,点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点A,B在C上,AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为 .
11.(2024山东潍坊、滨州一模,16)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A,C分别是E的左、上顶点,|AC|=5,且E的焦距为23.
(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3.求k的值.
练思维
1.(2024山东淄博一模,8)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共点,且P,Q关于原点对称,∠PF2Q=2π3,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( )
A.2+33 B.1+33 C.233 D.433
2.(多选)(2024安徽阜阳一模,10)已知O为坐标原点,椭圆C:x26+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2.A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为上顶点,则( )
A.|AB|的最小值为4
B.|AF1|+|BF1|为定值
C.存在点A,使得AF1⊥AF2
D.kPA·kPB=-13
3.(多选)(2024安徽合肥第一次质检,11)已知椭圆C:x24+y22=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则( )
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.TA·TB=2TM·TN
C.FM·FN的最小值为-43
D.△FMN周长的最大值为8
4.(2024山西晋城二模,14)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,若△OAF1的面积为36b2,其中O为坐标原点,则|AB||F1F2|的值为 .
5.(2024河北唐山一模,14)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交E于A,B两点,C(0,-1)是线段BF1的中点,且AB·AC=AC2,则E的方程为 x29+y26=1 .
6.(2024湖南师大附中二模,17)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为(2,0),离心率为32,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
7.(2024安徽皖江名校联盟联考,18)已知点P在椭圆C:x24+y22=1的外部,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)①若点A坐标为(x1,y1),求证:直线PA的方程为x1x4+y1y2=1;
②若点P的坐标为(x0,y0),求证:直线AB的方程为x0x4+y0y2=1.
(2)若点P在圆x2+y2=4上,求△PAB面积的最大值.
练风向
1.(创新知识交汇)(2024福建泉州质量检测三,3)已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形,过其底面圆周上一点A作平面α,若α截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆,则该椭圆的长轴长的最小值为( )
A.32 B.1 C.3 D.2
2.(创新考法)(2024浙江杭州二模,14)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于 .
8.2 椭圆
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( A )
A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M1,32在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
解析 (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,
∴c=1,b2a=32,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=3,
∴C的方程为x24+y23=1.
(2)证明:当直线AB与x轴重合时显然符合题意.
当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x=ty+4,x24+y23=1,消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,
由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
由根与系数的关系得y1+y2=−24t4+3t2,y1y2=364+3t2,
∵N为FP的中点,∴N52,0,
∴直线NB的方程为y=y2x2−52x−52,
令x=1,解得yQ=-3y22x2−52,
∴y1-yQ=y1+3y22x2−52=2x2y1−5y1+3y22x2−52=2ty1y2+3(y1+y2)2x2−52,
∵2ty1y2+3(y1+y2)=2t·364+3t2+3·−24t4+3t2=0,
∴y1=yQ,即AQ⊥y轴.
综上,AQ⊥y轴.
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
解析 (1)将A(0,3),P3,32代入椭圆方程x2a2+y2b2=1得9b2=1,9a2+94b2=1, 解得a2=12,b2=9,
所以椭圆的离心率e=1−b2a2=12.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=3,
此时S△ABP=12×3×3=92,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+32,
联立y=k(x−3)+32,x212+y29=1,
消去y整理得(3+4k2)x2+(12k-24k2)x+36k2-36k-27=0,
设P(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=24k2−12k3+4k2,x1x2=36k2−36k−273+4k2,
∴|BP|=1+k2·(x1+x2)2−4x1x2=1+k2·6|2k+3|3+4k2,
又点A到直线l的距离d=32+3k1+k2,
∴S△ABP=12|BP|·d=12×1+k2·6|2k+3|3+4k2·32+3k1+k2=9,解得k=12或k=32,
∴直线l的方程为y=12x或y=32x-3.
考点1 椭圆的定义和标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )
A.13 B.12 C.9 D.6
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=( B )
A.1 B.2 C.4 D.5
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为( A )
A.52 B.6 C.5 D.2
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( B )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=35,则|OP|=( B )
A.135 B.302 C.145 D.352
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为23.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
解析 (1)由题意得b=1,c=3,则a=12+(3)2=2,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)过点P且斜率为k的直线方程为y-1=k(x+2),设B(x1,y1),C(x2,y2),
联立直线和椭圆E的方程得y−1=k(x+2),x24+y2=1,可得(1+4k2)·x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)·(16k2+16k)>0,解得k<0,
根据根与系数的关系可得x1+x2=−16k2−8k1+4k2,x1x2=16k2+16k1+4k2.
直线AB的斜率kAB=y1−1x1,则直线AB的方程为y=(y1−1)xx1+1,令y=0,可得点M的横坐标xM=x11−y1,
同理可得点N的横坐标xN=x21−y2,
则|MN|=x11−y1−x21−y2=x1−k(x1+2)−x2−k(x2+2)
=1kx2x2+2−x1x1+2=1k·x2(x1+2)−x1(x2+2)x1x2+2(x1+x2)+4
=1k·2(x1+x2)2−4x1x2x1x2+2(x1+x2)+4=2.
所以1k·2−16k2−8k1+4k22−4·16k2+16k1+4k216k2+16k1+4k2+2·−16k2−8k1+4k2+4=2,
化简可得−kk=12,解得k=-4,
故k的值为-4.
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2−b2.
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.
由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2.解得ca=-2(舍去)或ca=12.
所以C1的离心率为12.
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.①
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5−c)24c2+4(5−c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.
考点2 椭圆的几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( A )
A.233 B.2
C.3 D.6
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( C )
A.23 B.23
C.-23 D.-23
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( A )
A.32 B.22
C.12 D.13
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( C )
A.22,1 B.12,1
C.0,22 D.0,12
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 x+2y-22=0 .
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆x−12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 255 ,椭圆的离心率是 55 .
8.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 13 .
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C:x2121+y296=1上一点,F1,F2为C的两个焦点,且|PF2|=8,则|PF1|=( C )
A.10 B.12 C.14 D.16
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C:x2m+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为22”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若OD=2DB,则椭圆C的离心率为( D )
A.12 B.32 C.13 D.23
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆C上一点,且|PF1|=4|PF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( D )
A.15,25 B.25,35 C.25,1 D.35,1
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F2Q|∶|F1P|∶|F1Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离心率为( A )
A.22 B.23 C.32 D.33
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为( A )
A.15 B.152 C.37 D.415
7.(多选)(2024湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中联考,9)设椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( AC )
A.椭圆C的离心率e=35
B.|PF1|+|PF2|=5
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.|PF1|的最小值为165
8.(多选)(2024黑龙江双鸭山二模,9)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,若过F1且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于A,B两点,则( ABD )
A.C的离心率为12
B.PF1·PF2=2
C.点F2到直线l的距离为3
D.△PAB的周长为8
9.(多选)(2024湖南长沙联考,10)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则( BC )
A.轨道的焦距为d2+d1
B.轨道的离心率为d2−d1d2+d1
C.轨道的短轴长为2d1d2
D.当d1d2越大时,轨道越扁
10.(2024山东青岛一模,13)已知O为坐标原点,点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点A,B在C上,AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为 5−12 .
11.(2024山东潍坊、滨州一模,16)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A,C分别是E的左、上顶点,|AC|=5,且E的焦距为23.
(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3.求k的值.
解析 (1)因为|AC|=5,所以a2+b2=5,(2分)
又因为焦距为23,所以a2-b2=3,(4分)
解得a2=4,b2=1.(5分)
所以椭圆E的方程为x24+y2=1,离心率e=32.(7分)
(2)由(1)知C(0,1),设R(x1,y1),S(x2,y2),x1≠x2,y1y2≠0,
所以k1=y1−1x1,k2=y2−1x2,(8分)
由题意知直线RS:y=k(x-1)(k≠±1),
代入x24+y2=1得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
则有x1+x2=8k24k2+1,x1x2=4k2−44k2+1.(10分)
因为k1+k2=-3,
所以k1+k2=y1−1x1+y2−1x2=x2y1−x2+x1y2−x1x1x2=2kx1x2−(k+1)(x1+x2)x1x2=-3,
即(2k+3)x1x2-(k+1)(x1+x2)=0,
所以(2k+3)4k2−44k2+1-(k+1)8k24k2+1=0,
整理得k2-2k-3=0.(14分)
又k≠±1,所以k=3.
故k的值为3.(15分)
练思维
1.(2024山东淄博一模,8)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P,Q是它们的两个公共点,且P,Q关于原点对称,∠PF2Q=2π3,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( A )
A.2+33 B.1+33 C.233 D.433
2.(多选)(2024安徽阜阳一模,10)已知O为坐标原点,椭圆C:x26+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2.A,B两点都在C上,A,O,B三点共线,P(不与A,B重合)为上顶点,则( BCD )
A.|AB|的最小值为4
B.|AF1|+|BF1|为定值
C.存在点A,使得AF1⊥AF2
D.kPA·kPB=-13
3.(多选)(2024安徽合肥第一次质检,11)已知椭圆C:x24+y22=1的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则( BCD )
A.存在点M,使∠AMB=120°
B.TA·TB=2TM·TN
C.FM·FN的最小值为-43
D.△FMN周长的最大值为8
4.(2024山西晋城二模,14)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C交于A,B两点,且|AF1|=|AB|,若△OAF1的面积为36b2,其中O为坐标原点,则|AB||F1F2|的值为 233 .
5.(2024河北唐山一模,14)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交E于A,B两点,C(0,-1)是线段BF1的中点,且AB·AC=AC2,则E的方程为 x29+y26=1 .
6.(2024湖南师大附中二模,17)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为(2,0),离心率为32,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意知a=2,e=ca=32,∴c=3,
∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆的方程为x24+y2=1.(5分)
(2)设存在常数λ,使得k1+k3=λk2.
当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1,(7分)
代入椭圆方程得A1,32,B1,−32,此时P(4,0),可得k1+k3=0=k2;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程代入椭圆方程得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,(9分)
∴x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2−41+4k2.(10分)
∵P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点,
∴直线PM的方程为y=-1k(x-1),∴P4,−3k,(11分)
k2=-1k,k1=y1+3kx1−4,k3=y2+3kx2−4,∵k1+k3=λk2,∴y1+3kx1−4+y2+3kx2−4=k[2x1x2−5(x1+x2)+8]+3k(x1+x2−8)x1x2−4(x1+x2)+16=λ−1k,
将x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2−41+4k2代入上式,并化简得-2k=-λk,解得λ=2.
综上,存在常数λ=2,使得k1+k3=λk2.(15分)
7.(2024安徽皖江名校联盟联考,18)已知点P在椭圆C:x24+y22=1的外部,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)①若点A坐标为(x1,y1),求证:直线PA的方程为x1x4+y1y2=1;
②若点P的坐标为(x0,y0),求证:直线AB的方程为x0x4+y0y2=1.
(2)若点P在圆x2+y2=4上,求△PAB面积的最大值.
解析 (1)证明:①当PA的斜率存在时,y1≠0,设直线PA的方程为y-y1=k(x-x1),联立y−y1=k(x−x1),x24+y22=1,
消去y整理得(1+2k2)x2+4k(y1-kx1)x+2(y1-kx1)2-4=0,
由已知得Δ=16k2(y1-kx1)2-4(1+2k2)[2(y1-kx1)2-4]=0,
化简得(4-x12)k2+2x1y1k+2-y12=0.
因为x12+2y12=4,所以4y12k2+4x1y1k+x12=0,
即(2y1k+x1)2=0,所以k=-x12y1,
则直线PA的方程为y-y1=-x12y1(x-x1),即x1x+2y1y=x12+2y12,则x1x+2y1y=4,故直线PA的方程为x1x4+y1y2=1,
当PA的斜率不存在时,y1=0,直线PA的方程为x=2或x=-2,满足上式.
综上,直线PA的方程为x1x4+y1y2=1.
②设B(x2,y2),由①知,直线PB的方程为x2x4+y2y2=1.
x1x04+y1y02=1,x2x04+y2y02=1,
则A(x1,y1),B(x2,y2)两点都在直线x0x4+y0y2=1上,
由于两点确定一条直线,所以直线AB的方程为x0x4+y0y2=1.
(2)由(1)②知直线AB的方程为x0x4+y0y2=1,由题意知y0≠0,联立x0x4+y0y2=1,x24+y22=1,
消去y整理得(x02+2y02)x2-8x0x+16-8y02=0,
因为x02+y02=4,所以Δ=64x02-4(x02+2y02)(16-8y02)=32y04>0.
因为A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=8x0x02+2y02=8x0y02+4,x1x2=16−8y02y02+4,
所以|AB|=1+x024y02[(x1+x2)2−4x1x2]=4+3y024y02·32y04(y02+4)2=2|y0|2(4+3y02)y02+4,
又点P到直线AB的距离d=|x02+2y02−4|x02+4y02=y024+3y02,
所以△PAB的面积S=12|AB|d=2|y0|3y02+4(y0≠0),
当00,
故f(y0)在(0,2]上单调递增,所以f(y0)的最大值为f(2)=2,
由对称性可知当-2≤y0<0时, f(y0)的最大值也为2.
故△PAB面积的最大值为2.
练风向
1.(创新知识交汇)(2024福建泉州质量检测三,3)已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形,过其底面圆周上一点A作平面α,若α截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆,则该椭圆的长轴长的最小值为( C )
A.32 B.1 C.3 D.2
2.(创新考法)(2024浙江杭州二模,14)机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于 31717 .