专题03 三角函数与解三角形（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

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易混重难知识
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：.
（2）商数关系：.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
4.辅助角公式
，其中.
5.三角函数的单调性
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
6.三角函数的奇偶性
对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则.
7.三角函数的周期性
求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
8.三角函数的对称性
函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行.
9.正弦定理：在中，角的对边分别为，则.
10.正弦定理的常见变形：
（1）（边角互化）.
（2）.其中，为外接圆的半径.
（3）（边化角）.
（4）（角化边）.
11.余弦定理：在中，角的对边分别为，则
，，.
12.余弦定理的推论：，，.
13.三角形的面积公式
（为外接圆的半径）.
易错试题提升
1.已知，则的值为( )
A.B.C.D.
2.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则( )
A.B.C.D.
3.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为( )()
A.185B.180C.119D.120
4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为( )
A.B.C.D.1
5.如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（参考数据：）( )
A.点A在轮子的左下位置，距离地面约为
B.点A在轮子的右下位置，距离地面约为
C.点A在轮子的左下位置，距离地面约为
D.点A在轮子的右下位置，距离地面约为
6.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是( )

A.B.C.D.
7.已知函数，若任意，在上有零点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
9.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.的面积为
10.（多选）已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A.的图像关于对称
B.在上单调递增
C.的解集为
D.方程在上有3个解
11.已知，则_____________.
12.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离.如图，在与两座山峰，山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖C的仰角是，看塔尖B的仰角是，又测量得，若塔尖B到山脚底部D的距离为米，塔尖C到山脚底部E的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为________米.
13.已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.
以上四个说法中，正确的有为_________.
14.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的面积为，，点D为边BC的中点，求AD的长.
15.如图，在平面四边形ABCD中，，，.
（1）当，时，求的面积；
（2）当，时，求.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，
故选：D.
2.答案：C
解析：由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，，则.故选C.
3.答案：C
解析：设外弧长为，外弧半径为，内弧长为，内弧半径为，该扇面所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，，，扇形的面积为，
该扇面画的面积为，故选：C.
4.答案：C
解析：将的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
因为，所以.
因为在上单调递增，所以，得，所以的最大值为.
5.答案：A
解析：已知轮子的半径，轮子滚动一周的水平距离为，又，，，又（周），，故A在轮子的左下位置.
可得轮子距地面距离.
点A在轮子的左下位置，距离地面约为.故选A.
6.答案：C
解析：的最小正周期为T，由题图可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，故.当时，，
因为在上恰有3个零点，所以，得，故选：C.
7.答案：C
解析：由，可得，
令，因为任意，在上有零点，
则在上有解，
又因为在内有解的最短区间长度为，
所以，解得.故选：C.
8.答案：A
解析：由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.故选：A.
9.答案：ACD
解析：根据正弦定理，由，因为，所以，因此.因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以.
或（舍去）.因此，所以选项C正确；
的面积为，所以选项D正确，故选ACD.
10.答案：BCD
解析：将函数的图像上所有点向右平移个单位长度，
得到，
然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，
若最小正周期为，则有，得，
又因为为偶函数，
所以，即，
又，所以，，
故，，
对于A，，所以的图像不关于对称，A错误；
对于B，令，得，，
当时，函数的单调递增区间为，
所以在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，所以，
所以，
解得，C正确；
对于D，等价于，
即，所以，
所以，即，
又，故当，1，2时，可得，，.
即方程在上有3个解，D正确.
故选：BCD.
11.答案：
解析：因为，所以，
所以.故答案为：.
12.答案：
解析：在中，米，，则米.
同理，在中，米，
在中，米，米，，
由余弦定理，得
米.
故答案为：.
13.答案：②
解析：因为，所以的最小正周期为，故①不正确；
因为，令，而在上递增，
所以在上单调递增，故②正确；
因为，所以，，
所以，故③不正确；
由于，
所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④不正确.
故答案为：②.
14.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为，
所以由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
（2）因为，
所以，
即，
又，则，所以，所以.
所以，所以.在中，由余弦定理可得，即.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因为，则，又，
所以的面积是.
（2）在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.