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重难点突破01 玩转指对幂比较大小（十一大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破01 玩转指对幂比较大小（十一大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破01玩转指对幂比较大小十一大题型原卷版docx、重难点突破01玩转指对幂比较大小十一大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc168729750" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168729750 \h 2
\l "_Tc168729751" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168729751 \h 3
\l "_Tc168729752" 题型一：直接利用单调性 PAGEREF _Tc168729752 \h 3
\l "_Tc168729753" 题型二：引入媒介值 PAGEREF _Tc168729753 \h 4
\l "_Tc168729754" 题型三：含变量问题 PAGEREF _Tc168729754 \h 6
\l "_Tc168729755" 题型四：构造函数 PAGEREF _Tc168729755 \h 9
\l "_Tc168729756" 题型五：数形结合 PAGEREF _Tc168729756 \h 12
\l "_Tc168729757" 题型六：特殊值法、估算法 PAGEREF _Tc168729757 \h 19
\l "_Tc168729758" 题型七：放缩法 PAGEREF _Tc168729758 \h 20
\l "_Tc168729759" 题型八：不定方程 PAGEREF _Tc168729759 \h 23
\l "_Tc168729760" 题型九：泰勒展开 PAGEREF _Tc168729760 \h 26
\l "_Tc168729761" 题型十：同构法 PAGEREF _Tc168729761 \h 28
\l "_Tc168729762" 题型十一：帕德逼近估算法 PAGEREF _Tc168729762 \h 32
\l "_Tc168729763" 03过关测试 PAGEREF _Tc168729763 \h 33
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：直接利用单调性
【典例1-1】记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，幂函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
又对数函数在上单调递减，所以，
故.
故选：D.
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由在R上单调递增，可得，又，
则．
由在上单调递增，可得．
由在上单调递增，可得．
所以，
故选：A．
【变式1-1】设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，则，即，
因为，，
所以，所以，则，即，
又，所以，
所以.
故选：D
【变式1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增，
所以，即，
因为在定义域内单调递减，所以，即，
因为在上单调递减，所以，即，
综上：.
故选：D
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·二模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故选：D
【典例2-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，那么，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，即，
，即，
，故
故选：B
【变式2-2】（2024·江西上饶·模拟预测）设，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，，
，而，所以.
故选：B
题型三：含变量问题
【典例3-1】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以．
故选：A．
【典例3-2】（多选题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故，
因为在上单调递增，故，综上，，A正确；
B选项中，由于，而已知，所以B不正确；
C选项中，，
设，则，
设，
则，
所以在上递增，这样，故C正确；
D选项中，取，，则，，
又，故，所以D错误.
故选：AC.
【变式3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【变式3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，令，，则，
令，，则，A正确；
因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；
由得，，即，
于是，，，…，，
以上各式相加有，即，C正确；
由得，，因此，
设，，
则，所以，D正确．
故选：ACD
【变式3-3】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
题型四：构造函数
【典例4-1】设，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，的定义域为，
，令可得：，令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，即，
变形可得，即，所以；
又，所以，又因为，
所以，综上，，
故选：B．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故选：B.
【变式4-1】设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
易知，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，，
令，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，则上单调递减，又，
所以，即，即，
所以，则；
因为，所以，而，
令，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，则上单调递减，又，
所以，即，即，
所以，则；
综上，.
故选：B．
【变式4-3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递增；
又，所以，
所以；
，，
设，，
，所以函数在区间上单调递减，
所以，
所以，又，
所以，则，
综上，.
故选：C.
题型五：数形结合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，当时，
，单减，故，即；
设，，当时，，
所以，即，即；
，故最小，
，，，
因为，所以，所以，，
所以
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
设0，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
根据已知得，
可设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
综上，.
故选：D.
【变式5-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，画出的图象，
故为下凸函数，
当时，
所以，.
设，画出图象，
故为上凸函数，当时，
所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以.
设，则，在上单调递减，
所以时，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以.
故选：A
【变式5-2】（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】可变形为：，可变形为：，可变形为：，
令，，，，且，
可知分别为函数与，，的交点横坐标，
当时，单调递增且，，
，，这三个函数全部单调递减，且，，，，
由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，时，，所以交点，
故选：B
【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，由，故，
由与在上单调递增，故在上单调递增，
又，，故，故B错误；
令，
由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，
由，故，
又，
，故，故C错误；
有，故A错误；，故D正确.
故选：D.
【变式5-4】雅各布·伯努利（Jakb Bernulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
令，两函数图象如图所示，
因为均单调递增，且，
结合图象可知当时，，即，
故，故；
如图，单位圆A中，于，设，，
则的长度，，，
则由图易得，，即，
所以，故；
综上，.
故选：B.
【变式5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，，
设扇形的面积为，则，即，故，
因为，所以，
又，由得，即，
令，，
则，当时，，
故在上单调递减，
所以，所以，
故，
综上，.
故选：D
【变式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，则为与交点的横坐标，
由，则为与交点的横坐标，
由，即，则为与交点的横坐标，
作出，，，的图象如下所示，
由图可知，.
故选：B
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不为零的实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，满足，但，A错误；
当，满足，但，B错误；
因为，所以，所以，C正确；
当或时，无意义，故D错误．
故选：C
【典例6-2】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取，则，，，所以．
故选：B．
【变式6-1】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，．
故选：B．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，所以，所以错误；
令，此时与无意义，所以错误；
因为，所以由不等式的性质可得，所以正确；
令，则，所以错误.
故选：.
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
由诱导公式得，
所以，因此；
因为，，
故只需比较与的大小，
由二项式定理得，，
所以．
综上，.
故选：C
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以．
因为，，
所以．
综上可知，．
故选：B．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于A，易得，所以，故A成立.
对于B，因为，所以，故B成立.
对于C，，
当且仅当时，等号成立，
显然等号不成立，所以，故C不成立.
对于D，因为且，
所以，故D成立.
故选：C.
【变式7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】显然，，
因为，所以；
又因为，，
令，．则，
可知在上单调递增，
则，可得，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，
则，即，所以；
综上所述：．
故选：A．
【变式7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
，
，
因为，所以，
因为，
，
所以，
所以.
故选：D.
【变式7-4】下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，由于，
所以，故，故A错误；
对于BCD，设，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
因此，
即，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C
题型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，a、b、c是正实数，
所以，
因为，所以，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意．
故选：D．
【典例8-2】设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】C
【解析】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
【变式8-1】已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】先比较与2的大小，
因为，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比较与2 的大小，
易得，当时，由，得与矛盾，舍去，
故，则有，得，
令，，
令，则，
故，
故，
从而．
故选：．
【变式8-2】已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
故，
，，
故，即，
，且，
，，
令，
则，
故，即，
故，
故选：．
【变式8-3】若且，且，且，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，则．
由得：．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故选：．
题型九：泰勒展开
【典例9-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【典例9-2】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，由函数切线放缩得，因此．
故答案为：
【变式9-1】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选
【变式9-2】，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故选B
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，，，
设，，
则，
其中，
令，则，
当时，，∴在上单调递减，，
∴当时，，， 在上单调递增，
∴，即，∴有.
对于与，，
将泰勒展开，得，
，
∴.
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
题型十：同构法
【典例10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
【答案】ABC
【解析】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【典例10-2】（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】等式，等号两边同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正确.
故选：AD．
【变式10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，
因此选项A不正确；
当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，
因此选项B不正确；
因为，所以
由，
构造函数，显然该函数单调递增，
由，因此选项C不正确，选项D正确，
故选：D
【变式10-2】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得
因，则有即（*）
设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.
故选：B.
【变式10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，
令函数，则，
则函数在上单调递增，且，
可知当时，；当时，；
且，则有：
当时，，即，可得，故A正确；
当时，，即，可得，故B正确；
又因为当时，在定义域内单调递减，可得；
当时，在定义域内单调递增，可得，
所以C正确，D错误．
故选：ABC.
【变式10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不等式，
令函数，求导得，令，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
，即，因此函数在R上递增，
原不等式等价于，于是，
对于AB，取，有，AB错误；
对于CD，，即，C错误，D正确.
故选：D
题型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，综上，.
故选：B
【典例11-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
综上，．
故选：B.
【变式11-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，
综上，．
故选：B
【变式11-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，
.
综上，．
故选：A
1．（2024·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，
则，即.
故选：C.
2．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造函数，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此可得，即，
所以，
又指数函数为单调递增，可得，即，
因为，所以.
故选：A.
3．（2024·河南新乡·三模）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，求导得，即函数在上单调递减，
而，又，因此，
所以.
故选：B
4．（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：C
5．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
，，则，故，
又，，，，，故最小值是，
故选：C．
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，又，，即；
，，即，；
，可令，
，在上单调递增，
，即，；
综上所述：.
故选：A.
7．（2024·山西·模拟预测）已知实数满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，且，，
令，则，
设，可得，所以为R上单调递增函数，
因为，可得，即，
所以，即单调递减，所以，即，
即，所以，
再设，可得，
所以在上在单调递增，所以，即，
又因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：C.
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由可得
因，
又，故,即；
因，则由，
由函数，，因时，，
即函数在上单调递减，则有，故得；
由，而，即，
综上，则有.
故选：B.
9．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
10．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
11．（2024·河南南阳·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】得.
由得，
又.
取，则.
设，
则，
所以在区间内单调递增，
又，则，
即，所以.
令，
则，
所以在区间内单调递增，
则，
故，则，即，
所以.
故选：A.
12．（多选题）已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，
故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.
故选：BC
13．（多选题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】已知，则，有，
由，得，则，即，
所以，A选项正确；
函数，有，
时，，单调递减，时，，单调递增，
，，即，时等号成立，
已知，由，所以，B选项正确；
已知，则，，当且仅当，即等号成立，
所以，有，得，C选项错误；
设，有，则，，有，
设，有，
设，则，
所以，即，，
所以，在上恒成立，
得在上单调递增，，即，D选项正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由题意，即，
而在定义域上递增，故，
所以，即，A对，C错；
由，，故零点，
所以，B对；
由，则，
而，显然，则，故，
综上，，D对.
故选：ABD
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，为单调递增函数，故，
由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；，；
对于ABC，A正确，BC均错误；
对于D，，两边取自然对数，，
因为不管，还是，均有，
所以，故只需证即可，
设（且），则，
令（且），则，
当时，，当时，，
所以，所以在且上恒成立，
故（且）单调递减，
因为，所以，结论得证，D正确．
故选：AD．
16．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知，，，下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】A选项，变形得到，
因为，所以，故，
解得，当且仅当时，等号成立，A错误；
B选项，因为，所以，即，
又，所以，即，
因为，所以，同理可得，
由可得，故，
，所以，
故，解得，
又，即，所以，即，解得，
解得，综上，，同理可得，
所以，故B正确；
C选项，因为，所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
，C正确；
D选项，由B可知，，
设，，则，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，所以，
所以，即，解得，
，
故选：BCD
17．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
令，所以，则，
，
所以，
即恒为递增函数，
则，即，所以，
综上：，
故选：A.
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，
则，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即.
故选：D
19．（2024·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，．
取，则，，．
设，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，
所以．
故选：A
20．已知，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，，
构造函数，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值，
若，不妨设，
设，，则，
，
当时，，故在上单调递增，
故，即，
又，故，
因为，所以，
而在上单调递减，
故，则，
由于，令，
而，
而在上单调递减，
，即，
，而，故，即，
综上，.
故选：C
21．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以
故，
故选：B
22．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
因为在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
令，则，
当时，，所以在上递减，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
综上，，
故选：D
23．（多选题）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】令，则，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
，有，故，
又，，
故，故有，
故，即C正确，，即，故D错误，
下证：恒成立.
即证：，即证，
设，
则，
因为，，故，
故在上为减函数，故，
即在成立，
故恒成立.
因为，则，
若，则；
若，则，
而故即，故A错误；
令，有，
则，
当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
有，又，故，
令，
则，
由，故，即，
故在上单调递增，又，故恒成立，
即，由，即有，
又，即有，有，，
又在上单调递减，故，即，故B正确.
故选：BC.
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由
，则有，A正确；
假定，有，
令，求导得，在上单调递增，
则，即当时，，，，
令，求导得，在上单调递减，
则，即当时，，，，
，
因成立，则成立，所以成立，B不正确；
假定，有，
令，，则在上单调递增，
而，则，所以成立，C不正确；
令，求导得，，
曲线在处切线方程为，
令，求导得，即在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：AD
25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；
对于选项B：利用换底公式：，
等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，
对于选项A：因为，所以，
即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；
对于选项C：，
由于函数在上单调递减，所以，即，
因为，所以，取，则，故选项C错误；
对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.
对于选项B：，因为，
所以等价于，因为，
因为，
所以不等式成立，故选项B正确；
故选：ABD
26．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对A，由图可知：与交点，
与的交点，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，
故，，故A正确；
对B，由A知，故B错误；
对C，由知，则，设，，
则，则当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则，则恒成立，即，当时取等；
令，则有，因为，则，即，故C错误；
对D，设，，则，
则当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
则，即在上恒成立，
即在上恒成立，当时取等，
令，则，即，因为，则，则，
故，故D正确.
故选：AD.
27．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由已知，得．
令，则，所以，
所以，
所以．
等式两边同时除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的两个根．
设，则易知在区间上单调递减，
所以．
又因为，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故选：BC．
28．（多选题）已知，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数均为R上的增函数，
且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9，
作出函数的图象如图：
由图可知当时，，即，A正确；
对于B，时，，
由于，故，故，B正确；
对于C，作出函数的图象如图，
由图象可知当时，，即，C错误；
对于D，，则，，，
由于，故，即，D正确，
故选：ABD
\l "_Tc168729750" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168729750 \h 2
\l "_Tc168729751" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168729751 \h 3
\l "_Tc168729752" 题型一：直接利用单调性 PAGEREF _Tc168729752 \h 3
\l "_Tc168729753" 题型二：引入媒介值 PAGEREF _Tc168729753 \h 4
\l "_Tc168729754" 题型三：含变量问题 PAGEREF _Tc168729754 \h 6
\l "_Tc168729755" 题型四：构造函数 PAGEREF _Tc168729755 \h 9
\l "_Tc168729756" 题型五：数形结合 PAGEREF _Tc168729756 \h 12
\l "_Tc168729757" 题型六：特殊值法、估算法 PAGEREF _Tc168729757 \h 19
\l "_Tc168729758" 题型七：放缩法 PAGEREF _Tc168729758 \h 20
\l "_Tc168729759" 题型八：不定方程 PAGEREF _Tc168729759 \h 23
\l "_Tc168729760" 题型九：泰勒展开 PAGEREF _Tc168729760 \h 26
\l "_Tc168729761" 题型十：同构法 PAGEREF _Tc168729761 \h 28
\l "_Tc168729762" 题型十一：帕德逼近估算法 PAGEREF _Tc168729762 \h 32
\l "_Tc168729763" 03过关测试 PAGEREF _Tc168729763 \h 33
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：直接利用单调性
【典例1-1】记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，幂函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
又对数函数在上单调递减，所以，
故.
故选：D.
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由在R上单调递增，可得，又，
则．
由在上单调递增，可得．
由在上单调递增，可得．
所以，
故选：A．
【变式1-1】设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，则，即，
因为，，
所以，所以，则，即，
又，所以，
所以.
故选：D
【变式1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增，
所以，即，
因为在定义域内单调递减，所以，即，
因为在上单调递减，所以，即，
综上：.
故选：D
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·二模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故选：D
【典例2-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，那么，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，即，
，即，
，故
故选：B
【变式2-2】（2024·江西上饶·模拟预测）设，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，，
，而，所以.
故选：B
题型三：含变量问题
【典例3-1】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以．
故选：A．
【典例3-2】（多选题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故，
因为在上单调递增，故，综上，，A正确；
B选项中，由于，而已知，所以B不正确；
C选项中，，
设，则，
设，
则，
所以在上递增，这样，故C正确；
D选项中，取，，则，，
又，故，所以D错误.
故选：AC.
【变式3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【变式3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，令，，则，
令，，则，A正确；
因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；
由得，，即，
于是，，，…，，
以上各式相加有，即，C正确；
由得，，因此，
设，，
则，所以，D正确．
故选：ACD
【变式3-3】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
题型四：构造函数
【典例4-1】设，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，的定义域为，
，令可得：，令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，即，
变形可得，即，所以；
又，所以，又因为，
所以，综上，，
故选：B．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故选：B.
【变式4-1】设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
易知，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，，
令，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，则上单调递减，又，
所以，即，即，
所以，则；
因为，所以，而，
令，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，则上单调递减，又，
所以，即，即，
所以，则；
综上，.
故选：B．
【变式4-3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递增；
又，所以，
所以；
，，
设，，
，所以函数在区间上单调递减，
所以，
所以，又，
所以，则，
综上，.
故选：C.
题型五：数形结合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，当时，
，单减，故，即；
设，，当时，，
所以，即，即；
，故最小，
，，，
因为，所以，所以，，
所以
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
设0，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
根据已知得，
可设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
综上，.
故选：D.
【变式5-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，画出的图象，
故为下凸函数，
当时，
所以，.
设，画出图象，
故为上凸函数，当时，
所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以.
设，则，在上单调递减，
所以时，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以.
故选：A
【变式5-2】（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】可变形为：，可变形为：，可变形为：，
令，，，，且，
可知分别为函数与，，的交点横坐标，
当时，单调递增且，，
，，这三个函数全部单调递减，且，，，，
由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，时，，所以交点，
故选：B
【变式5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，由，故，
由与在上单调递增，故在上单调递增，
又，，故，故B错误；
令，
由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，
由，故，
又，
，故，故C错误；
有，故A错误；，故D正确.
故选：D.
【变式5-4】雅各布·伯努利（Jakb Bernulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
令，两函数图象如图所示，
因为均单调递增，且，
结合图象可知当时，，即，
故，故；
如图，单位圆A中，于，设，，
则的长度，，，
则由图易得，，即，
所以，故；
综上，.
故选：B.
【变式5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，，
设扇形的面积为，则，即，故，
因为，所以，
又，由得，即，
令，，
则，当时，，
故在上单调递减，
所以，所以，
故，
综上，.
故选：D
【变式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，则为与交点的横坐标，
由，则为与交点的横坐标，
由，即，则为与交点的横坐标，
作出，，，的图象如下所示，
由图可知，.
故选：B
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不为零的实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，满足，但，A错误；
当，满足，但，B错误；
因为，所以，所以，C正确；
当或时，无意义，故D错误．
故选：C
【典例6-2】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取，则，，，所以．
故选：B．
【变式6-1】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，．
故选：B．
【变式6-2】（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，所以，所以错误；
令，此时与无意义，所以错误；
因为，所以由不等式的性质可得，所以正确；
令，则，所以错误.
故选：.
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
由诱导公式得，
所以，因此；
因为，，
故只需比较与的大小，
由二项式定理得，，
所以．
综上，.
故选：C
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以．
因为，，
所以．
综上可知，．
故选：B．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于A，易得，所以，故A成立.
对于B，因为，所以，故B成立.
对于C，，
当且仅当时，等号成立，
显然等号不成立，所以，故C不成立.
对于D，因为且，
所以，故D成立.
故选：C.
【变式7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】显然，，
因为，所以；
又因为，，
令，．则，
可知在上单调递增，
则，可得，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，
则，即，所以；
综上所述：．
故选：A．
【变式7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
，
，
因为，所以，
因为，
，
所以，
所以.
故选：D.
【变式7-4】下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，由于，
所以，故，故A错误；
对于BCD，设，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
因此，
即，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C
题型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，a、b、c是正实数，
所以，
因为，所以，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意．
故选：D．
【典例8-2】设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】C
【解析】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
【变式8-1】已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】先比较与2的大小，
因为，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比较与2 的大小，
易得，当时，由，得与矛盾，舍去，
故，则有，得，
令，，
令，则，
故，
故，
从而．
故选：．
【变式8-2】已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
故，
，，
故，即，
，且，
，，
令，
则，
故，即，
故，
故选：．
【变式8-3】若且，且，且，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，则．
由得：．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故选：．
题型九：泰勒展开
【典例9-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【典例9-2】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，由函数切线放缩得，因此．
故答案为：
【变式9-1】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选
【变式9-2】，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故选B
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，，，
设，，
则，
其中，
令，则，
当时，，∴在上单调递减，，
∴当时，，， 在上单调递增，
∴，即，∴有.
对于与，，
将泰勒展开，得，
，
∴.
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
题型十：同构法
【典例10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
【答案】ABC
【解析】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【典例10-2】（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】等式，等号两边同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正确.
故选：AD．
【变式10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，
因此选项A不正确；
当时，，
函数是正实数集的上的增函数，
因为，因此，显然，
因此选项B不正确；
因为，所以
由，
构造函数，显然该函数单调递增，
由，因此选项C不正确，选项D正确，
故选：D
【变式10-2】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得
因，则有即（*）
设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.
故选：B.
【变式10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，
令函数，则，
则函数在上单调递增，且，
可知当时，；当时，；
且，则有：
当时，，即，可得，故A正确；
当时，，即，可得，故B正确；
又因为当时，在定义域内单调递减，可得；
当时，在定义域内单调递增，可得，
所以C正确，D错误．
故选：ABC.
【变式10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不等式，
令函数，求导得，令，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
，即，因此函数在R上递增，
原不等式等价于，于是，
对于AB，取，有，AB错误；
对于CD，，即，C错误，D正确.
故选：D
题型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，综上，.
故选：B
【典例11-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
综上，．
故选：B.
【变式11-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，
综上，．
故选：B
【变式11-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，
.
综上，．
故选：A
1．（2024·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
且，
则，即.
故选：C.
2．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造函数，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此可得，即，
所以，
又指数函数为单调递增，可得，即，
因为，所以.
故选：A.
3．（2024·河南新乡·三模）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，求导得，即函数在上单调递减，
而，又，因此，
所以.
故选：B
4．（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：C
5．已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
，，则，故，
又，，，，，故最小值是，
故选：C．
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，又，，即；
，，即，；
，可令，
，在上单调递增，
，即，；
综上所述：.
故选：A.
7．（2024·山西·模拟预测）已知实数满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，且，，
令，则，
设，可得，所以为R上单调递增函数，
因为，可得，即，
所以，即单调递减，所以，即，
即，所以，
再设，可得，
所以在上在单调递增，所以，即，
又因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：C.
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由可得
因，
又，故,即；
因，则由，
由函数，，因时，，
即函数在上单调递减，则有，故得；
由，而，即，
综上，则有.
故选：B.
9．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
10．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
11．（2024·河南南阳·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】得.
由得，
又.
取，则.
设，
则，
所以在区间内单调递增，
又，则，
即，所以.
令，
则，
所以在区间内单调递增，
则，
故，则，即，
所以.
故选：A.
12．（多选题）已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，
故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.
故选：BC
13．（多选题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】已知，则，有，
由，得，则，即，
所以，A选项正确；
函数，有，
时，，单调递减，时，，单调递增，
，，即，时等号成立，
已知，由，所以，B选项正确；
已知，则，，当且仅当，即等号成立，
所以，有，得，C选项错误；
设，有，则，，有，
设，有，
设，则，
所以，即，，
所以，在上恒成立，
得在上单调递增，，即，D选项正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由题意，即，
而在定义域上递增，故，
所以，即，A对，C错；
由，，故零点，
所以，B对；
由，则，
而，显然，则，故，
综上，，D对.
故选：ABD
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，为单调递增函数，故，
由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；，；
对于ABC，A正确，BC均错误；
对于D，，两边取自然对数，，
因为不管，还是，均有，
所以，故只需证即可，
设（且），则，
令（且），则，
当时，，当时，，
所以，所以在且上恒成立，
故（且）单调递减，
因为，所以，结论得证，D正确．
故选：AD．
16．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知，，，下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】A选项，变形得到，
因为，所以，故，
解得，当且仅当时，等号成立，A错误；
B选项，因为，所以，即，
又，所以，即，
因为，所以，同理可得，
由可得，故，
，所以，
故，解得，
又，即，所以，即，解得，
解得，综上，，同理可得，
所以，故B正确；
C选项，因为，所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
，C正确；
D选项，由B可知，，
设，，则，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，所以，
所以，即，解得，
，
故选：BCD
17．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
令，所以，则，
，
所以，
即恒为递增函数，
则，即，所以，
综上：，
故选：A.
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，
则，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即.
故选：D
19．（2024·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，．
取，则，，．
设，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，
所以．
故选：A
20．已知，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，，
构造函数，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值，
若，不妨设，
设，，则，
，
当时，，故在上单调递增，
故，即，
又，故，
因为，所以，
而在上单调递减，
故，则，
由于，令，
而，
而在上单调递减，
，即，
，而，故，即，
综上，.
故选：C
21．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以
故，
故选：B
22．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
因为在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
令，则，
当时，，所以在上递减，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
综上，，
故选：D
23．（多选题）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】令，则，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
，有，故，
又，，
故，故有，
故，即C正确，，即，故D错误，
下证：恒成立.
即证：，即证，
设，
则，
因为，，故，
故在上为减函数，故，
即在成立，
故恒成立.
因为，则，
若，则；
若，则，
而故即，故A错误；
令，有，
则，
当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
有，又，故，
令，
则，
由，故，即，
故在上单调递增，又，故恒成立，
即，由，即有，
又，即有，有，，
又在上单调递减，故，即，故B正确.
故选：BC.
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由
，则有，A正确；
假定，有，
令，求导得，在上单调递增，
则，即当时，，，，
令，求导得，在上单调递减，
则，即当时，，，，
，
因成立，则成立，所以成立，B不正确；
假定，有，
令，，则在上单调递增，
而，则，所以成立，C不正确；
令，求导得，，
曲线在处切线方程为，
令，求导得，即在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：AD
25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：原式等价于，对于选项C：，对于选项D：变形为，构造函数，通过求导判断其在上的单调性即可判断；
对于选项B：利用换底公式：，
等价于，利用基本不等式，再结合放缩法即可判断；令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，
对于选项A：因为，所以，
即原不等式等价于，因为，所以，从而可得，故选项A正确；
对于选项C：，
由于函数在上单调递减，所以，即，
因为，所以，取，则，故选项C错误；
对于选项D：，与选项A相同，故选项D正确.
对于选项B：，因为，
所以等价于，因为，
因为，
所以不等式成立，故选项B正确；
故选：ABD
26．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对A，由图可知：与交点，
与的交点，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，
故，，故A正确；
对B，由A知，故B错误；
对C，由知，则，设，，
则，则当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则，则恒成立，即，当时取等；
令，则有，因为，则，即，故C错误；
对D，设，，则，
则当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
则，即在上恒成立，
即在上恒成立，当时取等，
令，则，即，因为，则，则，
故，故D正确.
故选：AD.
27．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由已知，得．
令，则，所以，
所以，
所以．
等式两边同时除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的两个根．
设，则易知在区间上单调递减，
所以．
又因为，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故选：BC．
28．（多选题）已知，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数均为R上的增函数，
且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9，
作出函数的图象如图：
由图可知当时，，即，A正确；
对于B，时，，
由于，故，故，B正确；
对于C，作出函数的图象如图，
由图象可知当时，，即，C错误；
对于D，，则，，，
由于，故，即，D正确，
故选：ABD
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