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重难点突破02 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份重难点突破02 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含重难点突破02原函数与导函数混合还原问题十三大题型原卷版docx、重难点突破02原函数与导函数混合还原问题十三大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc168752299" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168752299 \h 2
\l "_Tc168752300" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168752300 \h 3
\l "_Tc168752301" 题型一：利用构造型 PAGEREF _Tc168752301 \h 3
\l "_Tc168752302" 题型二：利用构造型 PAGEREF _Tc168752302 \h 4
\l "_Tc168752303" 题型三：利用构造型 PAGEREF _Tc168752303 \h 7
\l "_Tc168752304" 题型四：用构造型 PAGEREF _Tc168752304 \h 9
\l "_Tc168752305" 题型五：利用、与构造型 PAGEREF _Tc168752305 \h 11
\l "_Tc168752306" 题型六：利用与构造型 PAGEREF _Tc168752306 \h 14
\l "_Tc168752307" 题型七：复杂型：与等构造型 PAGEREF _Tc168752307 \h 16
\l "_Tc168752308" 题型八：复杂型：与型 PAGEREF _Tc168752308 \h 18
\l "_Tc168752309" 题型九：复杂型：与结合型 PAGEREF _Tc168752309 \h 20
\l "_Tc168752310" 题型十：复杂型：基础型添加因式型 PAGEREF _Tc168752310 \h 22
\l "_Tc168752311" 题型十一：复杂型：二次构造 PAGEREF _Tc168752311 \h 24
\l "_Tc168752312" 题型十二：综合构造 PAGEREF _Tc168752312 \h 26
\l "_Tc168752313" 题型十三：找出原函数 PAGEREF _Tc168752313 \h 29
\l "_Tc168752314" 03过关测试 PAGEREF _Tc168752314 \h 33
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
【典例1-1】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，，则导函数，
函数在区间上，满足，则有，
所以，即函数在区间上为增函数，
，
所以，
则有，
解得，
即此不等式的解集为.
故选：D
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数是，函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，
设，则，
仅当时，等号成立，所以单调递减．
又因为函数为奇函数，所以，即，
故由可得，
所以不等式的解集为，
故选：A
【变式1-1】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
令，则当时，得，即在上是减函数，
∴，，
即不等式等价为，
∴，得，即，
又，解得，故．
故选：D.
【变式1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为.
故选：A
题型二：利用构造型
【典例2-1】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
【典例2-2】已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
【变式2-1】（多选题）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ）
A．B．当时，
C．D．不等式解集为
【答案】ACD
【解析】构造函数，其中，
因为函数为定义在上的奇函数，则，
所以，故函数为偶函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，则，则.
因为，所以，即，，故A正确；
不妨取，则，，B错误；
因为偶函数在上单调递增，则，
即，整理可得，C正确；
当时，由可得，解得，
当时，由可得，解得.
综上所述，不等式解集为，D正确.
故选：ACD.
【变式2-2】已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
因为，
所以，
所以在单调递增，
因为，
所以，
由，且得，
则，
所以，又在单调递增，
所以，
故选：A．
题型三：利用构造型
【典例3-1】设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，
故在R上单调递增，，
可化为，
故原不等式的解集为，
故选：B
【典例3-2】已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，
则，
因为定义在上的函数满足，所以，
所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：D.
【变式3-1】（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故选：B.
【变式3-2】已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
题型四：用构造型
【典例4-1】（2024·广东广州·三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由题设条件，得，
故函数在上单调递减.
由为奇函数，得，得，
所以，
不等式等价于，即，
又函数在上单调递减，所以，
故不等式的解集是．
故选：D．
【典例4-2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，
所以是奇函数.
当时，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
【变式4-1】已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
则，即，
故函数是定义在上的奇函数，
当,时，，则，
故在,上单调递增，在,上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，
则不等式，即，
故，解得．
故选：C．
【变式4-2】（2024·高三·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【变式4-3】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，则，可知在上单调递减，且，
由不等式可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
题型五：利用、与构造型
【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
【典例5-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
【变式5-1】已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则．
由，得，所以为偶函数．
因为当时，有任意时，有成立，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
因为，即，
所以，解得．
故选：D．
【变式5-2】已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
，
设
所以，即为上的偶函数
当时，，
因为，所以
则在区间上单调递增
所以
即
即
等价于，
即
解得．
故选：A.
题型六：利用与构造型
【典例6-1】（2024·安徽淮南·二模）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，则，
∴在上为奇函数，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
又∵在上为奇函数，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上单调递增，
∴，解得：.
故选：A.
【典例6-2】偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，，因为定义域为上的偶函数，
所以，则，即为偶函数，
又，
因为对，有成立，所以当时，
即在上单调递减，则在上单调递增，
又，所以，则不等式等价于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】依题意令，，
则，
因为当时，，
所以当时，，
∴在上单调递减，
则等价于，即，
∴，解得，所以所求不等式的解集为.
故答案为：
题型七：复杂型：与等构造型
【典例7-1】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
【典例7-2】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
【变式7-1】已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
【变式7-2】已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
题型八：复杂型：与型
【典例8-1】已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】设，
则.
因为，
所以，
则是上的增函数.
不等式等价于，
，
即，则
解得.
故答案为：
【典例8-2】已知函数的定义域为，，若对于任意都有，则当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意构造函数，则，
函数在上为增函数，
，，
又，
，
，由，∴
故选：B．
【变式8-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
【变式8-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则．
因为，所以，即，所以在上单调递减．
不等式等价于不等式，即．
因为，所以，所以．
因为在上单调递减，所以，解得．
故选：C．
题型九：复杂型：与结合型
【典例9-1】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，，
则，
当时，，
故在上单调递减，
则当时，，
因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，
当时，
所以，解得，
又，故不等式的解集为.
故选：B
【典例9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则．
因为，所以，
所以，所以在上单调递增．
不等式可转化为，
又，且，
即，所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：A．
【变式9-1】已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，
则，
因为，所以时，，
即在上单调递减，
又，则，
所以，
即，则，解得：，
所以关于的不等式的解集为，
故选：C.
题型十：复杂型：基础型添加因式型
【典例10-1】已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，整理可得，则函数关于成中心对称，
所以关于直线成轴对称，
当时，，由，则，
由函数的导数为，
则函数在上单调递增，易知在上单调递减，
当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
【典例10-2】（2024·高三·湖南株洲·开学考试）已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，依题意可知，
所以在上单调递减.由于是奇函数，
所以当时，，所以，
所以，
由得，即，所以，
故不等式的解集为.
故选：B
【变式10-1】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
题型十一：复杂型：二次构造
【典例11-1】已知定义为的函数的导函数且，则不等式的解集是
【答案】
【解析】设，则.
因为，所以，所以（为常数）.
又所以所以.
所以.
则不等式为.
设，则，
所以函数在上单调递增.
即为，所以.
所以不等式的解集是.
故答案为:.
【典例11-2】函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式11-1】设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【变式11-2】定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
题型十二：综合构造
【典例12-1】已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（4，+∞）B．（-∞，4）C．（-∞，3）D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得
故选：A
【典例12-2】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【变式12-1】已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，则，，
所以，则，
令，则，
所以在上是单调递增．
不等式等价于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为.
故选：C．
【变式12-2】（2024·高三·山东烟台·期中）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
令，则，即是上的偶函数，
求导得，因为当时， ，
即，则，则在上单调递增，
，，即，
即，即，即，即，
所以，解得或，则解集为.
故选：C.
【变式12-3】（2024·高三·河南新乡·开学考试）设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，的定义域为所以为奇函数，，
令，，
因为对任意，都有，所以，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，即.
故选：B．
题型十三：找出原函数
【典例13-1】设函数满足，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【解析】由，即，
结合，可知，
，
可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．
故选：B
【典例13-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
【变式13-1】（2024·辽宁大连·一模）函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为
A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
将代入可得：
则
=
令则，当时，，当时，，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选
【变式13-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式13-3】（2024·全国·一模）若函数满足，则当时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设知，当时，，
可得为常数），又，得C=0
所以.
又,令，解得或（舍去）.
所以当时，，
所以当时，有极小值，无极大值.
故选B.
【变式13-4】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.
故选：D.
1．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
令，结合，则，
所以在R上递减，故，
则原不等式解集为.
故选：A
2．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，
故选：D.
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造新函数，
因为恒成立，
所以，因此函数单调递增，
，
由，
故选：B
4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意对任意的，都有，即，
令，则，
即为R上的增函数，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集为，
故选：D
5．（2024·高三·四川内江·期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，令函数，，求导得，
则函数在R上单调递增，，
而，则，因此有，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C
6．已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，
即，解得.
故选：C.
7．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
∴在R上单调递减，又∵，
∴，即，
∴.
故选：C.
8．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，，
令，则，即为偶函数.
所以，
当时，则在为减函数，故在上为增函数，
由，即，
∴，解得.
故选：D.
9．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，即，
设，
则，
所以在上单调递减，
又，的解集等价于的解集，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：C.
10．（多选题）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，时，，时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD
11．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
当时，，
所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，
所以，又，
所以是偶函数，所以在递减，
所以，
即不等式等价为，
所以，所以．
故答案为：．
12．已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足
所以函数关于直线对称，即
因为当时,有即
故令则，在上单调递增,
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，因为，
所以所以当时, ,
所以，当时,，
所以且,即无解.所以不等式的解集是.
故答案为：.
13．若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【解析】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
14．定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，因为是定义在上的奇函数，
则，
所以为偶函数.
当时，，，
由已知，
所以，
则在上单调递增，
由可化为，
即，得；
当，，则，
即，
由为偶函数，则在上单调递减，
得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
15．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时，由，得，则，
所以成立，所以符合，
当时，令，则，
因为，
当时，，
所以在上递增，
因为定义在上的偶函数，所以，
所以，所以为偶函数，
因为，定义在上的偶函数，所以，
所以
由，得，所以，
所以，
因为在上递增，
所以，且，得，且，
综上，，即不等式的解集是，
故答案为：
16．已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】由函数及其导函数的定义域均为，且，
令，可得，且，
因为，可得，所以在上单调递减，
不等式，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
17．已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 .（用区间表示）
【答案】
【解析】令，则，所以在上单调递增，
由，两端同除以，并移项得，
即，又在上单调递增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
18． 是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
故函数在上单调递减，
又为奇函数，所以，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
19．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
20．（2024·高三·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 .
【答案】
【解析】由题意知，故，
设，则，
即在R上单调递增，
由，可得，
故即，即，则，
故，即的解集为，
故答案为：
21．已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
所以当时，，即当时，，
所以在上单调递减，
又，所以，
因为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
【答案】
【解析】记，则，
因为，所以，在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令函数，当时，，即函数在上单调递减，
由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案为：
24．（2024·山东菏泽·三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ．
【答案】
【解析】当时，因为，所以，
所以，所以在上为增函数，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，且的定义域为，关于原点对称，
所以也是定义在上的奇函数，且，
又因为在上为增函数，所以在上为增函数，
由，得，
所以，因为在上为增函数，
所以，即.
所以的解集为.
故答案为：
25．函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
26．已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
\l "_Tc168752299" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168752299 \h 2
\l "_Tc168752300" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168752300 \h 3
\l "_Tc168752301" 题型一：利用构造型 PAGEREF _Tc168752301 \h 3
\l "_Tc168752302" 题型二：利用构造型 PAGEREF _Tc168752302 \h 4
\l "_Tc168752303" 题型三：利用构造型 PAGEREF _Tc168752303 \h 7
\l "_Tc168752304" 题型四：用构造型 PAGEREF _Tc168752304 \h 9
\l "_Tc168752305" 题型五：利用、与构造型 PAGEREF _Tc168752305 \h 11
\l "_Tc168752306" 题型六：利用与构造型 PAGEREF _Tc168752306 \h 14
\l "_Tc168752307" 题型七：复杂型：与等构造型 PAGEREF _Tc168752307 \h 16
\l "_Tc168752308" 题型八：复杂型：与型 PAGEREF _Tc168752308 \h 18
\l "_Tc168752309" 题型九：复杂型：与结合型 PAGEREF _Tc168752309 \h 20
\l "_Tc168752310" 题型十：复杂型：基础型添加因式型 PAGEREF _Tc168752310 \h 22
\l "_Tc168752311" 题型十一：复杂型：二次构造 PAGEREF _Tc168752311 \h 24
\l "_Tc168752312" 题型十二：综合构造 PAGEREF _Tc168752312 \h 26
\l "_Tc168752313" 题型十三：找出原函数 PAGEREF _Tc168752313 \h 29
\l "_Tc168752314" 03过关测试 PAGEREF _Tc168752314 \h 33
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
【典例1-1】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，，则导函数，
函数在区间上，满足，则有，
所以，即函数在区间上为增函数，
，
所以，
则有，
解得，
即此不等式的解集为.
故选：D
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数是，函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，
设，则，
仅当时，等号成立，所以单调递减．
又因为函数为奇函数，所以，即，
故由可得，
所以不等式的解集为，
故选：A
【变式1-1】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
令，则当时，得，即在上是减函数，
∴，，
即不等式等价为，
∴，得，即，
又，解得，故．
故选：D.
【变式1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为.
故选：A
题型二：利用构造型
【典例2-1】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
【典例2-2】已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
【变式2-1】（多选题）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ）
A．B．当时，
C．D．不等式解集为
【答案】ACD
【解析】构造函数，其中，
因为函数为定义在上的奇函数，则，
所以，故函数为偶函数，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，则，则.
因为，所以，即，，故A正确；
不妨取，则，，B错误；
因为偶函数在上单调递增，则，
即，整理可得，C正确；
当时，由可得，解得，
当时，由可得，解得.
综上所述，不等式解集为，D正确.
故选：ACD.
【变式2-2】已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
因为，
所以，
所以在单调递增，
因为，
所以，
由，且得，
则，
所以，又在单调递增，
所以，
故选：A．
题型三：利用构造型
【典例3-1】设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，
故在R上单调递增，，
可化为，
故原不等式的解集为，
故选：B
【典例3-2】已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，
则，
因为定义在上的函数满足，所以，
所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：D.
【变式3-1】（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故选：B.
【变式3-2】已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
题型四：用构造型
【典例4-1】（2024·广东广州·三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由题设条件，得，
故函数在上单调递减.
由为奇函数，得，得，
所以，
不等式等价于，即，
又函数在上单调递减，所以，
故不等式的解集是．
故选：D．
【典例4-2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，
所以是奇函数.
当时，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
【变式4-1】已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
则，即，
故函数是定义在上的奇函数，
当,时，，则，
故在,上单调递增，在,上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，
则不等式，即，
故，解得．
故选：C．
【变式4-2】（2024·高三·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【变式4-3】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，则，可知在上单调递减，且，
由不等式可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
题型五：利用、与构造型
【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
【典例5-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
【变式5-1】已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则．
由，得，所以为偶函数．
因为当时，有任意时，有成立，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
因为，即，
所以，解得．
故选：D．
【变式5-2】已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
，
设
所以，即为上的偶函数
当时，，
因为，所以
则在区间上单调递增
所以
即
即
等价于，
即
解得．
故选：A.
题型六：利用与构造型
【典例6-1】（2024·安徽淮南·二模）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，则，
∴在上为奇函数，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
又∵在上为奇函数，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上单调递增，
∴，解得：.
故选：A.
【典例6-2】偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，，因为定义域为上的偶函数，
所以，则，即为偶函数，
又，
因为对，有成立，所以当时，
即在上单调递减，则在上单调递增，
又，所以，则不等式等价于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】依题意令，，
则，
因为当时，，
所以当时，，
∴在上单调递减，
则等价于，即，
∴，解得，所以所求不等式的解集为.
故答案为：
题型七：复杂型：与等构造型
【典例7-1】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
【典例7-2】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
【变式7-1】已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
【变式7-2】已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
题型八：复杂型：与型
【典例8-1】已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】设，
则.
因为，
所以，
则是上的增函数.
不等式等价于，
，
即，则
解得.
故答案为：
【典例8-2】已知函数的定义域为，，若对于任意都有，则当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意构造函数，则，
函数在上为增函数，
，，
又，
，
，由，∴
故选：B．
【变式8-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
【变式8-2】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则．
因为，所以，即，所以在上单调递减．
不等式等价于不等式，即．
因为，所以，所以．
因为在上单调递减，所以，解得．
故选：C．
题型九：复杂型：与结合型
【典例9-1】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，，
则，
当时，，
故在上单调递减，
则当时，，
因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，
当时，
所以，解得，
又，故不等式的解集为.
故选：B
【典例9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则．
因为，所以，
所以，所以在上单调递增．
不等式可转化为，
又，且，
即，所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：A．
【变式9-1】已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，
则，
因为，所以时，，
即在上单调递减，
又，则，
所以，
即，则，解得：，
所以关于的不等式的解集为，
故选：C.
题型十：复杂型：基础型添加因式型
【典例10-1】已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，整理可得，则函数关于成中心对称，
所以关于直线成轴对称，
当时，，由，则，
由函数的导数为，
则函数在上单调递增，易知在上单调递减，
当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
【典例10-2】（2024·高三·湖南株洲·开学考试）已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，依题意可知，
所以在上单调递减.由于是奇函数，
所以当时，，所以，
所以，
由得，即，所以，
故不等式的解集为.
故选：B
【变式10-1】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
题型十一：复杂型：二次构造
【典例11-1】已知定义为的函数的导函数且，则不等式的解集是
【答案】
【解析】设，则.
因为，所以，所以（为常数）.
又所以所以.
所以.
则不等式为.
设，则，
所以函数在上单调递增.
即为，所以.
所以不等式的解集是.
故答案为:.
【典例11-2】函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式11-1】设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【变式11-2】定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
题型十二：综合构造
【典例12-1】已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（4，+∞）B．（-∞，4）C．（-∞，3）D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得
故选：A
【典例12-2】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【变式12-1】已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，则，，
所以，则，
令，则，
所以在上是单调递增．
不等式等价于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为.
故选：C．
【变式12-2】（2024·高三·山东烟台·期中）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
令，则，即是上的偶函数，
求导得，因为当时， ，
即，则，则在上单调递增，
，，即，
即，即，即，即，
所以，解得或，则解集为.
故选：C.
【变式12-3】（2024·高三·河南新乡·开学考试）设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，的定义域为所以为奇函数，，
令，，
因为对任意，都有，所以，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，即.
故选：B．
题型十三：找出原函数
【典例13-1】设函数满足，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【解析】由，即，
结合，可知，
，
可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．
故选：B
【典例13-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
【变式13-1】（2024·辽宁大连·一模）函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为
A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
将代入可得：
则
=
令则，当时，，当时，，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选
【变式13-2】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式13-3】（2024·全国·一模）若函数满足，则当时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设知，当时，，
可得为常数），又，得C=0
所以.
又,令，解得或（舍去）.
所以当时，，
所以当时，有极小值，无极大值.
故选B.
【变式13-4】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.
故选：D.
1．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
令，结合，则，
所以在R上递减，故，
则原不等式解集为.
故选：A
2．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，
故选：D.
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造新函数，
因为恒成立，
所以，因此函数单调递增，
，
由，
故选：B
4．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意对任意的，都有，即，
令，则，
即为R上的增函数，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集为，
故选：D
5．（2024·高三·四川内江·期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，令函数，，求导得，
则函数在R上单调递增，，
而，则，因此有，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C
6．已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，
即，解得.
故选：C.
7．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
∴在R上单调递减，又∵，
∴，即，
∴.
故选：C.
8．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，，
令，则，即为偶函数.
所以，
当时，则在为减函数，故在上为增函数，
由，即，
∴，解得.
故选：D.
9．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，即，
设，
则，
所以在上单调递减，
又，的解集等价于的解集，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：C.
10．（多选题）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，时，，时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD
11．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
当时，，
所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，
所以，又，
所以是偶函数，所以在递减，
所以，
即不等式等价为，
所以，所以．
故答案为：．
12．已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足
所以函数关于直线对称，即
因为当时,有即
故令则，在上单调递增,
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，因为，
所以所以当时, ,
所以，当时,，
所以且,即无解.所以不等式的解集是.
故答案为：.
13．若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【解析】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
14．定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，因为是定义在上的奇函数，
则，
所以为偶函数.
当时，，，
由已知，
所以，
则在上单调递增，
由可化为，
即，得；
当，，则，
即，
由为偶函数，则在上单调递减，
得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
15．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时，由，得，则，
所以成立，所以符合，
当时，令，则，
因为，
当时，，
所以在上递增，
因为定义在上的偶函数，所以，
所以，所以为偶函数，
因为，定义在上的偶函数，所以，
所以
由，得，所以，
所以，
因为在上递增，
所以，且，得，且，
综上，，即不等式的解集是，
故答案为：
16．已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】由函数及其导函数的定义域均为，且，
令，可得，且，
因为，可得，所以在上单调递减，
不等式，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
17．已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 .（用区间表示）
【答案】
【解析】令，则，所以在上单调递增，
由，两端同除以，并移项得，
即，又在上单调递增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
18． 是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
故函数在上单调递减，
又为奇函数，所以，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
19．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
20．（2024·高三·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 .
【答案】
【解析】由题意知，故，
设，则，
即在R上单调递增，
由，可得，
故即，即，则，
故，即的解集为，
故答案为：
21．已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
所以当时，，即当时，，
所以在上单调递减，
又，所以，
因为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为 .
【答案】
【解析】记，则，
因为，所以，在R上单调递增，
又，所以，
所以，
所以，不等式的解集为.
故答案为：
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令函数，当时，，即函数在上单调递减，
由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案为：
24．（2024·山东菏泽·三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ．
【答案】
【解析】当时，因为，所以，
所以，所以在上为增函数，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，且的定义域为，关于原点对称，
所以也是定义在上的奇函数，且，
又因为在上为增函数，所以在上为增函数，
由，得，
所以，因为在上为增函数，
所以，即.
所以的解集为.
故答案为：
25．函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
26．已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
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