第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：导数的定义及变化率问题
1．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2．对于函数，若存在，求：
(1)；
(2)．
【解析】（1）时，
（2）
又
题型二：导数的运算
3．求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】（1）因为，
所以
.
（2）因为，
所以
.
（3）因为，
所以
.
（4）因为，
所以.
（5）因为，
所以.
（6）因为，
所以.
4．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
（3）；
（4）；
（5）y＝.
（6）；
（7）；
（8）；
（9）y＝.
（10）
（11）
（12）.
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以；
（4）因为，
所以；
（5）因为，
所以；
（6）因为，
所以；
（7）因为，
所以；
（8）因为，
所以；
（9）因为，
所以y′＝＝
＝＝；
（10）因为，
所以；
（11）因为，
所以；
（12）因为，
所以.
5．已知函数，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知：，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为:.
6．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【解析】对进行求导，可得，
将代入整理，①
将 代入可得，即，
将其代入① ，解得：，故得.
于是，由可得或，因，
故当时，，当时， ，
即是函数的极小值点，函数没有极大值.
故选：D.
题型三：在点P处的切线
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
，
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故选：C．
8．（2024·黑龙江·二模）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：D
9．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得，
则，又，
则所求切线方程为，即．
故选：B．
10．下列函数的图象与直线相切于点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A．，在的切线斜率为0，不符合；
B．在的切线斜率为1，所以切线为，成立；
C．D．两个函数均不经过，不符合.
故选:B．
题型四：过点P的切线
11．过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【解析】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
12．已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 .
【答案】或
【解析】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
13．已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为，由，则，
则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：
14．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
【答案】
【解析】设点，则.又，
当时，，
曲线在点A处的切线方程为，即，
代入点，得，即，
记，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为，切线方程为，
故答案为：，
题型五：公切线问题
15．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
16．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，
故选：A
17．过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.
故选：D
18．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
19．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】B
【解析】根据常用函数的导数可知：，，
则两函数在点和处的切线分别为：，化简得
由题意可得：，化简得.
故选：B
20．设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故选：C.
题型六：已知切线或切点求参数问题
21．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数的导数为，
设切点为，所以，则，即
又因为在上，所以，
所以，即，所以，
所以，
令，，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
当趋近正无穷时，趋近正无穷.
所以的取值范围为：.
故答案为：.
22．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 .
【答案】
【解析】由求导得，直线斜率为，
代入导函数有：，解得.
故答案为：
23．（2024·湖北·二模）是在处的切线方程，则 ．
【答案】
【解析】令，，
则，则方程为，将代入方程，得，解得，
故答案为：
24．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为 .
【答案】
【解析】设，令，得，则切点为，
故所求的方程为.
故答案为：.
25．（2024·全国·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则的最小值为（ ）
A．eB．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，设切点为，则切线方程为，即
依题意，，故．
设， 则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故的极小值为，也是最小值，即的最小值为．
故选：C.
26．（2024·四川绵阳·一模）设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
题型七：切线的条数问题
27．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，由题得：，故切线斜率为，切线方程为：，
因切线经过点，则，故有两个不同得实数根.
不妨设，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故，则，即.
故选：D.
28．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】A
【解析】设切点为，
由可得，
则过坐标原点的切线的斜率，
故，即，
解得，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
29．已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设过点的直线与函数的图象相切时的切点为，则，
因为，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与
曲线的图象的公共点的个数，
因为，令，得，
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
因为，当时，所以，函数的图象大致如图：
所以当时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
30．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】点不在函数的图象上，
则，即，
设过点的直线与的图象相切于，
则切线的斜率，整理可得，
则问题可转化为只有一个零点，且，
令，可得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使仅有一个零点，
或
故选：B
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
31．（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（ ）
A．B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】由题意，设函数，直线，
设直线与函数的切点为
可得，可得，解得，可得，
即切点坐标为，则切点到直线的距离为，
又因为表示点到直线的距离为平方，
所以的最小值为.
故选：C.
32．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，得，代入曲线，
所以的最小值即为点到直线的距离.
故选：B.
33．已知点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为全体正实数，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，函数图象如下图：
过点的曲线的切线与直线平行时，最小，
即有，
所以，
故选：A
34．（2024·高三·四川成都·期末）已知为函数图象上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解题思路】先观察出函数关于对称，在根据所求的式子可以判断时比的值要大，所以只需研究的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.
【解析】由函数解析式可知函数关于对称，设，不妨设
则，当，，
即当时的值要大于时的值，所以只需研究的情况即可，
当时，，设，
则，
根据复合函数单调性可知：时，递增，当，递减.
，所以的几何意义是函数上一点与点的斜率，
设过点的切线与函数的交点坐标（即切点）为，，
所以切线的斜率，切线方程为，把点代入切线方程整理得：
，所以或，设，，
所以在单调递增，所以，
即不合题意，所以，此时切线的斜率，
如图：

根据数形结合思想可知的范围为，所以当时，最大，
此时.
故选：A
35．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍.
令得故切点为
由，所以.
故选：C.
题型九：牛顿迭代法
36．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根，其中．在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列的前n项和
【答案】D
【解析】由，得，则，故A错误；
因为二次函数有两个不等实数根，
所以不妨设，
因为，所以，
所以在横坐标为的点处的切线方程为：，
令，则，
因为，
所以，即，
所以数列是公比为2，首项为1的等比数列，
所以，且，故BC错误；
由，所以，故D正确.
故选：D
37．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为，在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，，…，，它们越来越接近r.若，，则用牛顿法得到的r的近似值约为（ ）
A．1.438B．1.417C．1.415D．1.375
【答案】B
【解析】由题意，得，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，得.
又，，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，解得.
故选：B.
38．（2024·高三·四川成都·期中）科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，，则的值是（ ）
A．9B．C．D．7
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
故选:C.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
39．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
且，当趋近于时，趋近于，
可知的值域为，
由题意可知：存在，使得，
则，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
40．已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【解析】由，则，
则，，
依题意可得且、、，
所以，
所以，
经验证，当、分别取、时满足题意.
故选：D
41．（2024·云南曲靖·一模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设点的横坐标为，则由可得，
又可得，
且两条曲线在点处的切线重合，
所以切线的斜率，解得或（舍去），
即点的横坐标为，
由点为曲线与曲线的交点，
所以，即，
令，
则，
令可得，
由知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当，
则实数的取值范围为.
故选：C.
42．已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【解析】由，得，
则，
依题意可得，且，
整理得，
所以，所以，
经验证，当分别取2，时，满足题意.
故选：D.
43．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合， 则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解题思路】解法一：设，，根据题意分析可知，根据导数的几何意义分别求在两点处的切线，由题意可得，化简可得，换元结合函数单调性分析求解；解法二：根据题意结合图象分析可知，运算求解即可.
【解析】解法一：当时，则，可知在内单调递增；
当时，则，可知在内单调递减；
设，为该函数图象上的两点，且，
若曲线在两点处的切线重合，则，
结合的单调性可知，
则函数在点处的切线方程为：
，即；
函数在点处的切线方程为：
，即；
两直线重合的充要条件是，
消去可得，
且
令，则，可得在为增函数，
所以，结合选项可知A正确；
解法二：由题意可知：在区间内单调递减，在内单调递增，
根据公切线导数值相等的原理，可知公切线只会出现在单调性一致的区间，
故只能出现在区间，
由于函数在这两个区间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线，
且当趋近于，趋近于0，
由图象可知：，解得，结合选项可知A正确；
故选：A.
44．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
45．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若恒成立，则 ．
【答案】1
【解析】奇函数及其导函数的定义域均为，
变形为，
令，则，
又为奇函数，故，
故为奇函数，故，
即，所以，
又，故，
所以的一个周期为4，
则，且，
其中，故，即，
由于为R上的奇函数，故，
两边求导得，
令得，解得，
故.
故答案为：1
46．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导函数，若是偶函数，是奇函数，奇函数满足是偶函数，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，即①，
因为是奇函数，所以，即②，
联立①②，得，
所以（为常数）．
因为奇函数满足是偶函数，
所以，，
即，
所以在上是减函数．
又，所以，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
47．已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数，可得，所以且，
因为函数与偶函数在交点处的切线相同，
所以函数与相切于，且，
又因为为偶函数，所以，且，
所以函数在处的切线方程为，即．
故选：D.
题型十二：切线斜率的取值范围问题
48．以正弦曲线上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A．∪B．
C．D．∪
【答案】A
【解析】因为，所以，
∴切线的斜率范围是，
∴倾斜角的范围是∪，
故选：A.
49．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以点处切线的斜率的取值范围为，即，
又，所以角的范围是.
故选：C.
50．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，
，即，
当时，；
当时，.
，
故选：.
1．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则，
因为函数在点处的切线与直线平行，
所以，解得，
故选：A．
2．（2024·高三·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故选：C
3．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【解析】设函数与直线相切于点，
直线的斜率为，
，所以，所以．
故选：B．
4．若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】D
【解析】函数的导数为，
由题意可得，图像在点处的切线恰为直线，
所以，，解得，，
即．
故选：D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）过且倾斜角为的直线与曲线交于两点，分别过作曲线的两条切线，若交于，若直线的倾斜角为.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，，
由于曲线，则，
所以在A点的切线方程为，
同理在B点的切线方程为，
由于N点是两切线的交点，所以，
则为，且过，
且，设，
，
当且仅当时“”成立，
故选：C.
6．（2024·江西南昌·一模）已知抛物线的焦点为是抛物线在第一象限部分上一点，若，则抛物线在点A处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
由，得，所以抛物线的准线方程，
由抛物线的定义可得，得代入，得，
又A是抛物线在第一象限部分上一点，所以
由，得，所以，
所以抛物线在点A处的切线方程斜率为，
所以抛物线在点A处的切线方程为，即，
故选：A
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为，则切点在直线上，也在曲线上，
所以
又切线斜率且，
所以，代入可得，
故选：.
8．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，
又切线过点，则，，
设，函数定义域是，
则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，
结合图象可知，即.
故选：A.
9．（多选题）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
10．（多选题）（2024·河南郑州·模拟预测）过点作直线l与函数的图象相切，则（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线垂直，则
C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【答案】AD
【解析】设l与的图象切于点，当点与点不重合时，切线斜率，整理得：，当点与点重合时，切线斜率，
对于A，若P与原点重合，点在函数图象上，则，此时，，l即x轴，方程为，A正确；
对于B，若l与直线垂直，则，，
当点为切点时，或，
当点不为切点时，满足，整理得，
当时，，当时，，B错误；
对于C，当点P在的图象上时，，，则，即，所以或，故有两解，符合条件的直线有两条， C错误；
对于D，若符合条件的l有3条，则点不在图象上，设l与的图象切于点，则有，
设，，
由得或，符合条件的l有3条，有3个零点，
则，所以，，，D正确.
故选：AD．
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
【答案】BD
【解析】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，
可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
12．（多选题）（2024·湖南·一模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）

A．B．数列是递减数列
C．数列是等比数列D．
【答案】ACD
【解析】，所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以，D正确.
故选；ACD
13．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
【答案】3
【解析】设直线l与曲线相切于点，
由，得，因为l与曲线相切，
所以消去，得，解得．
设l与曲线相切于点，由，得，即，
因为是l与曲线的公共点，
所以消去，得，即，解得．
故答案为：3.
14．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点为：，
，
所以切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
，
当时，则，且；
当时，则，
所以的图象如图所示：
因为过点仅可作曲线的两条切线，
所以与的图象有两个交点，
则 或.
故答案为：.
15．（2024·安徽·三模）已知曲线与曲线在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为，则 ．
【答案】/
【解析】，解得，，故，
设曲线在点A处的切线为，即，
曲线在点A处的切线为，
由可得其圆心为，半径为，
则有，即，解得，
对，有，则，则，
即，，
则.
故答案为：.
16．（2024·福建宁德·三模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点，
当，过点，
求导可得，，所以在处的切线方程为，
此时的圆心到直线的距离，
所以直线与圆只有一个公共点，
此时与只有一个交点，
当向左移动时，即时，与一定没有交点，
当时，与一定有两个交点，
故曲线与有两个交点时的取值范围为.
故答案为：.
17．（2024·河南·二模）若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则 .
【答案】9
【解析】，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，将代入得，
即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
2．（2024年北京高考数学真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
【解析】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
（3）时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
3．（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝csx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
，
将代入得，故选D．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
11．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
12．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
13．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】.
【解析】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
14．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】.
【解析】
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
15．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc168474922" 模拟基础练 PAGEREF _Tc168474922 \h 2
\l "_Tc168474923" 题型一：导数的定义及变化率问题 PAGEREF _Tc168474923 \h 2
\l "_Tc168474924" 题型二：导数的运算 PAGEREF _Tc168474924 \h 2
\l "_Tc168474925" 题型三：在点P处的切线 PAGEREF _Tc168474925 \h 6
\l "_Tc168474926" 题型四：过点P的切线 PAGEREF _Tc168474926 \h 7
\l "_Tc168474927" 题型五：公切线问题 PAGEREF _Tc168474927 \h 9
\l "_Tc168474928" 题型六：已知切线或切点求参数问题 PAGEREF _Tc168474928 \h 12
\l "_Tc168474929" 题型七：切线的条数问题 PAGEREF _Tc168474929 \h 14
\l "_Tc168474930" 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 PAGEREF _Tc168474930 \h 16
\l "_Tc168474931" 题型九：牛顿迭代法 PAGEREF _Tc168474931 \h 19
\l "_Tc168474932" 题型十：切线平行、垂直、重合问题 PAGEREF _Tc168474932 \h 21
\l "_Tc168474933" 题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 PAGEREF _Tc168474933 \h 26
\l "_Tc168474934" 题型十二：切线斜率的取值范围问题 PAGEREF _Tc168474934 \h 27
\l "_Tc168474935" 重难创新练 PAGEREF _Tc168474935 \h 29
\l "_Tc168474936" 真题实战练 PAGEREF _Tc168474936 \h 39