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第07讲 函数与方程（十一大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份第07讲 函数与方程（十一大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第07讲函数与方程十一大题型练习原卷版docx、第07讲函数与方程十一大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
题型一：求函数的零点或零点所在区间
1．（2024·高三·北京东城·开学考试）已知函数则函数的零点为
【答案】
【解析】当时，由，即，解得或（舍），
当时，由，解得，
综上可得，函数的零点为．
故答案为：．
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，可知为增函数，
且，
，
根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.
故选：B
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，
根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：B.
4．（2024·高三·江苏常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ．
【答案】
【解析】函数的零点，即方程的所有根，
令，根据函数，方程的解是，
则方程的根，即为方程的根，
当时，，由，，
当时，，由，，
综上，函数所有零点构成的集合是.
故答案为：.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
5．（2024·高三·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.
因为在内有零点，
所以，解得.
故选：A
6．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内得，
解得，
故选：A
9．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.
故选：B.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
10．函数的零点个数为
【答案】6
【解析】，故，
画出和，两函数交点个数即为的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.
故答案为：6
11．已知函数，则方程的解的个数是 .
【答案】4
【解析】依题意可得，，
当时，由得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得.
综上可得，方程有4个实数根，
故答案为：4
12．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 .
【答案】3
【解析】令,则,
令,
则与的交点个数即为的零点个数,
当时,,
又,
所以是周期为1的函数,
在上单调递减,且,
所以可作出与的图象如图,
所以与有3个交点，故的零点个数为3,
故答案为：3.
13．函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，不合乎题意.
当时，由于函数、在上均为增函数，
此时函数在上为增函数.
当时，由于函数、在上均为减函数，
此时函数在上为减函数.
因为函数在区间上有零点，则，
即，解得.
故选：D.
题型四：嵌套函数的零点问题
14．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为
，
则或，
则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，
由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，
所以的图象与直线的交点个数为3个，
即此时，
解得，
故选：C.
15．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，图象如下图示，
令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，
若，则，则，此时，，显然此时不合题意，
故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，
而开口向上，故.
故选：C
16．（2024·高三·天津滨海新·开学考试）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】整理可得：，故或，由于，故无解，由基本不等式，时，，故无解，依题意，于是在上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作出的图像如下：
结合图像可知，当时，在上有四个解如图所示，由于是的一条对称轴，根据对称性，，由，即，整理可得，由于，故，即.
于是可以整理为，又，解得，结合图像可知，，即，故，当时取得等号，为使得恒成立，只需，即，解得.
故选：B
17．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【解析】令，作出函数的大致图象，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
所以，，，
因此，.
故选：C.
题型五：函数的对称问题
18．（2024·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案函数的图象与函数的图象关于原点对称，
则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，
即方程有解，
即有解，
令，
则，
当时，，
当，，故，
由，，
故当时，
故的取值范围为.
故选：B.
20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点.
，
当时，，单调递增.
当时，，单调递减.且时，，时，
所以
所以图象与函数图象有2个交点.
则，解得.
故选：B
21．（2024·江西·一模）已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题.即方程在区间上有解，由此可得，即，所以.
22．（2024·江西·模拟预测）函数，（），若与的图象上分别存在点，关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为函数上一点，则关于对称的点为，
且在函数图象上，所以，
得，，当时，，单调递减，
当时，，所以单调递增，所以在有最小值为，
，，所以，故.
故选：B.
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
23．（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
24．已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．
25．（2024·全国·高三假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
题型七：唯一零点求值问题
26．已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】有零点，则，
令，则上式可化为，
因为恒成立，所以，
令，则，
故为偶函数，
因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，
结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故.
故选：D
27．（2024·全国·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．0B．－2C．2D．－1
【答案】B
【解析】设，
∴
故函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称，
∵有唯一零点
∴，即，
经检验，仅有1个零点.
故选：B.
28．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，
故选：D.
29．（2024·广东茂名·二模）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C
30．已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【解析】，令，
则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
故选：B
题型八：分段函数的零点问题
31．（2024·河南开封·模拟预测）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，,
则,
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
当时，，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，
所以与的图象有两个交点，
由图可知或.
所以的取值范围为.
故选:C.
32．（2024·全国·模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
33．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，令，解得；
当时，令，则，
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图像如图所示，
观察可知，它们有2个交点，即函数有2个零点；
综上所述，函数的零点个数为3.
故选：C.
34．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，
，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而，故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，
故选：D.
35．若函数有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，时，，此时
时，;时，,
所以在上单调递增，在上单调递减
时，
所以在上无零点
从而时，有2个零点，根据二次函数的性质可得
故选：D.
题型九：零点嵌套问题
36．（2024·辽宁·二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81B．﹣81C．﹣9D．9
【答案】A
【解析】把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.
∴
∴
令，，则，
∴
令，解得
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
设关于t的一元二次方程有两实根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，当且仅当时等号成立，
由于，∴，（不妨设）.
∵，可得，，.
则可知，.
∴.
故选：A.
37．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（ ）
A．B．C．－1D．1
【答案】D
【解析】令，则，当时，是增函数，当时，是减函数；
又趋向于0时趋向负无穷，趋向于正无穷时趋向0，且，
令，则，要使有3个不同零点，
则必有2个零点，若，则或，
所以有两个不同的根，则，
所以或，且，，
①若，，与的范围相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根一正一负，即，；
又，则，且，，
故.
故选：D
38．（2024·高三·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，
与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；
不妨设，结合的性质可得，，，，
故
又，，
．
故选：A．
题型十：等高线问题
39．已知函数若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于，可知其对称轴为，
令，解得或；
令，解得或；
作出函数的图象如图所示：
若函数有四个不同的零点，
即方程有四个不同的实根，
则与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，
对于，，可得，所以；
对于，，，，，可得；
故
由对钩函数性质可知在上单调递增，
得，
所以的取值范围是.
故选：B.
40．设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A．B．23C．D．24
【答案】B
【解析】
做出函数的图像如图所示，
由图可知，，由，可得或，
所以，又因为，
所以，故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
41．已知函数，若，且，则·c的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数 ，
当时，可得，可得，
所以在上单调递减，且；
当时，可得，可得，
所以在上单调递增，且；
当时，在单调递减，且，
画出函数的图象，如图所示：
若，且，则且，
所以.
故选：B.
42．（2024·贵州贵阳·一模）设函数，则下列判断错误的是（ ）
A．方程的实数根为-2，0，，2
B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
【答案】D
【解析】A.当时，，得或，
当时，，解得：或，
所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确；
B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确；
C.如图，根据对称性可知，，即 ，则，
则，由的实数根并结合函数的图象，可知，函数在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故C正确；
D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则，当时，，所以时，，则的取值范围为，故D错误.
故选：D
题型十一：二分法
43．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
44．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由表格可得，函数的零点在之间．
结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.
故选：C.
45．用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
则，即初始区间可选．
故选：C.
46．函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【解析】区间的长度为，第次二等分，区间长度变为；
第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为.
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分次.
故选：C
47．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
48．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，
所以根在内，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为 ，，
所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，
故选：C
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根，
因为恰为的最小正周期，且当时，，所以，
若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时，
即，解得，所以．
故选：A
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
3．（2024·内蒙古·三模）已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．12
【答案】B
【解析】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，则的周期为3，
所以，
则.故在上的零点个数的最小值为9.
取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
故选：B.
4．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，
故选：D
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，由，故，
由与在上单调递增，故在上单调递增，
又，，故，故B错误；
令，
由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，
由，故，
又，
，故，故C错误；
有，故A错误；，故D正确.
故选：D.
7．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，
其图象如下图，则
因为，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根，
即和共有3个不同的实数根，
由的图象知，只有一个解为，
所以有两个不同的解，且根中不含，
即与有两个不同的交点，
与的图象如下图所示：
所以.
故选：A.
8．（2024·全国·模拟预测）已知两函数与的图象有两个交点，则不满足条件的的值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】令，则，
函数与的图像有两个交点可转化为方程，
即有两个不相等的实数根.
因此相当于斜率分别为和1的直线组成的折线与曲线有两个交点.
由解得或，
函数，，的图像如图，由图易得：
①当直线与曲线相切时，两函数图像有两个交点.
由，得，
由判别式，得或.
②当直线过点时，两函数图像有两个交点.
由，得.
③当直线过点时，两函数图像有三个交点，
由，得，故A不满足条件.
故选：A.
9．（多选题）已知为方程的根，为方程的根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】设，
由知均在上单调递增.
由，可得，则，
整理得，A不正确；
由，可得，则，
从而，B正确；
由，可得．因为，所以，
则，即，即，则，C正确；
令，则，当时，单调递增，
因为，且，所以，即，
从而，D正确.
故选：BCD
10．（多选题）（2024·福建福州·三模）已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，
依题意直线与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；
当直线在②位置时，显然有：；
当直线在③位置时，显然有：.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·河北·三模）已知有三个不相等的零点且，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D．为定值
【答案】BCD
【解析】由方程，可得．
令，则有，即，
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，
且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则，故，
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
【答案】ABCD
【解析】，有，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，有极小值.
，由二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值.
由的图象如图所示，
由得或，
由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，
若，则有3个解；
若，则方程可能有4，5，6，7个解.
故选：ABCD.
13．（2024·江西景德镇·三模）不经过第四象限的直线与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为 .
【答案】
【解析】易知必存在斜率，设：，
不经过第四象限，，
设，，，其中，
，，为方程的三个根，
构造函数，
则，所以，易知.
我们先将视作为定值，则由，
可得.
又，且，.
于是的取值随着的增大而减小，
故当时取最大值，此时，解得.
同理.
，.
若，，成等差，所以，
即，
整理即，解得，
，
即的最小值为.
故答案为：
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【解析】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，
则的周期为3，所以，
，
而，则.
故在上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
15．（2024·重庆·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则，即，
依题意关于的方程恰有三个不等实数根，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，当时，
所以，
令，则（且），
则（且），
令（且），
因为在定义域上单调递增，在，上单调递增，
所以在，上单调递增，
又，，
要使关于的方程恰有三个不等实数根，
则与有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于，另一个交点的横坐标位于之间，
则，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故答案为：
16．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
17．（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当时，只要，就有，
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，有，
所以在上没有零点.
而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点.
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，解可得到，且由知，
从而确为在上的一个零点.
再解方程，即，
可得两个不同的实数根.
而，.
故确为在上的一个零点，
而当且仅当时，另一根是在上的一个零点.
条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或.
解得；
当时，验证知恰有两个零点和，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：
1．（2021年天津高考数学试题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
5．（2019年浙江省高考数学试卷）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
6．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
7．（2021年北京市高考数学试题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））函数在的零点个数为 ．
【答案】
【解析】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
10．（2019年江苏省高考数学试卷）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】.
【解析】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4)
【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.
由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc168062611" 模拟基础练 PAGEREF _Tc168062611 \h 2
\l "_Tc168062612" 题型一：求函数的零点或零点所在区间 PAGEREF _Tc168062612 \h 2
\l "_Tc168062613" 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc168062613 \h 3
\l "_Tc168062614" 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 PAGEREF _Tc168062614 \h 5
\l "_Tc168062615" 题型四：嵌套函数的零点问题 PAGEREF _Tc168062615 \h 7
\l "_Tc168062616" 题型五：函数的对称问题 PAGEREF _Tc168062616 \h 10
\l "_Tc168062617" 题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 PAGEREF _Tc168062617 \h 14
\l "_Tc168062618" 题型七：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc168062618 \h 16
\l "_Tc168062619" 题型八：分段函数的零点问题 PAGEREF _Tc168062619 \h 18
\l "_Tc168062620" 题型九：零点嵌套问题 PAGEREF _Tc168062620 \h 21
\l "_Tc168062621" 题型十：等高线问题 PAGEREF _Tc168062621 \h 24
\l "_Tc168062622" 题型十一：二分法 PAGEREF _Tc168062622 \h 28
\l "_Tc168062623" 重难创新练 PAGEREF _Tc168062623 \h 31
\l "_Tc168062624" 真题实战练 PAGEREF _Tc168062624 \h 45
题型一：求函数的零点或零点所在区间
1．（2024·高三·北京东城·开学考试）已知函数则函数的零点为
【答案】
【解析】当时，由，即，解得或（舍），
当时，由，解得，
综上可得，函数的零点为．
故答案为：．
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，可知为增函数，
且，
，
根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.
故选：B
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，
根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：B.
4．（2024·高三·江苏常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ．
【答案】
【解析】函数的零点，即方程的所有根，
令，根据函数，方程的解是，
则方程的根，即为方程的根，
当时，，由，，
当时，，由，，
综上，函数所有零点构成的集合是.
故答案为：.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
5．（2024·高三·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.
因为在内有零点，
所以，解得.
故选：A
6．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内得，
解得，
故选：A
9．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.
故选：B.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
10．函数的零点个数为
【答案】6
【解析】，故，
画出和，两函数交点个数即为的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.
故答案为：6
11．已知函数，则方程的解的个数是 .
【答案】4
【解析】依题意可得，，
当时，由得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得；
当时，由，即，得.
综上可得，方程有4个实数根，
故答案为：4
12．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 .
【答案】3
【解析】令,则,
令,
则与的交点个数即为的零点个数,
当时,,
又,
所以是周期为1的函数,
在上单调递减,且,
所以可作出与的图象如图,
所以与有3个交点，故的零点个数为3,
故答案为：3.
13．函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，不合乎题意.
当时，由于函数、在上均为增函数，
此时函数在上为增函数.
当时，由于函数、在上均为减函数，
此时函数在上为减函数.
因为函数在区间上有零点，则，
即，解得.
故选：D.
题型四：嵌套函数的零点问题
14．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为
，
则或，
则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，
由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，
所以的图象与直线的交点个数为3个，
即此时，
解得，
故选：C.
15．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，图象如下图示，
令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，
若，则，则，此时，，显然此时不合题意，
故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，
而开口向上，故.
故选：C
16．（2024·高三·天津滨海新·开学考试）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】整理可得：，故或，由于，故无解，由基本不等式，时，，故无解，依题意，于是在上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作出的图像如下：
结合图像可知，当时，在上有四个解如图所示，由于是的一条对称轴，根据对称性，，由，即，整理可得，由于，故，即.
于是可以整理为，又，解得，结合图像可知，，即，故，当时取得等号，为使得恒成立，只需，即，解得.
故选：B
17．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【解析】令，作出函数的大致图象，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
所以，，，
因此，.
故选：C.
题型五：函数的对称问题
18．（2024·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案函数的图象与函数的图象关于原点对称，
则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，
即方程有解，
即有解，
令，
则，
当时，，
当，，故，
由，，
故当时，
故的取值范围为.
故选：B.
20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点.
，
当时，，单调递增.
当时，，单调递减.且时，，时，
所以
所以图象与函数图象有2个交点.
则，解得.
故选：B
21．（2024·江西·一模）已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题.即方程在区间上有解，由此可得，即，所以.
22．（2024·江西·模拟预测）函数，（），若与的图象上分别存在点，关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为函数上一点，则关于对称的点为，
且在函数图象上，所以，
得，，当时，，单调递减，
当时，，所以单调递增，所以在有最小值为，
，，所以，故.
故选：B.
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
23．（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
24．已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．
25．（2024·全国·高三假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
题型七：唯一零点求值问题
26．已知函数有唯一零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】有零点，则，
令，则上式可化为，
因为恒成立，所以，
令，则，
故为偶函数，
因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，
结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故.
故选：D
27．（2024·全国·模拟预测）若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．0B．－2C．2D．－1
【答案】B
【解析】设，
∴
故函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称，
∵有唯一零点
∴，即，
经检验，仅有1个零点.
故选：B.
28．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，
故选：D.
29．（2024·广东茂名·二模）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C
30．已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【解析】，令，
则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
故选：B
题型八：分段函数的零点问题
31．（2024·河南开封·模拟预测）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，,
则,
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
当时，，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，
所以与的图象有两个交点，
由图可知或.
所以的取值范围为.
故选:C.
32．（2024·全国·模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
33．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，令，解得；
当时，令，则，
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图像如图所示，
观察可知，它们有2个交点，即函数有2个零点；
综上所述，函数的零点个数为3.
故选：C.
34．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，
，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而，故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，
故选：D.
35．若函数有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，时，，此时
时，;时，,
所以在上单调递增，在上单调递减
时，
所以在上无零点
从而时，有2个零点，根据二次函数的性质可得
故选：D.
题型九：零点嵌套问题
36．（2024·辽宁·二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81B．﹣81C．﹣9D．9
【答案】A
【解析】把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.
∴
∴
令，，则，
∴
令，解得
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
设关于t的一元二次方程有两实根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，当且仅当时等号成立，
由于，∴，（不妨设）.
∵，可得，，.
则可知，.
∴.
故选：A.
37．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（ ）
A．B．C．－1D．1
【答案】D
【解析】令，则，当时，是增函数，当时，是减函数；
又趋向于0时趋向负无穷，趋向于正无穷时趋向0，且，
令，则，要使有3个不同零点，
则必有2个零点，若，则或，
所以有两个不同的根，则，
所以或，且，，
①若，，与的范围相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根一正一负，即，；
又，则，且，，
故.
故选：D
38．（2024·高三·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
故当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
可得处取得最小值，
，，画出的图象，
由可化为，
故结合题意可知，有两个不同的根，
故，故或，
不妨设方程的两个根分别为，，
①若，，
与相矛盾，故不成立；
②若，则方程的两个根，一正一负；
不妨设，结合的性质可得，，，，
故
又，，
．
故选：A．
题型十：等高线问题
39．已知函数若函数有四个不同的零点，记作，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于，可知其对称轴为，
令，解得或；
令，解得或；
作出函数的图象如图所示：
若函数有四个不同的零点，
即方程有四个不同的实根，
则与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，
对于，，可得，所以；
对于，，，，，可得；
故
由对钩函数性质可知在上单调递增，
得，
所以的取值范围是.
故选：B.
40．设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A．B．23C．D．24
【答案】B
【解析】
做出函数的图像如图所示，
由图可知，，由，可得或，
所以，又因为，
所以，故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
41．已知函数，若，且，则·c的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数 ，
当时，可得，可得，
所以在上单调递减，且；
当时，可得，可得，
所以在上单调递增，且；
当时，在单调递减，且，
画出函数的图象，如图所示：
若，且，则且，
所以.
故选：B.
42．（2024·贵州贵阳·一模）设函数，则下列判断错误的是（ ）
A．方程的实数根为-2，0，，2
B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为
【答案】D
【解析】A.当时，，得或，
当时，，解得：或，
所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确；
B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确；
C.如图，根据对称性可知，，即 ，则，
则，由的实数根并结合函数的图象，可知，函数在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故C正确；
D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则，当时，，所以时，，则的取值范围为，故D错误.
故选：D
题型十一：二分法
43．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
44．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由表格可得，函数的零点在之间．
结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.
故选：C.
45．用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
则，即初始区间可选．
故选：C.
46．函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【解析】区间的长度为，第次二等分，区间长度变为；
第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为.
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分次.
故选：C
47．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
48．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，
所以根在内，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为 ，，
所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，
故选：C
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根，
因为恰为的最小正周期，且当时，，所以，
若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时，
即，解得，所以．
故选：A
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
3．（2024·内蒙古·三模）已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．12
【答案】B
【解析】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，则的周期为3，
所以，
则.故在上的零点个数的最小值为9.
取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
故选：B.
4．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，
故选：D
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，由，故，
由与在上单调递增，故在上单调递增，
又，，故，故B错误；
令，
由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，
由，故，
又，
，故，故C错误；
有，故A错误；，故D正确.
故选：D.
7．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，
其图象如下图，则
因为，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根，
即和共有3个不同的实数根，
由的图象知，只有一个解为，
所以有两个不同的解，且根中不含，
即与有两个不同的交点，
与的图象如下图所示：
所以.
故选：A.
8．（2024·全国·模拟预测）已知两函数与的图象有两个交点，则不满足条件的的值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】令，则，
函数与的图像有两个交点可转化为方程，
即有两个不相等的实数根.
因此相当于斜率分别为和1的直线组成的折线与曲线有两个交点.
由解得或，
函数，，的图像如图，由图易得：
①当直线与曲线相切时，两函数图像有两个交点.
由，得，
由判别式，得或.
②当直线过点时，两函数图像有两个交点.
由，得.
③当直线过点时，两函数图像有三个交点，
由，得，故A不满足条件.
故选：A.
9．（多选题）已知为方程的根，为方程的根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】设，
由知均在上单调递增.
由，可得，则，
整理得，A不正确；
由，可得，则，
从而，B正确；
由，可得．因为，所以，
则，即，即，则，C正确；
令，则，当时，单调递增，
因为，且，所以，即，
从而，D正确.
故选：BCD
10．（多选题）（2024·福建福州·三模）已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，
依题意直线与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；
当直线在②位置时，显然有：；
当直线在③位置时，显然有：.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·河北·三模）已知有三个不相等的零点且，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D．为定值
【答案】BCD
【解析】由方程，可得．
令，则有，即，
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，
且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则，故，
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
【答案】ABCD
【解析】，有，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，有极小值.
，由二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值.
由的图象如图所示，
由得或，
由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，
若，则有3个解；
若，则方程可能有4，5，6，7个解.
故选：ABCD.
13．（2024·江西景德镇·三模）不经过第四象限的直线与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为 .
【答案】
【解析】易知必存在斜率，设：，
不经过第四象限，，
设，，，其中，
，，为方程的三个根，
构造函数，
则，所以，易知.
我们先将视作为定值，则由，
可得.
又，且，.
于是的取值随着的增大而减小，
故当时取最大值，此时，解得.
同理.
，.
若，，成等差，所以，
即，
整理即，解得，
，
即的最小值为.
故答案为：
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【解析】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，
则的周期为3，所以，
，
而，则.
故在上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
15．（2024·重庆·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则，即，
依题意关于的方程恰有三个不等实数根，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，当时，
所以，
令，则（且），
则（且），
令（且），
因为在定义域上单调递增，在，上单调递增，
所以在，上单调递增，
又，，
要使关于的方程恰有三个不等实数根，
则与有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于，另一个交点的横坐标位于之间，
则，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故答案为：
16．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
17．（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当时，只要，就有，
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，有，
所以在上没有零点.
而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点.
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，解可得到，且由知，
从而确为在上的一个零点.
再解方程，即，
可得两个不同的实数根.
而，.
故确为在上的一个零点，
而当且仅当时，另一根是在上的一个零点.
条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或.
解得；
当时，验证知恰有两个零点和，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：
1．（2021年天津高考数学试题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
5．（2019年浙江省高考数学试卷）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
6．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
7．（2021年北京市高考数学试题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））函数在的零点个数为 ．
【答案】
【解析】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
10．（2019年江苏省高考数学试卷）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】.
【解析】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4)
【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.
由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc168062611" 模拟基础练 PAGEREF _Tc168062611 \h 2
\l "_Tc168062612" 题型一：求函数的零点或零点所在区间 PAGEREF _Tc168062612 \h 2
\l "_Tc168062613" 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc168062613 \h 3
\l "_Tc168062614" 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 PAGEREF _Tc168062614 \h 5
\l "_Tc168062615" 题型四：嵌套函数的零点问题 PAGEREF _Tc168062615 \h 7
\l "_Tc168062616" 题型五：函数的对称问题 PAGEREF _Tc168062616 \h 10
\l "_Tc168062617" 题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 PAGEREF _Tc168062617 \h 14
\l "_Tc168062618" 题型七：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc168062618 \h 16
\l "_Tc168062619" 题型八：分段函数的零点问题 PAGEREF _Tc168062619 \h 18
\l "_Tc168062620" 题型九：零点嵌套问题 PAGEREF _Tc168062620 \h 21
\l "_Tc168062621" 题型十：等高线问题 PAGEREF _Tc168062621 \h 24
\l "_Tc168062622" 题型十一：二分法 PAGEREF _Tc168062622 \h 28
\l "_Tc168062623" 重难创新练 PAGEREF _Tc168062623 \h 31
\l "_Tc168062624" 真题实战练 PAGEREF _Tc168062624 \h 45
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