第02讲 三角恒等变换（十一大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：两角和与差公式的证明
1．如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．
(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．
【解析】（1）作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边如图所示：
作图原理如下：首先作平分，然后作关于对称的射线，最终作关于轴的射线即可得解.
由题意在同一个单位圆中，所以.
（2）由题意，
而即，
所以由勾股定理可得，
即，
所以.
（3）由题意
.
2．(1)试证明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推导：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
【解析】(1)不妨令.
如图，
设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.
连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当时，上式仍然成立.
∴，对于任意角有：.
(2)①公式的推导：
.
公式的推导：
正切公式的推导：
②公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
【解析】（1）因为，
根据图象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以.

题型二：两角和与差的三角函数公式
4．（多选题）已知为锐角，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由为锐角，，则，，
则， A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：BD．
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由两角和差的正弦公式得，
化简得，则
故，故D正确.
故选：D
6．已知且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：B
7．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
【答案】/
【解析】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案为：.
8．（2024·青海·模拟预测）若，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
又因为，，
所以上式可化为：.
故答案为：
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
9．（2024·高三·全国·课后作业）若，则 .
【答案】2
【解析】因为，所以，即，即，
因此.
故答案为：2.
10． ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：.
11．已知，，则 .
【答案】
【解析】已知 ①， ②，
则得：，
即，
所以，
整理得，
所以．
故答案为：
12．函数，，则的值为 .
【答案】
【解析】因为，两边同时平方得①；
，两边同时平方得②，
①+②得，
即，故，
故答案为：.
题型四：利用角的拆分求值
13．已知，则 .
【答案】/
【解析】由，得
，
，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知，，，则 ．
【答案】
【解析】由，，，则，
则，，
.
故答案为：.
15．已知，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由
得，
故选：A.
16．已知，，且，均为锐角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、均为锐角，所以，所以．
由，得，，．
所以
.
故选：A.
17．（2024·辽宁·二模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意得到进而得到，，从而有.∵，
∴，
则，
，
∴
，
故选A.
18．若，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
故选：C.
题型五：给角求值
19． ．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
20．求 .
【答案】/0.5
【解析】
故答案为：.
21． ．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：.
题型六：给值求值
22．已知，则的值是 .
【答案】/
【解析】因为
，
所以，则.
故答案为：.
23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 .
【答案】/0.25
【解析】因为，则，
显然，可得，
整理得，解得或，
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
24．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ．
【答案】 / /
【解析】因为，所以
，
又，所以，
因为为锐角，所以为锐角，
又，所以，
又，所以，
所以．
故答案为：；.
25．已知，，其中，，则 .
【答案】
【解析】因为，，得，
所以，
所以，
所以，所以，
因为，，得，
所以，
所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
26．已知，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
所以，
所以
，
故答案为：
题型七：给值求角
27．（2024·高三·广东广州·期中）已知，，，，则 .
【答案】/
【解析】因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：
28．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
29．已知为钝角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于为钝角，且，
所以，
且，
所以，
所以，
故选：D.
30．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
题型八：正切恒等式及求非特殊角
31．的值是__________.
【答案】1
【解析】因为，
所以，故.
故答案为：.
32．____________．
【答案】
【解析】
．
故答案为：.
33．若是的内角，且，则等于______.
【答案】
【解析】由题意知，，即，
∴，
又，∴.
34．（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角的终边经过点，且，则实数___________.
【答案】
【解析】因为角的终边经过点，
所以
因为，，
所以角是第一象限的角，
所以，
不妨取，则，
所以
，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
题型九：三角恒等变换的综合应用
35．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．
【解析】（1）因为
，
所以的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（2）因为，所以，
所以，所以，
当，即时，，
所以的最大值为，此时．
36．已知函数；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在区间上的取值范围；
【解析】（1）由题意，
在中，，，
，
∴或，
∴在三角形中得或.
所以当时，由勾股定理得，
∴,是等腰直角三角形，
∴.
当时, 由正弦定理得,
，即，
∴，
解得：或，
∵,
∴,
∴,
综上所述,为或.
（2）由题意，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴,
由正弦函数的性质可知，
当, 即时,取最小值,
当, 即时, 取最大值，
所以在区间上的取值范围是.
37．已知．若的最小正周期为．
(1)求的表达式和的递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为的最小正周期为，，
所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，
所以，
所以，即，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
当时，函数取最小值，最小值为.
题型十：辅助角公式的高级应用
38．（2024·山东·模拟预测）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】因为
，
若，则，所以或，显然不满足的最大值为，
所以，
则，（其中），
依题意可得，
即，所以，
所以，解得.
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
39．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
即，所以，
所以
.
故答案为：.
40．设当时，函数取得最大值，则 ．
【答案】
【解析】依题意，函数，
其中锐角满足，当时，，
因此，
所以.
故答案为：
题型十一：积化和差、和差化积公式
41． ．
【答案】
【解析】由．
故答案为：．
42．已知，，则 .
【答案】/1.5
【解析】因为，所以.①
因为，所以.②
因为，，所以由得，即.
故答案为：.
43．（2024·高三·江西萍乡·期中）求值： .
【答案】
【解析】，
，
代入原式得，
故答案为：.
44．已知，，则 .
【答案】
【解析】
故答案为：
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，是函数的零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，是函数的零点，
所以，，
所以
.
故选：B
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
两边同除，得到，即.
，.
故选：C.
3．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，即，
所以，
故选：D
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
解得或（舍，
则
.
故选：A.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
，整理得，
即，由，得，
所以.
故选：D
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，
，
而
.
故选：D
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知，则（ ）
A．2B．2或C．D．2或3
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，所以，
化简得，解得2或3.
故选：D.
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题得，
又，所以，所以，则.
故选:A.
9．（多选题）（2024·浙江绍兴·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为分子分母都乘以,所以
可得,故A选项正确，,B选项错误；
,C选项错误；
,D选项正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，
若，则，矛盾，故D错误．
故选：BC.
11．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，则，，故，
所以，正确；
对于B，因为，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，错误；
对于C，由得，，所以，
即，因为，，所以，
则或，即或（不合题意，舍去），错误；
对于D，，
因为，所以，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：AD
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为 ．
【答案】或
【解析】由，得，
即，
当时，，即，由，得；
当时，，所以，
即，由，得，所以，得．
故的值为或．
故答案为：或.
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知，若，使成立，则 ．
【答案】
【解析】由可得，,
设.
依题意，，而，故，
由，可得，，
又由可得，，
因，则，
，故，解得，.
故答案为：.
14．（2024·上海浦东新·三模）已知实数、、、满足，，，则 .
【答案】1
【解析】因为设,
因为设,
所以可得，
因为,所以,
所以.
故答案为：1.
15．（2024·天津滨海新·三模）在中，内角所对的边分别为，，，．
(1)求角的大小：
(2)求的值；
(3)求的值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得
即，
∴，∴，∴．
又因为，可得；
（2）在中，由余弦定理及，，，
有，故；
（3）由，可得，
因为，所以，故为锐角，故，
因此，．
所以，．
16．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知
(1)若，判断的形状；
(2)若，求的最大值.
【解析】（1）根据题意，，
即，
所以，
化简得，
当时，得，即为直角三角形；
（2）当时，根据（1），有，
根据正弦定理，有，
即，
根据和差化积公式，得，
即，化简得，
所以，
设则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取最大值为.
17．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值．
【解析】（1）
因，令，则，
因在上单调递增，在上单调递减，
而，故．
则，的值域为．
（2）如图，因的最小正周期为，
当时，易得，不满足，故舍去，
当时，依题意：，代入得：．
由，，可得，．
由，，代入，解得，．
，，
当时，，；
当时，，，
故的值为．
18．（2024·四川成都·模拟预测）设，.
(1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围；
(2)若且，求的值.
【解析】（1）由，可得，，
所以
记，因，可得，因函数在上单调递减，故，则，
故的取值范围是.
（2），且，
则：，即得：，
又由，整理得：，
故.
1．（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
2．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
3．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，
.
故选：D.
6．（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则

故答案为：.
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
10．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【解析】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171348781" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc171348781 \h 2
\l "_Tc171348782" 题型一：两角和与差公式的证明 PAGEREF _Tc171348782 \h 2
\l "_Tc171348783" 题型二：两角和与差的三角函数公式 PAGEREF _Tc171348783 \h 5
\l "_Tc171348784" 题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 PAGEREF _Tc171348784 \h 7
\l "_Tc171348785" 题型四：利用角的拆分求值 PAGEREF _Tc171348785 \h 9
\l "_Tc171348786" 题型五：给角求值 PAGEREF _Tc171348786 \h 11
\l "_Tc171348787" 题型六：给值求值 PAGEREF _Tc171348787 \h 12
\l "_Tc171348788" 题型七：给值求角 PAGEREF _Tc171348788 \h 15
\l "_Tc171348789" 题型八：正切恒等式及求非特殊角 PAGEREF _Tc171348789 \h 17
\l "_Tc171348790" 题型九：三角恒等变换的综合应用 PAGEREF _Tc171348790 \h 18
\l "_Tc171348791" 题型十：辅助角公式的高级应用 PAGEREF _Tc171348791 \h 21
\l "_Tc171348792" 题型十一：积化和差、和差化积公式 PAGEREF _Tc171348792 \h 23
\l "_Tc171348793" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc171348793 \h 24
\l "_Tc171348794" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc171348794 \h 34