江苏省南通市如东县2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

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BCDAA CDBCB
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分）
11．（-3， 2）12．2024
13．18 14．30°15．
16．017．2 18．18° ≤ α ＜ 22.5°
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19.（本小题10分）计算：
（1）
原式＝ ------------------------------------------------------------------------------------------2分
＝ ---------------------------------------------------------------------------------------------3分
＝ ----------------------------------------------------------------------------------------------5分（2）
原式＝-----------------------------------------------------------------------2分
＝ ---------------------------------------------------------------------------3分
＝---------------------------------------------------------------------------------------------------5分
20.（本小题10分）分解因式：
（1）
原式＝-----------------------------------------------------------------------------------2分
＝------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）
原式＝--------------------------------------------------------------------------------------------------2分
＝-------------------------------------------------------------------------------------------------------5分
21.（本小题10分）
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠CAB＝∠DBA， -----------------------------------------3分
在△CAB和△DBA中，
∠CAB＝∠DBA
AB＝BA，
∠2=∠1
∴△CAB≌△DBA（ASA） ------------------------------------8分
∴AC＝BD ------------------------------------------------------- 10分
22.（本小题10分）
（1）图形正确 2分
A1（1，-1），B1（4，-2），C1（3，-4） -----------5分
（2） 如图所示
P（3，0） ------------7分
（3）如图所示
Q（-3，2） ------------10分
23．（本小题12分）
（1）小彬； ------------------------------------------------------ 3分
（2）整式乘法中的完全平方公式，
因式分解中的平方差公式； ------------------------------------------------------ 7分
（3）
----------------------------------------------------- 12分
24．（本小题12分）
（1）证明： ∵CE平分∠DCA交AB于点E，
∴∠ACE=∠DCE， -------------------------------------------------------2分
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°－∠ACE，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDE==90°，
∴∠DEC=90°－∠DCE，
∴∠BCE=∠DEC， -----------------------------------------------------4分
∴BC＝BE -------------------------------------------------------------------6分
（2）解： ∵CD⊥AB于点D，BD＝DE＝1，
∴CD垂直平分BE，
∴BC＝EC， -----------------------------------------------------8分
由（1）可知BC＝BE
∴BC＝EC＝BE＝1＋1=2．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ B=60°，-------------------------------------------------------------10分
在Rt△ABC中，∠A=90°－60°=30°，
∴AB＝2BC＝4
∴AD=AB－BD＝4－1＝3．-------------------------------------------12分
25．（本小题13分）
（1）证明： ∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
AB＝CA，
∠BAE＝∠C
AE＝CD
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴AC＝BE ----------------------------4分
（2）解：， ----------------------------5分
理由如下：
如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC＝90°，
∵CD＝CA，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠AMC＝90°，
∴∠BAE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACM＝90°，
∴∠BAE＝∠ACM，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°＝∠AMC，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAM（AAS），
∴． ------------------------------9分
（3）解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP＝80°，且CP＝AB，连接DP．
∵AE＝CD，∠BAE＝∠PCD＝80°，
∴△ABE≌△CPD（SAS），
∴BE＝PD，
∴当A，D，P三点共线时，AD＋PD的值最小，即AD＋BE的值最小．
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝50°，
∴∠ACP＝130°，
∵AB＝AC＝CP，
∴，
∴∠ADC＝180°－50°－25°＝105°． -----------------------------------------------------------------------13分
26．（本小题13分）
（1）DC=DA． -------------------------------------------1分
证明：∵等边△BCD，
∴ DB＝DC，∠BDC＝60°，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵∠BDC＝∠DBA＋∠DAB＝60°，
∴∠DBA＝30°＝∠DAB，
∴ DB＝DA，
∵DB＝DC，
∴DC＝DA---------------------------------------------------4分
（2）结论成立．--------------------------------------- ------------5分
证明：作DE⊥AB于点E，∴∠BED＝90°．
∵∠CBD＝∠ABO＝60°，
∴∠CBO＝∠DBE，
∵∠BOC＝∠BED＝90°，BC＝BD，
∴△BOC≌△BED（AAS）
∴BO＝BE， -----------------------------7分
在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝2BO＝2BE
∴DE垂直平分AB，
∴ DA＝DB＝DC．--------------------------------------10分
（3）--------------------------------------------------13分