专题04 平面向量（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

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易混重难知识
1.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
2.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
3.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
4.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
5.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
6.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
7.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
8.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则；
（2）若点，向量，则.
由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
9.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则.
10.向量垂直的坐标表示：设向量，则.
易错试题提升
1.已知向量，，且，则( )
A.B.C.D.8
2.在中，若点D满足，则( )
A.B.
C.D.
3.在中，点D在边AB上，.记，，则( )
A.B.C.D.
4.已知向量，，则( )
A.2B.3C.4D.5
5.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.已知平面向量，，且，则( )
A.B.C.D.
7.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为线段CD，BC上的点，若，，则的最小值是( )
A.1B.C.D.
8.已知非零向量，满足，且，则的形状是( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形D.等边三角形
9.（多选）设向量，，则下列说法错误的是( )
A.若，则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个，为
D.若，则或
10.（多选）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有( )
A.
B.直线AO过BC边的中点
C.
D.若，则
11.设向量a，b的夹角的余弦值为，且，，则__________.
12.已知，.若与垂直，则实数__________.
13.如图所示，已知在矩形ABCD中，，设，，，则__________.
14.在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足.若，，且，则_________.
15.在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得，若（m为常数），则CD的长度是__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，得，解得，所以，所以.
2.答案：D
解析：由，得，
得，得.
故选：D.
3.答案：B
解析：方法一：因为，所以，所以
.
方法二：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A，C，D，故选B.
4.答案：D
解析：由题意知，所以.
5.答案：A
解析：，又表示在方向上的投影数量，所以结合图形可知，当P与C重合时投影数量最大，当P与F重合时投影数量最小.又，，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，，故选A.
6.答案：A
解析：因为，，，
所以，所以，
所以，
故选：A.
7.答案：B
解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xAy，则，，.设，，，则，故，解得或；，故，解得或.因为，所以当，时，取得最小值，为.
8.答案：D
解析：因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，由，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，且.因为且，
所以.又，所以，所以，所以为等边三角形.故选D.
9.答案：CD
解析：对于A，若a与b的夹角为钝角，则且a与b不共线，则，解得且，A说法正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，B说法正确；对于C，，与b共线的单位向量为，即与b共线的单位向量为或，C说法错误；对于D，，即，解得，D说法错误.故选CD.
10.答案：ACD
解析：，则，A正确；如图，若，，，则，所以O是的重心，直线AO过EF中点，而EF与BC不平行，所以直线AO不过BC边的中点，B错误；又，而，，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选ACD.
11.答案：11
解析：.
12.答案：1
解析：因为，，所以，，因为与垂直，所以，解得.
13.答案：
解析：.如图，延长BC至点E，使，连接.，，且，四边形ACED是平行四边形，，，.
14.答案：1
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设，则由题意可得，，，.所以，.因为，所以，即，所以，解得或（舍去），所以.
15.答案：或0
解析：以点A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系xAy，设，，则，.由点P在AD的延长线上，可设，.易知，所以，则，所以，，所以.又，则，所以，得或，则或.