重难点突破04 双变量与多变量问题（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc169099295" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169099295 \h 2
\l "_Tc169099296" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169099296 \h 2
\l "_Tc169099297" 题型一：双变量单调问题 PAGEREF _Tc169099297 \h 2
\l "_Tc169099298" 题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 PAGEREF _Tc169099298 \h 7
\l "_Tc169099299" 题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 PAGEREF _Tc169099299 \h 14
\l "_Tc169099300" 题型四：双变量不等式:中点型 PAGEREF _Tc169099300 \h 19
\l "_Tc169099301" 题型五：双变量不等式:剪刀模型 PAGEREF _Tc169099301 \h 24
\l "_Tc169099302" 题型六：双变量不等式:主元法 PAGEREF _Tc169099302 \h 30
\l "_Tc169099303" 题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换 PAGEREF _Tc169099303 \h 35
\l "_Tc169099304" 03过关测试 PAGEREF _Tc169099304 \h 41
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1），
若，则恒成立，当且仅当时等号成立，
故的增区间为，无减区间.
若，则当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为，
若，同理可得的增区间为，减区间为.
（2）若，则，
由（1）可得的增区间为，
故即为，
故，
设，故为上的减函数，
而，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
设，故，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，故即
【典例1-2】已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【解析】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
【变式1-1】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，如果对任意，，求证：.
【解析】（1）函数定义域为，，
①当时，，在单调递增；
②当时，，在单调递减；
③当时，由得，
所以在单调递增，在单调递减.
（2）证明：不妨设而当时，
由（1）可知在单调递减，
从而 ，等价于，.
构造函数，只需在单调递减，
即在恒成立，
分离参数法：，只需.
【变式1-2】（2024·安徽·三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）的定义域是.
.
（1）当时，，的定义域内单增；
（2）当时，由得，.
此时在内单增，在内单减；
（3）当时，，的定义域内单减.
（Ⅱ）因为，所以，.
此时.
由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.
不妨设，
则，即，
即恒成立.
令，，则在内单减，即.
，，.
而，当且仅当时，取得最小值，
所以，故实数的取值范围是.
【变式1-3】已知函数.
(1)若函数在点处的切线与直线平行，求的方程；
(2)判断命题“对任意恒成立”的真假，并说明理由；
(3)若对任意都有恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由函数，可得，
设切点坐标，可得，
因为函数在点处的切线与直线平行，，解得，
所以，即切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）真命题，
理由如下：
欲证对任意恒成立，
即证对任意恒成立，
令
可得，
令 ，可得，
则的关系如下表：
故，即对任意恒成立，
故原命题得证
（3）不妨设，若，
可得，
设，则恒成立，
故是的增函数，即对恒成立，
可得在恒成立，
设，可得，
令，可得，所以在上递减，
令，可得，所以在上递增，
即有在处取得极小值，且为最小值，得，解得，
即实数的取值范围是.
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
将代入的解析式，得，
求导得．
当时，，故在上单调递增；
当时，令，得．
所以当时，，当时，，于是在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）当时，．
因为，所以不等式可化为，
所以对任意的恒成立，所以函数为上的减函数，
所以在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，令，得．
所以当上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得．
所以实数的取值范围为．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
【典例2-1】设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
【解析】（1）当时，，则定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
【解析】（1）当时，，
得，则，，
所以切线方程为，即；
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（3），
则，
因为是函数的两个极值点，
即是方程的两不等正根，
所以，得，
令，则，
得，
则，
所以
，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
即.
【变式2-1】已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
【解析】（1）因为，所以，
因为是函数的极值点，所以，解得，
所以，所以令，所以，
所以当时，，函数单调递减．
又，所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以确实是函数的极大值点．
综上所述，实数的值为0．
（2）因为，函数的两个极值点为，且，
所以
设，，则．
构建函数，则函数的图象与直线交于，两点．
因为，所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以．
构建函数，所以函数的图象与直线交于点．
构建函数，所以，
所以当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以，所以，
所以，
所以，所以．
【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以（c为常数）．
因为，所以，
所以．
又，
所以曲线在点处的切线的方程为，
即，
所以经过定点．
（2）令，可得．
因为，满足，且，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，
所以
，
令函数，
则，
令，得，
因为当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，
所以的取值范围为，
即的取值范围为．
【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，为函数的两个零点，求证：．
【解析】（1），．
当时，，则在上单调递增．
当时，令，得，解得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）设，则，，
所以，
所以，，
记，要证，只需证，
只需证，只需证．
记，，则，
记，，
由（1）可知，取，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，所以在上单调递增，
又，所以，所以成立．
【变式2-4】已知函数．若有两个零点，且，证明：．
【解析】若有两个零点，则，得．
，令，则，故，则，，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
，则在上单调递增，，即，
故.
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
【典例3-1】已知函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值.
【解析】（1）若，，
令，得或，
当或时，，
当时，，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2），
令，可得，
由题意可得，是关于方程的两个实根，
所以，，
由，有，
所以，
将代入上式，得，
同理可得，
所以，
，①，
令,①式化为，
设，即，
，
记，则，
记，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，在上单调递减，
又，
，
当时，的最小值为4，即的最小值为2，
因为在上单调递减，的最大值为，
所以的最大值为.
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【解析】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
【解析】（1）因为，
所以,
令，则，
因为，
当时，，则，即，
此时在上单调递增，
当时，，由，得，且，
当或时，，即；
当时，，即，
所以在,上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，
当时，在,上单调递增，在上单调递减，
其中.
（2）由（1）可知，为的两个极值点，且，
所以，且是方程的两不等正根，
此时，，，
所以，，且有，，
则
令，则，令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
所以的最小值为.
【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
【解析】（1）当时，，
，
则当，即时，，
当，即时，，
故的单调递减区间为、，单调递增区间为；
（2），令，即，
令，，则、是方程的两个正根，
则，即，
有，，即，
则
，
要证，即证，
令，
则，
令，则，
则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，则，故，
即，即.
题型四：双变量不等式:中点型
【典例4-1】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记函数的图象为曲线C.设点，是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点，使得:①;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
【解析】（1）函数的定义域是.
由已知得，，
当时，即时，令，解得或；
令，解得.
所以，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，即时，显然，函数在上单调递增；
当时，即时，令，解得或；
令，解得.
所以，函数在和上单调递增，在上单调递减.
综上可得：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
（2）假设函数存在“中值相依切线”.
设，是曲线上的不同两点，且，
则，．
，
曲线C在点处的切线斜率，
依题意得：，
化简可得：，即，
设（），上式化为：，即，
令（），，
所以在上递增，显然有恒成立.
所以在内不存在t，使得成立，
则函数不存在“中值相依切线”.
【典例4-2】已知函数，．
(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．
(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．
【解析】（1）因为，
由题意，
即对恒成立，
整理得：，
即，在上恒成立，
显然时成立．
当时，设，
显然且对称轴为，
所以在上单调递增，
所以只要，又，
所以；
综上，；
（2），
即为方程的两个根，
由题意可得，
∴，解得，
又，，
两式相减得，
令，则
，
令，
，所以在递减，
，所以的最小值为．
【变式4-1】已知函数．
(1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
(2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
【解析】（1），，
由题意知恒成立，即恒成立，所以，
又，当且仅当时，等号成立，
故，所以；
（2）设在点的切线平行于轴，其中，
则，
由题意有，
①－②得，所以，
由④得，所以
即⑤
设，则⑤式变为，
令，，
所以函数在上单调递增，
因此，即，也就是，此式与⑤矛盾，
所以在点的切线不可能平行于轴．
【变式4-2】（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.
题型五：双变量不等式:剪刀模型
【典例5-1】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若方程有两个实数根，，且，证明：.
【解析】（1）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
即；
（2）解法一：由题知，，
则，
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，令，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令，，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
因为，所以在上恒成立，
故.
即，得证．
解法二：因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
结合（1）可知，
设，
，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为.
因为，
所以在上恒成立，故.
设的解为，则，设的解为，则，
故，.故，得证．
【典例5-2】已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
【解析】（1），
又因为函数单调递增，且，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，
，
，
所以在和上各有一个零点，
当时，的最小值为，且，
所以在内至多只有一个零点，
综上，实数的取值范围是；
（2）设，，
，
，
当时，，
，
所以，
所以在上单调递增，
当时，，
即当时，，
又因为函数有两个零点，
由（1）知，，，
所以，
（3）设，
，
，当时，
因为，
令，，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以恒成立，显然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
设的零点为，，
易知，
所以，
设，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以恒成立，即，
设的零点为，，
易知，，
所以，
所以，
所以
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．
(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．
【解析】（1），
当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为，
所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为，
所以方程的二次近似值为．
（2）由题可知，，，，
所以在处的切线为，即；
设，
则，显然单调递减，令，解得，
所以当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，
所以，即．
（3）由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足；
曲线过点和点的割线方程为，
下面证明，
设，
则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，；
在上单调递减，，
所以当时，，即（当且仅当或时取等号），
由于，所以，解得；①
下面证明当时，，
设，因为，
所以当时，（当且仅当时取等号），
由于所以，解得，②
①②，得．
题型六：双变量不等式:主元法
【典例6-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
【解析】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【典例6-2】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．
【解析】(1)
令得：，
，；
令得：；
在上为增函数；在上为减函数；
.
(2)由（1）知：当时，有，
，即：，.
(3)将变形为：
即只证：
设函数
，
令，得：．
在上单调递增；在上单调递减；
的最小值为：，即总有：．
，即：，
令，，则
，
成立．
【变式6-1】已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）
【解析】(1)的定义域为，
因为，
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
(2)令，，
解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
证明如下：当时，有，
所以，
即，
所以．
【变式6-2】已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，求证：，．
【解析】（1）由题知，
所以，
当时，，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由题知，，，
所以，
因为，
所以
令
即证在上恒成立，
因为
当时，，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
因为，，
令，
所以，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以恒成立，
因为，
所以在上恒成立，即得证.
【变式6-3】设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
【解析】(1)函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为，无极大值.
(2)
令，则，
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；
(3)构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故即：
综上，.
题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换
【典例7-1】已知函数．
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，
（i）求实数的取值范围;
（ii）求证:．
【解析】（1）因为，
所以，其中
①当时，，所以函数的减区间为，无增区间；
②当时，由得，由可得．
所以函数的增区间为，减区间为．
综上：当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为．
（2）（ⅰ）方程可化为，即．
令，因为函数在上单调递增，
易知函数的值域为，
结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根．
又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．
令，其中，则．
由可得或，由可得，
所以，函数在和上单调递减，在上单调递增．
所以，函数的极小值为，
且当时，；当时，则．
作出函数和的图象如图所示：
由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，
所以，实数的取值范围是．
（ⅱ）要证，只需证，即证．
因为，所以只需证 ，
由（i）知，不妨设．
因为，所以，即，作差可得
所以只需证，即只需证．
令，只需证 ，
令，其中，
则，
所以在上单调递增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得证.
【典例7-2】已知函数有三个极值点，，（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的最大值．
【解析】（1）函数有三个极值点，，（），
则有三个不相等的实数根，，（），
即方程有三个不相等的实数根，，（）．
令，则，
由得，由得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
结合图象可知函数的值域为，
所以a的取值范围为．
（2）由（1）知，
且，，所以，
令，则，
则，即，，
令，，则，
令，，则，
所以单调递减，则，
则，所以单调递减，则，故．
由（1）知，在上单调递增，
所以，
故实数a的最大值为．
【变式7-1】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
【解析】（1）．
①当时，在上单调递增．
②当时，令得，即在上单调递增；
同理，令得，即在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
若使有两个零点，则，即，解得，
且，当时，，则有，
所以的取值范围为．
（ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②，
①-②得，即，
，
因为有两个零点，所以不单调，
因为，得，
所以．
若要证明成立，
只需证，
即证，令，则，
则不等式只需证，
即证，
令，
，令，
令，因为，得在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
所以有，
故有，不等式得证．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
【解析】（1）的定义域为，
令，即，等价于，
设，则（），
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为，，
要使得存在零点，则，
即，得．
（2）由为的零点，得，
即，即
两式相减得，即.
要证当时，，
只需证，只需证，，
，．
令，，只需证，
，则在上单调递增，
∴，即可得证.
1．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数有三个极值点
则有三个不等实根
即方程有三个不等实根，
令，则，
由得，由得或
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以
（2）由（1）知，，
所以，令，则，
令，则
令，则，
即，，故
在上单调递增，所以.
2．（2024·四川·一模）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2个零点，证明：．
【解析】（1）当，函数，
则，
可知当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则当时，取得极小值，也即为最小值，
所以的最小值为；
（2）由已知，是的两个零点，
则，，
两式相减，得，
整理得，
欲证明，
只需证明不等式，
即证明，也即证明，
不妨设，令，则，
只需证明，即证明即可，
令，则，
又令，则，
所以，当时，，即单调递减，则，
故当时，单调递增，则，
所以，原不等式成立，故不等式得证．
3．已知是函数的导函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设为函数的两个零点且，证明：．
【解析】（1）函数，，
令，，
因为，令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
即函数的单调增区间为，减区间为；
（2）证明：由（1）可知解得，
又，，
所以，
因为是的两个零点，所以，，
即，，两式相减得，
令，则，，，
所以，，，
要证，即证，即证，
只需证：，
令，，
，
令，
所以在上单调递减且，
所以，则在上单调递增且，
所以，从而得证，即．
4．已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.
【解析】（1）由题意，，，
所以当时，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，极小值.
（2）由题意，，，
要证，只需证，
而，
，
所以只需证，
即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证，只需证，
即证，令，
则，所以在上单调递增，
显然，所以当时，，
因为，所以，即，
故.
证法2：要证，只需证，即证，
令，则，所以只需证当时，，即证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以成立，即，
故
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意，得，
由，得或，所以0是函数的一个极值点．
所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和．
令，则．
当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点；
当时，由，得，由，得，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，即，所以．
又．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．

令，则，令得，
令得，所以在上递增，在上递减，
所以，，
所以，
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．
因为所以，
综上，的取值范围是．
（2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明．
由得，即两式相除得．
令，则．
所以，所以．
所以要证明，只要证明，
即，其中，所以．
所以只要证明．令，
所以，从而恒成立，
所以在上是减函数，所以．
所以在上是增函数，所以，即证：．
另由，知，所以，且为的两根．
记，则，当，，当，
故在上递增，在上递减．
不妨取，所以要证，即要证，
只要证，又，故只要证，
即要证，也即要证(#)．
令，则．
而当时，，故在上递减，
故，故在上递增，故，所以(#)成立，
故．
6．已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
【解析】（1）因为函数，定义域为，
所以，
当时，在上恒成立，所以在单调递增；
当时，令，即，解得，
令，解得或，
所以在单调递增，在单调递减；
（2）由题可知，，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，
则，
所以
，
所以，要证，
即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
所以，在上单调递增，则，
即，
所以原不等式成立．
7．（2024·福建龙岩·二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
【解析】（1）由已知有，,
曲线在点处的切线方程为：,
即：，将代入即有：,
由得令得：，此时,
可得：曲线在点处的切线方程为：
，将代入化简，
可得：
故曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（2）∵，
∴，令，得：，
∴，为方程的两根，
∴即：，
∴ ∴，
∴
，
令，则，
令，则，
∴在单调递减 ∴
即
8．（2024·新疆·三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．
【解析】（1）因为，
所以，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，令，得；令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）方程，即，等价于，
令，其中，则，显然，
令，则，
所以在区间上单调递减，且由时可得在区间上，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
因为方程有两个实根，
所以关于的方程有两个实根，，且，，所以，
要证，即证，即证，只需证，
因为，所以，整理可得，
不妨设，则只需证，
即，
令，，其中，
因为，所以在区间上单调递增，
所以，故．
9．已知函数.
(1)当时，试比较与的大小；
(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.
【解析】（1）因为，
所以，
，
所以，
令，，
所以，
又因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以，
所以，即.
（2）因为斜率为的直线与的图象交于不同两点，，
所以，
，
所以，
因为，
所以，所以，
要证，即证，
又因为线段的中点的横坐标为，所以，即证，
不妨设，上式可整理为，即，
令，则，所以上式即为，
令，则，
因为，所以，所以函数在区间上单调递增，
所以，即，
故得证.
10．已知函数（a为常数）．
(1)若函数是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【解析】（1）的定义域为，
，
若函数为增函数，则在上恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
故a的取值范围是；
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，
从而得到，即，
又，故，
，
令，则，
，
所以在上单调递增，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
11．设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，则.
曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，
即，解得，则，
，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，故的极小值为；
（2）对任意，恒成立等价于：对任意，
恒成立，
设，
则对任意，，即，
所以，函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故实数的取值范围是.
12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）将代入的解析式，得，
其定义域为，
，
当时，，故在上单调递增；
当时，令，
得，
所以当时，，当时，于是在上单调递减，在上单调递增.
综上可得，当时，在上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
不等式恒成立可转化为
恒成立，
即恒成立，
因为，所以，
设函数，则为上的减函数，
所以在上恒成立，
可得当时，恒成立.
设，则，令，得，
所以当时，，当时，，于是在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
所以实数的取值范围为.
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减，
当时，方程有两个正根为，，
当或时，，当时，，
于是得在、上单调递减，在上单调递增；
（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则，
显然，对是递增的，从而有，
，
令，
，
令，，
即在上单调递增，，则，于是得在上单调递增，
从而得，即，
所以的取值范围.
14．已知函数，其中为常数．曲线过点，曲线关于点中心对称．
(1)求的值;
(2)记．
（i）讨论在区间上的单调性;
（ii）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，又的对称中心为，
所以，故
（2）由（1）知，
，因为，
所以当，即时，恒成立，则函数在区间上单调递增．
当时，由，得，
当时，，当时，
则函数在区间单调递减，在单调递增．
（ⅱ）由（ⅰ）知，时才可能出现两个极值点，，
且，是方程的两根，则，．
而
，
令，，
当时，，此时，，
所以函数在上单调递减，
则，即不符合题意；
当时，，此时，
，所以函数在上单调递减，
则，即成立，
即成立，综上所述，的取值范围是.
15．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数，
可得，其中，
当时，即时，，所以在上单调递增；
当时，令，即，
解得，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间单调递减，在单调递增；
当时，令，即，
解得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（2）由（1）值，当时，函数存在两个极值点，且，
因为，
所以，
整理得，
所以，即，
因为，可得，
令，则，
所以在为单调递增函数，
又因为，所以当 时，，
即实数的取值范围为．
16．（2024·四川成都·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.
【解析】（1）因为，定义域为且，
则，
当或时，恒成立，当时，由得或，
于是结合函数定义域的分析可得：
当时，函数在定义域上是增函数；
当时，函数定义域为，此时有，
于是在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
当时，函数定义域为，
于是在上为减函数，在上为增函数，
当时，函数定义域为，此时有，
于是在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数；
当时，函数定义域为，
于是在上是增函数，在上是增函数；
（2）由（1）知存在两个极值点时，的取值范围是，
由上可知，，
所以
，
不等式可化为，
令，所以，
令，，
当时，，，，
所以，不合题意；
当时，，，
所以在上是减函数，
所以，适合题意，即；
综上，的取值范围是.
17．（2024·内蒙古包头·二模）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，
①求a的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）当时，，
故，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，
即有两个不等实数根．
由，得，
所以有两个不等实数根可转化为
函数和的图象有两个不同的交点，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，在单调递减，
所以．
又当时，，当时，，
因为与的图象有两个不同的交点，所以．
②由①可知有两个不等实数根，
联立可得，
所以不等式等价于
．
令，则，且等价于．
所以只要不等式在时成立即可．
设函数，则，
设，则，
故在单调递增，得，
所以在单调递减，得．
综上，原不等式成立．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
【解析】（1）∵，当且仅当时等号成立．
当时，恒有，则在上单调递增；
当时，，令，．
∵，∴方程有两个不相等的实数根，
∴，，显然，
∴当和时，；当时，．
∴当和时，，∴在和上单调递增；
当时，，∴在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，
∴，，∴，，
∴．
设，由（1）易知，∴．
要证明，
只要证明．
设，则，
∴当时，单调递增，从而，即，
∴成立，从而成立．
要证明，只要证明．
由（1）知，，，
只要证明．
设，
则，，
则当时，单调递增，从而；
则当时，单调递减，从而，
即成立，从而．
综上，得．
5
+
0
-
极大值