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第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第01讲导数的概念及其意义导数的运算十二大题型讲义原卷版docx、第01讲导数的概念及其意义导数的运算十二大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc168491927" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc168491927 \h 2
\l "_Tc168491928" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc168491928 \h 3
\l "_Tc168491929" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc168491929 \h 4
\l "_Tc168491930" 知识点1：导数的概念和几何意义 PAGEREF _Tc168491930 \h 4
\l "_Tc168491931" 知识点2：导数的运算 PAGEREF _Tc168491931 \h 4
\l "_Tc168491932" 解题方法总结 PAGEREF _Tc168491932 \h 6
\l "_Tc168491933" 题型一：导数的定义及变化率问题 PAGEREF _Tc168491933 \h 6
\l "_Tc168491934" 题型二：导数的运算 PAGEREF _Tc168491934 \h 7
\l "_Tc168491935" 题型三：在点P处的切线 PAGEREF _Tc168491935 \h 9
\l "_Tc168491936" 题型四：过点P的切线 PAGEREF _Tc168491936 \h 9
\l "_Tc168491937" 题型五：公切线问题 PAGEREF _Tc168491937 \h 10
\l "_Tc168491938" 题型六：已知切线或切点求参数问题 PAGEREF _Tc168491938 \h 11
\l "_Tc168491939" 题型七：切线的条数问题 PAGEREF _Tc168491939 \h 12
\l "_Tc168491940" 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 PAGEREF _Tc168491940 \h 13
\l "_Tc168491941" 题型九：牛顿迭代法 PAGEREF _Tc168491941 \h 14
\l "_Tc168491942" 题型十：切线平行、垂直、重合问题 PAGEREF _Tc168491942 \h 16
\l "_Tc168491943" 题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 PAGEREF _Tc168491943 \h 17
\l "_Tc168491944" 题型十二：切线斜率的取值范围问题 PAGEREF _Tc168491944 \h 18
\l "_Tc168491945" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc168491945 \h 18
\l "_Tc168491946" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168491946 \h 19
\l "_Tc168491947" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc168491947 \h 20
\l "_Tc168491948" 易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 PAGEREF _Tc168491948 \h 20
\l "_Tc168491949" 答题模板：求曲线过点P的切线方程 PAGEREF _Tc168491949 \h 20
知识点1：导数的概念和几何意义
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
【诊断自测】设为R上的可导函数，且，则＝（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
知识点2：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
解题方法总结
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.
（2）是的切线，是y=tan x的切线.
（3）是的切线，是的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
【典例1-1】若函数在区间内可导，且，则 的值为（ ）
A．B．
C．D．0
【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式1-1】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
题型二：导数的运算
【典例2-1】求下列函数的导数．
(1)
(2)；
(3)
(4) .
【典例2-2】已知函数满足满足；求的解析式
【方法技巧】
（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【变式2-1】已知，则 .
【变式2-2】设函数，则的值为（ ）
A．10B．59C．D．0
【变式2-3】在等比数列中，，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则 ．
【变式2-5】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型三：在点P处的切线
【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
【方法技巧】
函数在点处的切线方程为，抓住关键．
【变式3-1】曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型四：过点P的切线
【典例4-1】已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24B．或C．45D．0或45
【典例4-2】过点可作的斜率为1的切线，则实数 .
【方法技巧】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．
【变式4-1】曲线过点的切线方程为 .
【变式4-2】过点作曲线的切线，则切线方程为 .
【变式4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【变式4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
题型五：公切线问题
【典例5-1】若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【变式5-3】若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例6-1】若直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【变式6-1】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ．
【变式6-4】（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【变式6-5】对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 .
题型七：切线的条数问题
【典例7-1】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例7-2】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．的最大值为2D．
【变式7-6】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A．10B．C．2D．
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式8-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-4】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【变式8-5】已知，则的最小值为 .
【变式8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【变式8-7】（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ．
【变式8-8】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-9】（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-10】若点，则两点间距离的最小值为 .
【变式8-11】实数满足，,的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-12】已知是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型九：牛顿迭代法
【典例9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
【典例9-2】已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依次类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newtn-Raphsn methd译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204
【变式9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则 ．
【变式9-4】令函数，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；……由此能得到一个数列随着n的不断增大，会越来越接近函数的一个零在点，因此我们可以用这种方法求零点的近似值.①设，则 ；②用二分法求方程在区间上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度 （快于､等于､慢于）二分法.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】已知函数，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-4】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）
A．，B．C．，D．
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例11-1】已知函数，为的导函数，则 .
【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数的最小正周期为T，为的导函数．若，为偶函数，则的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ．
题型十二：切线斜率的取值范围问题
【典例12-1】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
【变式12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
1．在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是．高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数的物理意义是什么？试求v，关于时间t的函数解析式．
2．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
4．已知函数满足，求在的导数．
5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置
易错分析：对导数的几何意义理解错误，切线的斜率k是在切点处的导数．解题时，要注意所给的点是否是切点．
答题模板：求曲线过点P的切线方程
1、模板解决思路
求函数图象过某点的切线方程，关键是求该函数的导函数，先设出切点坐标，再将切点的横坐标代入，即可得切线的斜率，最后根据切点及斜率写出切线方程．
2、模板解决步骤
第一步：设切点，则以为切点的切线方程为；
第二步：根据题意点在切线上，点在曲线上，得到方程组，从而求出切点，代入方程，即可求得切线方程．
【易错题1】（2024·高三·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为 .
【易错题2】已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 .
考点要求
考题统计
考情分析
（1）导数的定义
（2）导数的运算
（3）导数的几何意义
2024年甲卷第6题，5分
2024年I卷第13题，5分
2023年甲卷第8题，5分
2022年I卷第15题，5分
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
基本初等函数
导函数
（为常数）
\l "_Tc168491927" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc168491927 \h 2
\l "_Tc168491928" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc168491928 \h 3
\l "_Tc168491929" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc168491929 \h 4
\l "_Tc168491930" 知识点1：导数的概念和几何意义 PAGEREF _Tc168491930 \h 4
\l "_Tc168491931" 知识点2：导数的运算 PAGEREF _Tc168491931 \h 4
\l "_Tc168491932" 解题方法总结 PAGEREF _Tc168491932 \h 6
\l "_Tc168491933" 题型一：导数的定义及变化率问题 PAGEREF _Tc168491933 \h 6
\l "_Tc168491934" 题型二：导数的运算 PAGEREF _Tc168491934 \h 7
\l "_Tc168491935" 题型三：在点P处的切线 PAGEREF _Tc168491935 \h 9
\l "_Tc168491936" 题型四：过点P的切线 PAGEREF _Tc168491936 \h 9
\l "_Tc168491937" 题型五：公切线问题 PAGEREF _Tc168491937 \h 10
\l "_Tc168491938" 题型六：已知切线或切点求参数问题 PAGEREF _Tc168491938 \h 11
\l "_Tc168491939" 题型七：切线的条数问题 PAGEREF _Tc168491939 \h 12
\l "_Tc168491940" 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 PAGEREF _Tc168491940 \h 13
\l "_Tc168491941" 题型九：牛顿迭代法 PAGEREF _Tc168491941 \h 14
\l "_Tc168491942" 题型十：切线平行、垂直、重合问题 PAGEREF _Tc168491942 \h 16
\l "_Tc168491943" 题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 PAGEREF _Tc168491943 \h 17
\l "_Tc168491944" 题型十二：切线斜率的取值范围问题 PAGEREF _Tc168491944 \h 18
\l "_Tc168491945" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc168491945 \h 18
\l "_Tc168491946" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168491946 \h 19
\l "_Tc168491947" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc168491947 \h 20
\l "_Tc168491948" 易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 PAGEREF _Tc168491948 \h 20
\l "_Tc168491949" 答题模板：求曲线过点P的切线方程 PAGEREF _Tc168491949 \h 20
知识点1：导数的概念和几何意义
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
【诊断自测】设为R上的可导函数，且，则＝（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
知识点2：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
解题方法总结
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.
（2）是的切线，是y=tan x的切线.
（3）是的切线，是的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
【典例1-1】若函数在区间内可导，且，则 的值为（ ）
A．B．
C．D．0
【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式1-1】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
题型二：导数的运算
【典例2-1】求下列函数的导数．
(1)
(2)；
(3)
(4) .
【典例2-2】已知函数满足满足；求的解析式
【方法技巧】
（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【变式2-1】已知，则 .
【变式2-2】设函数，则的值为（ ）
A．10B．59C．D．0
【变式2-3】在等比数列中，，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则 ．
【变式2-5】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型三：在点P处的切线
【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
【方法技巧】
函数在点处的切线方程为，抓住关键．
【变式3-1】曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型四：过点P的切线
【典例4-1】已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24B．或C．45D．0或45
【典例4-2】过点可作的斜率为1的切线，则实数 .
【方法技巧】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．
【变式4-1】曲线过点的切线方程为 .
【变式4-2】过点作曲线的切线，则切线方程为 .
【变式4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【变式4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
题型五：公切线问题
【典例5-1】若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【变式5-3】若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例6-1】若直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【变式6-1】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ．
【变式6-4】（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【变式6-5】对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 .
题型七：切线的条数问题
【典例7-1】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例7-2】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．的最大值为2D．
【变式7-6】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A．10B．C．2D．
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式8-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-4】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【变式8-5】已知，则的最小值为 .
【变式8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【变式8-7】（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ．
【变式8-8】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-9】（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-10】若点，则两点间距离的最小值为 .
【变式8-11】实数满足，,的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-12】已知是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型九：牛顿迭代法
【典例9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
【典例9-2】已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依次类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newtn-Raphsn methd译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204
【变式9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则 ．
【变式9-4】令函数，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；在点处作抛物线的切线，交x轴于；……由此能得到一个数列随着n的不断增大，会越来越接近函数的一个零在点，因此我们可以用这种方法求零点的近似值.①设，则 ；②用二分法求方程在区间上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度 （快于､等于､慢于）二分法.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】已知函数，过坐标原点O作曲线的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线交x轴于点B，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-4】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）
A．，B．C．，D．
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例11-1】已知函数，为的导函数，则 .
【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数的最小正周期为T，为的导函数．若，为偶函数，则的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ．
题型十二：切线斜率的取值范围问题
【典例12-1】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
【变式12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
1．在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是．高度h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数的物理意义是什么？试求v，关于时间t的函数解析式．
2．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
4．已知函数满足，求在的导数．
5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置
易错分析：对导数的几何意义理解错误，切线的斜率k是在切点处的导数．解题时，要注意所给的点是否是切点．
答题模板：求曲线过点P的切线方程
1、模板解决思路
求函数图象过某点的切线方程，关键是求该函数的导函数，先设出切点坐标，再将切点的横坐标代入，即可得切线的斜率，最后根据切点及斜率写出切线方程．
2、模板解决步骤
第一步：设切点，则以为切点的切线方程为；
第二步：根据题意点在切线上，点在曲线上，得到方程组，从而求出切点，代入方程，即可求得切线方程．
【易错题1】（2024·高三·山东德州·开学考试）过点与曲线相切的直线与轴的交点坐标为 .
【易错题2】已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 .
考点要求
考题统计
考情分析
（1）导数的定义
（2）导数的运算
（3）导数的几何意义
2024年甲卷第6题，5分
2024年I卷第13题，5分
2023年甲卷第8题，5分
2022年I卷第15题，5分
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
基本初等函数
导函数
（为常数）
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