河南省南阳市第二中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

这是一份河南省南阳市第二中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知 x+2xn的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是( ).
A.6 B. 18 C. 24 D. 48
2.已知a=(csθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,csθ),则向量a+b与a-b 的夹角是( ).
A.30° B. 60° C.90° D.120°
3.已知某离散型随机变量 X 服从二项分布 PX=k=,则 X 的方差DX=( ).

4.已知点 P 为抛物线 x²=4y上任意一点，点A 是圆 x²+y-6²=5上任意一点，则|PA|的最小值为( ).
A.6-5 B.25 C.35 D. 5
5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得线性回归方程 y=bx+â中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( ).
A.9.1万元 B.9.2万元
C.67.7万元 D.65.5万元
6.x²-x+1¹⁰的展开式中x³项的系数为( ).
A.-210 B. 210 C. 30 D. - 30
7.用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为( ).
A.25 B. 630 C. 605 D. 580
8.已知点 P 为双曲线 x2a2-y2b2=1a0,b>0)右支上一点， F₁,F₂分别是双曲线的左、右焦点，且 |F1F2|=b2a,] 为三角形. PF₁F₂的内心.若 SIPF1=SIPF2+λSIF1F2成立，则λ的值为( ).
A.2+1 B.23-1
C.2-1 D.1+222
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知 3-2x9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9,则下列结论正确的有( ).
A.a₀=3⁹
B.a₁=-2×3¹⁰
C.a1+a2+⋯+a9=29
D.展开式中所有项的二项式系数的和为2⁹
10.已知6名同学排成一排，下列说法正确的有( ).
A.甲不站两端，共有 A14A3种排法
B.甲、乙必须相邻，共有 A4A 24种排法
C.甲、乙之间恰有两人，共有 A42A22A33种排法
D.甲不排左端，乙不排右端在，共有 A66-2A55+A44种排法
11.下列结论正确的有( ).
A.若事件A 与B 是互斥事件，则A 与 B也是互斥事件
B.若事件A 与B 是相互独立事件，则 A与B也是相互独立事件
C.若 P(A)=0.6,P(B)=0.2,A 与B 相互独立,那么P(A∪B)=0.68
D.若P(A)=0.8,P(B)=0.7,A 与B 相互独立,那么 PAB=0.06
12.下列结论正确的有( ).
A.过点 A(1,3),B(-3,7)的直线的倾斜角为135°
B.若直线2x+3y+6=0与直线 ax-y+2=0垂直,则 a=32
C.已知A(1,1),B(2,3)及x轴上的动点P,则|PA|+|PB|的最小值为5
D.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离为 9510
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.三个元件 T₁，T₂，T₃正常工作的概率分别为 12,34,34,，且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 .
14.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 .
15.设m∈R,过定点 A 的动直线x+ my=0和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 .
16. a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b都垂直，斜边 AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;
②当直线 AB 与a 成 60°角时,AB 与b 成 60°角;
③直线 AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线 AB 与a 所成角的最大值为 60°.
其中正确的是 .(填序号)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线 ax+y-2=0与圆心为C 的圆 x-1²+y-a²=4相交于A，B 两点，且△ABC 为等边三角形，求实数a 的值.
(12分)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ,求 Eξ.
19.(12分)如图,在梯形 ABCD 中, ABCD,AD=DC=CB=1,∠BCD=2π3,四边形BFED 为矩形,平面. BFED⊥平面ABCD,BF=1.
(1)求证: AD⊥平面BFED;
(2)点 P 在线段EF 上运动，设平面 PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.
20.(12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：
(2)是否有99%的把握判断其亲属的饮食习惯与年龄有关?
(3)从样本中50岁及以下的人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中选3人，求至少抽到一名“主食蔬菜”的人的概率.
附： x2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
21.(12分)已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率为 33,直线 l l:y=x+2与以原点为圆心，椭圆( C₁的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆( C₁的方程；
(2)设椭圆( C₁的左焦点为 F₁,右焦点为 F₂,直线 l₁过点. F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线 l₂垂直于直线 l₁,，垂足为点 P，线段. PF₂的垂直平分线交 l₂于点M，求点M的轨迹( C₂的方程；
(3)设( C₂与 x 轴交于点Q，不同的两点 R，S在( C₂上，且满足 QR⋅RS=0,求 |QS|的取值范围.
22.(12 分)设不等式 x²+y²≤4确定的平面区域为U， |x|+|y|≤1确定的平面区域为V.
(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；
(2)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X，求X 的分布列和数学期望.
答案
一、1. C 2. C 3. B 4. D 5. D 6. A 7. B .8. C
二、9. ABD 10. ACD 11. BCD 12. ABD
三、13. 1532分析：设事件 A 表示 T₁ 正常工作，事件 B 表示T₂ 正常工作，事件 C 表示T₃正常工作，则 PA=12,PB=PC=34.电路不发生故障，即 T₁正常工作且 T₂，T₃至少有一个正常工作，T₂，T₃不发生故障即T₂，T₃至少有 一 个 正 常 工 作 的 概 率 P₁=1- 1-341-34=1516,所以整个电路不发生故障的概率 P=PA×P1=12×1516=1532.
14.150 15.5
16.②③ 分析:由题意知,a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，故.AC=1,AB= 2斜边 AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B点的运动轨迹是以 C 为圆心，1为半径的圆.设直线a,b的方向向量分别为a=(0,1,0),b=(1,0,0).
如图,设点 B 在运动过程中的坐标为(csθ,sinθ,0),其中θ=∠B'CD,θ∈[0,2π).那么AB 在运动过程中的向量 B'A=-csθ-sinθ1, |AB'|=2.
设 B'A与a 所成夹角为α，则 α∈0π2,且 csα=|-csθ-sinθ1⋅010||a||AB'|
=22|sinθ|∈022.
故 α∈π4π2,所以③正确，④错误.
设 B'A与b所成夹角为β，则 β∈0π2,且csβ=|B'A⋅b||b|AB7|
=|-csθ-sinθ1⋅100||b||AB'|
=22|csθ|.
当 B'A与a的夹角 α=π3时，
|sinθ|=2csα=2csπ3=22.
∵cs2θ+sin2θ=1,∴|csθ|=22.
∴csβ=22|csθ|=12.∵β∈0π2,
∴β=π3,即此时 B'A与b的夹角为π/3.
∴②正确,①错误.
四、17.解：因为△ABC 为等边三角形且C 为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性质可知高为 3,即 C 到AB 的距离为 3.由圆方程可得,C(1,a),所以圆心C 到直线 ax+y--2=0 的距离 d=|a+a-2|a2+1=3,所以 2a-2²=3a²+1,解得 a=4±15.
18.解：由题意知变量ξ的取值可能为2，3，4， Pξ=2=25×14=110,
Pξ=3=25×34×13+35×24×13+35× 24×13=310,
Pξ=4=1-Pξ=2-Pξ=3=35,
所以 Eξ=2×110+3×310+4×35=72.
19.(1)证明:∵梯形 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,∴∠BCD=∠ADC.连接 BD,又∵∠BCD= 2π3,DC=CB,∴∠BDC=π6,
∴∠ADB=π2,∴AD⊥BD.
∵平面 BFED⊥平面 ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,∴AD⊥平面 BFED.
(2)解：由(1)可建立以点 D 为坐标原点，直线DA,DB,DE 分别为x轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，如图所示.
令 EP=λ0≤λ≤3,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, 3,0),P(0,λ,1), ∴AB=-130,BP=0λ-31.
设n₁=(x,y,z)为平面 PAB 的一个法向量,则 n1⋅AB=0,n1⋅BP=0,引 -x+3y=0,λ-3y+z=0,取y=1,得 n1=313-λ.
∵n₂=010是平面ADE 的一个法向量，
∴csθ=|n1⋅n2|n1||n2||
=132+1+3-λ2×1
=1λ-32+4.
∵0≤λ≤ 3,∴当 λ=3时，csθ有最大值 12又∵θ为锐角，∴θ的最小值为π/3.
20.解:(1)2×2列联表如下表:
2∵x2=30×2×4-16×8212×18×20×10=10>6.635,
∴有 99%的把握判断其亲属的饮食习惯与年龄有关.
3P=C63-C43C63=45.
21.解: 1e=ca=33⇒a=3c.∵l:y=x+2与圆O :x²+y²=b²相切，
∴点 O 到直线l的距离 d-1=22=b,
∴b=2.
∵a=3c,∴b2=a2-c2=2c2;即 c²=1,
∴c=1,∴a= 3,∴椭圆 C1:x23+y22=1.
(2)由(1)可得l₁:x=-1.
∵线段 PF₂ 的垂直平分线交 l₂于点 M,
∴|PM|= |MF₂|,即 M 到直线 l₁ 的距离 dM-t1=|MF2|,
∴M 的轨迹为以 F₂为焦点，l₁为准线的抛物线，设其方程为 y²=2pxp0),∵F₂(1,0),∴p=2,∴C₂:y²=4x.
(3)C₂ 与x轴的交点为Q(0,0),设 Ry124y1,Sy224y2,
∴QR=y124y1,RS=y22-y124y2-y1,
∴QR⋅RS=y12y22-y1216+y1y2-y1=0,
∵y₁≠y₂≠0,
∴化简可得 y2=-y1+16y1circle1.
考虑 |QS|=y2242+y22
=14y22+82-64,
由①可得 y22=y1+16y12=y12+256y12+32≥
2y12⋅256y12+32=64,∴y22≥64时，
可得 |QS|=14y22+82-64≥85.
∴|QS|∈85+∞.
22.解:(1)依题意可得U中整点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(±1,0),(±2,0),(±1,±1),共 13个,V中整点有(0,0),(0,±1),(±1,0),共5个. 设事件 A 表示“区域U中的整点恰有2个在区域V 内”，则 PA=Cs2C81C133=40143.
(2)平面区域U 的面积 SU=π⋅2²=4π,平面区域V的面积 SV=12×2×2=2.
∴在区域U 内任取一个点，则该点在区域V 内的概率为 24π=12π.
易知 X 的可能取值为(0,1,2,3,X~B(3, 127).
则 PX=0=C301-12π3=2π-138π3;
PX=1=C3112π1-12π2=32π-128π3;
PX=2=C3212π2(1-12π=32π-18π3;
PX=3=C3312π3=18π3.
∴X 的分布列为
∴EX=3×12π=32π.
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54

主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁及以下



50岁以上



总计



p(χ²≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁及以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
x
0
1
2
3
P
(2π/81)³
3(2π-1)²
3(2π-1)
18x³