第04讲 解三角形（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份第04讲 解三角形（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第04讲解三角形九大题型讲义原卷版docx、第04讲解三角形九大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc171369617" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc171369617 \h 2
\l "_Tc171369618" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc171369618 \h 3
\l "_Tc171369619" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc171369619 \h 4
\l "_Tc171369620" 知识点1：基本定理公式 PAGEREF _Tc171369620 \h 4
\l "_Tc171369621" 知识点2：相关应用 PAGEREF _Tc171369621 \h 4
\l "_Tc171369622" 知识点3：实际应用 PAGEREF _Tc171369622 \h 5
\l "_Tc171369623" 解题方法总结 PAGEREF _Tc171369623 \h 6
\l "_Tc171369624" 题型一：正弦定理的应用 PAGEREF _Tc171369624 \h 7
\l "_Tc171369625" 题型二：余弦定理的应用 PAGEREF _Tc171369625 \h 8
\l "_Tc171369626" 题型三：判断三角形的形状 PAGEREF _Tc171369626 \h 9
\l "_Tc171369627" 题型四：正、余弦定理的综合运用 PAGEREF _Tc171369627 \h 10
\l "_Tc171369628" 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 PAGEREF _Tc171369628 \h 11
\l "_Tc171369629" 题型六：解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc171369629 \h 13
\l "_Tc171369630" 题型七：倍角关系 PAGEREF _Tc171369630 \h 16
\l "_Tc171369631" 题型八：三角形解的个数 PAGEREF _Tc171369631 \h 17
\l "_Tc171369632" 题型九：三角形中的面积与周长问题 PAGEREF _Tc171369632 \h 18
\l "_Tc171369633" 04 真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc171369633 \h 20
\l "_Tc171369634" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171369634 \h 21
\l "_Tc171369635" 06 易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc171369635 \h 22
\l "_Tc171369636" 易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制 PAGEREF _Tc171369636 \h 22
\l "_Tc171369637" 答题模板：利用边角关系解三角形 PAGEREF _Tc171369637 \h 23
知识点1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
【诊断自测】在△ABC中，若，则（ ）
A．B．C．D．
知识点2：相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，内角成等差数列．
【诊断自测】（2024·四川眉山·三模）在中，分别是角所对的边，若，则（ ）
A．B．C．D．
知识点3：实际应用
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
3、方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
4、坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【诊断自测】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为 ．
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．

题型一：正弦定理的应用
【典例1-1】（2024·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；
（3）两边一对角，求第三边．
【变式1-1】（2024·广东东莞·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为 ．
【变式1-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知中，对应边分别是，若，则 .
【变式1-3】（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A．B．C．D．6
【变式1-4】（2024·高三·江西赣州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-5】在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：余弦定理的应用
【典例2-1】在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，，角B= .
【方法技巧】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【变式2-1】已知分别为的内角的对边，且.角 .
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则 .
【变式2-3】（2024·江西宜春·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则角= .
题型三：判断三角形的形状
【典例3-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
【典例3-2】在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不能确定
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．
【变式3-1】在中，若，则这个三角形是 ．
【变式3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式3-3】在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【变式3-4】在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【变式3-5】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
题型四：正、余弦定理的综合运用
【典例4-1】在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2024·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ．
【方法技巧】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
【变式4-2】（2024·新疆·一模）在中，角的对应边是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】 中，角所对的边分别为，若，且，则角
【变式4-4】（2024·四川攀枝花·二模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ．
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
【典例5-1】已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
【典例5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数．
（1）当时，求的取值范围；
（2）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足，求的面积．
【方法技巧】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以进一步简化计算过程，提高解题效率。
【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【变式5-2】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【变式5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【变式5-4】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
题型六：解三角形的实际应用
【典例6-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．

【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得,已知山高，则山高 m.
【方法技巧】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式6-1】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m.
【变式6-2】（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
【变式6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【变式6-4】如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-5】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【变式6-6】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A．B．C．D．
题型七：倍角关系
【典例7-1】记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足.
（1）求证：；
（2）若，求.
【方法技巧】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。
【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（ ）
A．2B．C．D．1
【变式7-2】在中，角、、的对边分别为、、，若．
(1)求证：；
(2)若，点为边上一点，，，求边长．
【变式7-3】（2024·福建三明·高三统考期末）非等腰的内角、、的对应边分别为、、，且.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
题型八：三角形解的个数
【典例8-1】设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是 .
【方法技巧】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【变式8-1】在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
【变式8-2】在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是 ．
【变式8-3】在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是 ．
【变式8-4】若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是 ．
题型九：三角形中的面积与周长问题
【典例9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，满足，，且，则边 ．
【典例9-2】记的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长
【方法技巧】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式9-1】（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
【变式9-2】（2024·重庆·三模）已知函数的最小正周期为
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，，，求该三角形的周长.
【变式9-3】（2024·西藏·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．
【变式9-4】（2024·安徽滁州·三模）在中，角的对边分别为．
(1)求的大小；
(2)若，且边上的中线长为，求的面积．
【变式9-5】（2024·安徽芜湖·三模）已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
2．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
3．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
4． 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
5．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制
易错分析： 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受阻或解答出现增解现象.
【易错题1】在中，，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
【易错题2】在中，已知，，，则角__________．
答题模板：利用边角关系解三角形
1、模板解决思路
如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．
2、模板解决步骤
第一步：结合正弦定理、余弦定理将关系式中的角化边或者边化角．
第二步：化简上一步所得的式子，结合已知条件和余弦定理与正弦定理来进一步求解．
【经典例题1】中，角，，的对边分别为，，，若．
(1)求；
(2)若且的面积为，求边长．
【经典例题2】中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且
(1)求A；
(2)若， 求BC边上高的最大值.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）正弦定理、余弦定理及其变形
（2）三角形的面积公式并能应用
（3）实际应用
2024年I卷第15题，13分
2024年II卷第15题，13分
2024年甲卷第11题，5分
2023年I卷II卷第17题，10分
2023年甲卷第16题，5分
2023年乙卷第18题，12分
2022年I卷II卷第18题，12分
高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．
复习目标：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常见变形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解