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第01讲 函数的概念及其表示（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份第01讲 函数的概念及其表示（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第01讲函数的概念及其表示十六大题型练习原卷版docx、第01讲函数的概念及其表示十六大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
题型一：函数的概念
1．已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对A：可得定义域为，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为，值域为，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
2．任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，
故选：A．
3．函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A项，因为，所以，
所以方程对应的曲线为椭圆，
所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；
对于B项，因为，所以，
所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为，
所以当其绕原点旋转后，其一定是函数图象，故B项成立；
对于C项，因为，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；
对于D项，因为，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.
故选：B.
题型二：同一函数的判断
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、C、D中，的定义域均为，而A中的定义域为，C中的定义域为，D中的定义域为，故A、C、D均错，B中与的定义域与值域均相同，故表示同一函数，故选B．
考点：函数的解析式．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与．
A．①②B．①③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
7．下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
8．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】A
【解析】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；
B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；
C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；
D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.
故选：A
题型三：给出函数解析式求解定义域
9．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R}B．{x|x>0}
C．{x|0【答案】D
【解析】由题意知解得即定义域为
故选：D.
10．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意自变量应满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】因为，
所以且，
解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：
12．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域满足，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
题型四：抽象函数定义域
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】对于，因为，所以由的单调性得，即，
所以对于，有，即，
由的单调性得，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
15．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域为，得，
因此函数中，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
题型五：函数定义域的综合应用
18．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，则，
而函数的定义域为，
所以，即.
故答案为：；.
19．函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由函数的定义域为，
得，恒成立．
当时，，成立；
当时，需满足于是．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：.
20．若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数的定义域为，
所以恒成立，
当时，显然不合题意，
当时，则
∴
综上所述
故选：C.
21．已知函数的定义域为R，则a的范围是 ．
【答案】
【解析】有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
题型六：待定系数法求解析式
22．已知函数是二次函数，且满足，则= ．
【答案】
【解析】设二次函数
已知二次函数满足
即：
可得：，解得
则
23．若是上单调递减的一次函数，且，则 .
【答案】
【解析】因为是上单调递减的一次函数，所以可设，
所以，
又因为，所以恒成立，
所以，因为，所以，.
所以.
故答案为：
24．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为 .
【答案】
【解析】根据顶点为（-2，3），设，
由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，
所以
故答案为：
25．已知是一次函数，且满足，求 ．
【答案】
【解析】因为是一次函数，设，
因为，
所以，
整理可得，
所以，可得，
所以，
故答案为：.
26．已知定义在上的函数对任意实数，，恒有，并且函数在上单调递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域）
【答案】（不唯一）
【解析】由题意例如
且在上单调递减
故答案为：（不唯一）
题型七：换元法求解析式
27．（2024·高三·上海黄浦·开学考试）已知，则函数的解析式为 .
【答案】
【解析】依题意，令，则，
所以函数的解析式为.
故答案为：
28．已知函数满足，则 .
【答案】
【解析】令则
所以，
故，
故答案为：
29．（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/2.5
【解析】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
30．已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，
在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，
可得，
又因为是单调递增的，
所以，
故选：C.
题型八：方程组消元法求解析式
31．函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，，
由可得，即，
所以，，解得，其中，
故选：A.
32．设定义在上的函数满足，则 .
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
33．若对任意实数，均有，求
【答案】/
【解析】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
34．已知，求的解析式 .
【答案】，.
【解析】因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
35．已知函数满足，则 .
【答案】/
【解析】因为①，
所以②，
②①得，．
故答案为：．
题型九：赋值法求解析式
36．设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
37．已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
对任意，，，都有，可得在单调递减，
不妨设，由题意，，所以，则，
当时，，
因为在上单调递减，且在上单调递增，
所以，不妨取，此时.
故符合上述条件的一个函数解析式，（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
38．已知函数满足以下条件：①在上单调递增；②对任意，，均有；则的一个解析式为 .
【答案】，答案不唯一
【解析】依题意可知为增函数，且，
故的一个解析式可以为.
故答案为：，答案不唯一
题型十：求值域的7个基本方法
39．求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【解析】（1）因为，所以．故值域为．
（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．
（3）令，则，且，
所以（）．故函数的值域．
（4），其中，，
当时，．
又因为，所以．
故函数的值域为．
（5）因为，所以，所以，
当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．
故函数的值域为．
40．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以函数的值域为.
41．求下列函数的值域:
(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【解析】（1）由题意可得：，
因为，则，
所以原函数的值域为.
（2）因为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以原函数的值域为.
（3）令，解得，
可得函数的定义域为，
因为，可得
所以原函数的值域为.
（4）设，则，
所以原函数转化为，
因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，
可知当时，函数取到最大值，
所以原函数的值域为.
42．求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．
（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（3）（分离常数法） ，因为，所以，所以故函数的值域为．
（4）（换元法） 设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故函数的值域为．
（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为．
（7）由知，
整理得．
当时，方程无解；当时，，即．
故所求函数的值域为．
题型十一：数形结合求值域
43．求函数的最小值.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）.
44．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数，的值域为 .
【答案】
【解析】，
所以函数的几何意义是连结和的直线的斜率，
点，在单位圆上，如图，
，,，,
所以的值域为.
故答案为：
45．（2024·陕西铜川·一模）若，则函数的值域是 ．
【答案】
【解析】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.
由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
46．函数的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
故答案为：
题型十二：值域与求参问题
47．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，其值域为，
当时，的值域应包含，所以为减函数，
所以，且，解得.
故选：A
48．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即，
则，
因为函数的值域为，所以
当时，有，即，得，即;
当时，有，即，得，即.
综上，实数a的取值范围为.
故选：D.
49．已知函数，若函数的定义域为，值域为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而
，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．故
故选：C
50．已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【解析】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
题型十三：判别式法求值域
51．（2024·高三·北京·强基计划）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
52．函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
53．函数的值域是 .
【答案】
【解析】由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且
解得：，
综上得：.
故答案为：.
54．函数的值域是 .
【答案】
【解析】，
令，所以，整理得
所以关于的方程有实数解，
当时，原式为，解得，满足；
当时，所以，整理得，
解得，
此时，且，
∴综上，函数的值域为，
故答案为：
55．已知函数的最大值是9，最小值是1，则 ， .
【答案】
【解析】由得，故，
当时，的两根为1，9，
故的两根为1，9，故 ，解得，
当时， ，也适合题意；
故答案为：.
题型十四：三角换元法求值域
56．求的值域
【解析可得，
即，
由三角函数辅助角公式可得，（为辅助角），
则，解得，
故函数的值域为.
57．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【解析】（1）由于，故可令．
则原式变为．
，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．
故函数的值域为．
（3）解法一：
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函数的值域为．
解法二：
由解法一得，
则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，
点在半圆上，
当直线与半圆，相切时，，解得，
数形结合易得，即．．
故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
题型十五：分段函数求值、求参数问题
58．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】由函数可得，.
故选：B.
59．（2024·陕西西安·三模）已知函数，则（ ）
A．8B．12C．16D．24
【答案】D
【解析】由，得，
所以.
故选：D
60．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】D
【解析】易得在和上为增函数，
，所以，
由得，解得或（舍去），
则，
故选：D.
61．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以.
故选：C.
题型十六：分段函数与方程、不等式
62．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
63．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
64．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，求导得，令，
求导得，则函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此；
当时，，由，得，因此，
所以不等式的解集为.
故选：D
1．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以，即，
设，易知在上单调递增，
所以，即，
故，所以．
故选：B．
2．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】C
【解析】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，得函数在上单调递增．由，
得，注意到，
所以．
从而不等式转化为，
所以，解得．
故选:A．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为函数，则,
令，则，
又因为，
所以，
所以，
故选：B.
5．已知是定义域为的单调递增的函数，，，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
【答案】B
【解析】因为有，令，则，
显然，否则，与矛盾.
从而，由.即得，
，即，于是，且.
所以，所以，.
因为所以，于是，.
因为所以.
因为所以，.
因为，，
所以，，
所以，.
故选：B.
6．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】分以下几种情况讨论：
①当、、全为时，只有种；
②当、、中有两个为，一个为时，有种；
③当、、中有两个为，一个为时，有种；
④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种；
⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种.
综上所述，满足条件的函数的个数为个.
故选：D.
7．存在函数满足，对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；
对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；
对C，取，有；取，有，故C错误；
对D，取得，再取可得，故D错误
故选：B
8．（2024·高三·全国·课后作业）已知函数的值域为，则满足这样条件的函数的个数为（ ）
A．8B．9C．26D．27
【答案】B
【解析】根据题意，值域为，所以时，
时，；时，
所以定义域中元素在这5个x的取值中选取：
①当定义域中有3个元素时，有个函数满足条件；
②当定义域中有4个元素时，有个函数满足条件；
③当定义域中有5个元素时，有1个函数满足条件
所以满足条件的函数共有（个）.选项B正确，选项ACD错误.
故选：B.
9．（多选题）(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【解析】解析：f(x)＝
＝
＝1＋
，∵ 2x＞0，∴ 1＋2x＞1，∴ 0＜
＜1，则0＜
＜2，∴ 1＜1＋
＜3，即1＜f(x)＜3，当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1；当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．故选BC．
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．设数列的前项和为，则数列是等差数列
【答案】AC
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B错误；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，数列的前项和为，
则，，，不成等差数列，
则数列不是等差数列，故D错误．
故选：AC．
11．（多选题）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．C．
D．E．
【答案】ABD
【解析】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确;
对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确;
对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;
对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确
对于E,定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误
综上,故选ABD
12．函数的最大值是 ；最小值是 .
【答案】 2
【解析】要使函数有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为，且
则，
当时，取最小值0，故取到最大值4，
则函数的最大值为2；
当时，取最大值1，故取到最小值2，
则函数的最大值为；
故答案为：
13．已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【解析】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
14．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
1．（2022年新高考北京数学高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 .
【答案】2
【解析】，故，
故答案为：2.
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】或
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数，若，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，当时，即，则
，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：
，解之得，
即函数的定义域为，
故选：C．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
7．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
8．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））函数的定义域为 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，需解得09．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷））已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】，.
【解析】，
若：，当且仅当时，等号成立；
若：，当且仅当时，等号成立，故可知．
10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））设常数，函数，若，则 .
【答案】3
【解析】由题意，则，所以.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc166763638" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc166763638 \h 2
\l "_Tc166763639" 题型一：函数的概念 PAGEREF _Tc166763639 \h 2
\l "_Tc166763640" 题型二：同一函数的判断 PAGEREF _Tc166763640 \h 3
\l "_Tc166763641" 题型三：给出函数解析式求解定义域 PAGEREF _Tc166763641 \h 5
\l "_Tc166763642" 题型四：抽象函数定义域 PAGEREF _Tc166763642 \h 6
\l "_Tc166763643" 题型五：函数定义域的综合应用 PAGEREF _Tc166763643 \h 8
\l "_Tc166763644" 题型六：待定系数法求解析式 PAGEREF _Tc166763644 \h 9
\l "_Tc166763645" 题型七：换元法求解析式 PAGEREF _Tc166763645 \h 10
\l "_Tc166763646" 题型八：方程组消元法求解析式 PAGEREF _Tc166763646 \h 12
\l "_Tc166763647" 题型九：赋值法求解析式 PAGEREF _Tc166763647 \h 14
\l "_Tc166763648" 题型十：求值域的7个基本方法 PAGEREF _Tc166763648 \h 15
\l "_Tc166763649" 题型十一：数形结合求值域 PAGEREF _Tc166763649 \h 19
\l "_Tc166763650" 题型十二：值域与求参问题 PAGEREF _Tc166763650 \h 21
\l "_Tc166763651" 题型十三：判别式法求值域 PAGEREF _Tc166763651 \h 23
\l "_Tc166763652" 题型十四：三角换元法求值域 PAGEREF _Tc166763652 \h 25
\l "_Tc166763653" 题型十五：分段函数求值、求参数问题 PAGEREF _Tc166763653 \h 27
\l "_Tc166763654" 题型十六：分段函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc166763654 \h 28
\l "_Tc166763655" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc166763655 \h 30
\l "_Tc166763656" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc166763656 \h 36
题型一：函数的概念
1．已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对A：可得定义域为，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为，值域为，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
2．任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，
故选：A．
3．函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A项，因为，所以，
所以方程对应的曲线为椭圆，
所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；
对于B项，因为，所以，
所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为，
所以当其绕原点旋转后，其一定是函数图象，故B项成立；
对于C项，因为，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；
对于D项，因为，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.
故选：B.
题型二：同一函数的判断
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、C、D中，的定义域均为，而A中的定义域为，C中的定义域为，D中的定义域为，故A、C、D均错，B中与的定义域与值域均相同，故表示同一函数，故选B．
考点：函数的解析式．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与．
A．①②B．①③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
7．下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
8．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】A
【解析】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；
B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；
C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；
D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.
故选：A
题型三：给出函数解析式求解定义域
9．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R}B．{x|x>0}
C．{x|0
【解析】由题意知解得
故选：D.
10．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意自变量应满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】因为，
所以且，
解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：
12．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域满足，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
题型四：抽象函数定义域
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】对于，因为，所以由的单调性得，即，
所以对于，有，即，
由的单调性得，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
15．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域为，得，
因此函数中，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
题型五：函数定义域的综合应用
18．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，则，
而函数的定义域为，
所以，即.
故答案为：；.
19．函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由函数的定义域为，
得，恒成立．
当时，，成立；
当时，需满足于是．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：.
20．若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数的定义域为，
所以恒成立，
当时，显然不合题意，
当时，则
∴
综上所述
故选：C.
21．已知函数的定义域为R，则a的范围是 ．
【答案】
【解析】有函数解析式知要使定义域为R，则恒成立，结合二次函数的性质即可求参数a的范围.当时，，即定义域为R；
当，要使的定义域为R，则在上恒成立，
∴，解得，
综上，有，
故答案为：
题型六：待定系数法求解析式
22．已知函数是二次函数，且满足，则= ．
【答案】
【解析】设二次函数
已知二次函数满足
即：
可得：，解得
则
23．若是上单调递减的一次函数，且，则 .
【答案】
【解析】因为是上单调递减的一次函数，所以可设，
所以，
又因为，所以恒成立，
所以，因为，所以，.
所以.
故答案为：
24．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为 .
【答案】
【解析】根据顶点为（-2，3），设，
由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，
所以
故答案为：
25．已知是一次函数，且满足，求 ．
【答案】
【解析】因为是一次函数，设，
因为，
所以，
整理可得，
所以，可得，
所以，
故答案为：.
26．已知定义在上的函数对任意实数，，恒有，并且函数在上单调递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域）
【答案】（不唯一）
【解析】由题意例如
且在上单调递减
故答案为：（不唯一）
题型七：换元法求解析式
27．（2024·高三·上海黄浦·开学考试）已知，则函数的解析式为 .
【答案】
【解析】依题意，令，则，
所以函数的解析式为.
故答案为：
28．已知函数满足，则 .
【答案】
【解析】令则
所以，
故，
故答案为：
29．（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/2.5
【解析】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
30．已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，
在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，
可得，
又因为是单调递增的，
所以，
故选：C.
题型八：方程组消元法求解析式
31．函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，，
由可得，即，
所以，，解得，其中，
故选：A.
32．设定义在上的函数满足，则 .
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
33．若对任意实数，均有，求
【答案】/
【解析】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
34．已知，求的解析式 .
【答案】，.
【解析】因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
35．已知函数满足，则 .
【答案】/
【解析】因为①，
所以②，
②①得，．
故答案为：．
题型九：赋值法求解析式
36．设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
37．已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
对任意，，，都有，可得在单调递减，
不妨设，由题意，，所以，则，
当时，，
因为在上单调递减，且在上单调递增，
所以，不妨取，此时.
故符合上述条件的一个函数解析式，（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
38．已知函数满足以下条件：①在上单调递增；②对任意，，均有；则的一个解析式为 .
【答案】，答案不唯一
【解析】依题意可知为增函数，且，
故的一个解析式可以为.
故答案为：，答案不唯一
题型十：求值域的7个基本方法
39．求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【解析】（1）因为，所以．故值域为．
（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．
（3）令，则，且，
所以（）．故函数的值域．
（4），其中，，
当时，．
又因为，所以．
故函数的值域为．
（5）因为，所以，所以，
当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．
故函数的值域为．
40．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以函数的值域为.
41．求下列函数的值域:
(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【解析】（1）由题意可得：，
因为，则，
所以原函数的值域为.
（2）因为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以原函数的值域为.
（3）令，解得，
可得函数的定义域为，
因为，可得
所以原函数的值域为.
（4）设，则，
所以原函数转化为，
因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，
可知当时，函数取到最大值，
所以原函数的值域为.
42．求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【解析】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．
（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（3）（分离常数法） ，因为，所以，所以故函数的值域为．
（4）（换元法） 设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故函数的值域为．
（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为．
（7）由知，
整理得．
当时，方程无解；当时，，即．
故所求函数的值域为．
题型十一：数形结合求值域
43．求函数的最小值.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）.
44．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数，的值域为 .
【答案】
【解析】，
所以函数的几何意义是连结和的直线的斜率，
点，在单位圆上，如图，
，,，,
所以的值域为.
故答案为：
45．（2024·陕西铜川·一模）若，则函数的值域是 ．
【答案】
【解析】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.
由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
46．函数的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
故答案为：
题型十二：值域与求参问题
47．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，其值域为，
当时，的值域应包含，所以为减函数，
所以，且，解得.
故选：A
48．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即，
则，
因为函数的值域为，所以
当时，有，即，得，即;
当时，有，即，得，即.
综上，实数a的取值范围为.
故选：D.
49．已知函数，若函数的定义域为，值域为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而
，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．故
故选：C
50．已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【解析】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
题型十三：判别式法求值域
51．（2024·高三·北京·强基计划）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
52．函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
53．函数的值域是 .
【答案】
【解析】由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且
解得：，
综上得：.
故答案为：.
54．函数的值域是 .
【答案】
【解析】，
令，所以，整理得
所以关于的方程有实数解，
当时，原式为，解得，满足；
当时，所以，整理得，
解得，
此时，且，
∴综上，函数的值域为，
故答案为：
55．已知函数的最大值是9，最小值是1，则 ， .
【答案】
【解析】由得，故，
当时，的两根为1，9，
故的两根为1，9，故 ，解得，
当时， ，也适合题意；
故答案为：.
题型十四：三角换元法求值域
56．求的值域
【解析可得，
即，
由三角函数辅助角公式可得，（为辅助角），
则，解得，
故函数的值域为.
57．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【解析】（1）由于，故可令．
则原式变为．
，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．
故函数的值域为．
（3）解法一：
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函数的值域为．
解法二：
由解法一得，
则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，
点在半圆上，
当直线与半圆，相切时，，解得，
数形结合易得，即．．
故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
题型十五：分段函数求值、求参数问题
58．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】由函数可得，.
故选：B.
59．（2024·陕西西安·三模）已知函数，则（ ）
A．8B．12C．16D．24
【答案】D
【解析】由，得，
所以.
故选：D
60．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．6
【答案】D
【解析】易得在和上为增函数，
，所以，
由得，解得或（舍去），
则，
故选：D.
61．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以.
故选：C.
题型十六：分段函数与方程、不等式
62．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
63．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
64．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，求导得，令，
求导得，则函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此；
当时，，由，得，因此，
所以不等式的解集为.
故选：D
1．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以，即，
设，易知在上单调递增，
所以，即，
故，所以．
故选：B．
2．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】C
【解析】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，得函数在上单调递增．由，
得，注意到，
所以．
从而不等式转化为，
所以，解得．
故选:A．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为函数，则,
令，则，
又因为，
所以，
所以，
故选：B.
5．已知是定义域为的单调递增的函数，，，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
【答案】B
【解析】因为有，令，则，
显然，否则，与矛盾.
从而，由.即得，
，即，于是，且.
所以，所以，.
因为所以，于是，.
因为所以.
因为所以，.
因为，，
所以，，
所以，.
故选：B.
6．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】分以下几种情况讨论：
①当、、全为时，只有种；
②当、、中有两个为，一个为时，有种；
③当、、中有两个为，一个为时，有种；
④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种；
⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种.
综上所述，满足条件的函数的个数为个.
故选：D.
7．存在函数满足，对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；
对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；
对C，取，有；取，有，故C错误；
对D，取得，再取可得，故D错误
故选：B
8．（2024·高三·全国·课后作业）已知函数的值域为，则满足这样条件的函数的个数为（ ）
A．8B．9C．26D．27
【答案】B
【解析】根据题意，值域为，所以时，
时，；时，
所以定义域中元素在这5个x的取值中选取：
①当定义域中有3个元素时，有个函数满足条件；
②当定义域中有4个元素时，有个函数满足条件；
③当定义域中有5个元素时，有1个函数满足条件
所以满足条件的函数共有（个）.选项B正确，选项ACD错误.
故选：B.
9．（多选题）(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【解析】解析：f(x)＝
＝
＝1＋
，∵ 2x＞0，∴ 1＋2x＞1，∴ 0＜
＜1，则0＜
＜2，∴ 1＜1＋
＜3，即1＜f(x)＜3，当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1；当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．故选BC．
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．设数列的前项和为，则数列是等差数列
【答案】AC
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B错误；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，数列的前项和为，
则，，，不成等差数列，
则数列不是等差数列，故D错误．
故选：AC．
11．（多选题）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．B．C．
D．E．
【答案】ABD
【解析】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确;
对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确;
对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;
对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确
对于E,定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误
综上,故选ABD
12．函数的最大值是 ；最小值是 .
【答案】 2
【解析】要使函数有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为，且
则，
当时，取最小值0，故取到最大值4，
则函数的最大值为2；
当时，取最大值1，故取到最小值2，
则函数的最大值为；
故答案为：
13．已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【解析】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
14．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
1．（2022年新高考北京数学高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 .
【答案】2
【解析】，故，
故答案为：2.
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】或
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数，若，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，当时，即，则
，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：
，解之得，
即函数的定义域为，
故选：C．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
7．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
8．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））函数的定义域为 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，需解得0
【答案】，.
【解析】，
若：，当且仅当时，等号成立；
若：，当且仅当时，等号成立，故可知．
10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））设常数，函数，若，则 .
【答案】3
【解析】由题意，则，所以.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc166763638" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc166763638 \h 2
\l "_Tc166763639" 题型一：函数的概念 PAGEREF _Tc166763639 \h 2
\l "_Tc166763640" 题型二：同一函数的判断 PAGEREF _Tc166763640 \h 3
\l "_Tc166763641" 题型三：给出函数解析式求解定义域 PAGEREF _Tc166763641 \h 5
\l "_Tc166763642" 题型四：抽象函数定义域 PAGEREF _Tc166763642 \h 6
\l "_Tc166763643" 题型五：函数定义域的综合应用 PAGEREF _Tc166763643 \h 8
\l "_Tc166763644" 题型六：待定系数法求解析式 PAGEREF _Tc166763644 \h 9
\l "_Tc166763645" 题型七：换元法求解析式 PAGEREF _Tc166763645 \h 10
\l "_Tc166763646" 题型八：方程组消元法求解析式 PAGEREF _Tc166763646 \h 12
\l "_Tc166763647" 题型九：赋值法求解析式 PAGEREF _Tc166763647 \h 14
\l "_Tc166763648" 题型十：求值域的7个基本方法 PAGEREF _Tc166763648 \h 15
\l "_Tc166763649" 题型十一：数形结合求值域 PAGEREF _Tc166763649 \h 19
\l "_Tc166763650" 题型十二：值域与求参问题 PAGEREF _Tc166763650 \h 21
\l "_Tc166763651" 题型十三：判别式法求值域 PAGEREF _Tc166763651 \h 23
\l "_Tc166763652" 题型十四：三角换元法求值域 PAGEREF _Tc166763652 \h 25
\l "_Tc166763653" 题型十五：分段函数求值、求参数问题 PAGEREF _Tc166763653 \h 27
\l "_Tc166763654" 题型十六：分段函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc166763654 \h 28
\l "_Tc166763655" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc166763655 \h 30
\l "_Tc166763656" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc166763656 \h 36
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