第三章 一元函数的导数及其应用（测试）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数.若，对，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，则函数（ ）
A．既有极大值也有极小值B．有极大值无极小值
C．有极小值无极大值D．既无极大值也无极小值
6．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
13．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 .
14．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知.
(1)求并写出的表达式；
(2)证明：.
16．（15分）
某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？
17．（15分）
已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
18．（17分）
已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.
19．（17分）
对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；
(3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.