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- 第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考) 课件 0 次下载
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第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(练习)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
展开题型一:平面向量的基本概念
1.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
C.模为1的向量都是相等向量
D.向量的模可以比较大小
【答案】D
【解析】向量是有大小又有方向的矢量,不能比较大小,故A错;
由于零向量的方向不确定,故规定零向量与任意向量平行,故B错;
长度相等、方向相同的向量称为相等向量,模长为1的向量只规定了长度相等,方向不一等相同,故C错;
向量的模长是一个数量,因此可以比较大小,故D正确.
故选:D.
2.关于平面向量,下列说法正确的是( )
A.向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小
C.速度是向量,位移是数量D.零向量是没有方向的
【答案】B
【解析】向量不可以比较大小,但向量的模是数量,可以比较大小,A错误,B正确;
速度和位移都有方向和大小,是向量,C错误;
零向量方向任意,D错误.
故选:B
3.若向量与为非零向量,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.
C.若非零向量,则与的方向相同
D.若,则
【答案】C
【解析】对于A选项,由于向量不能比大小,所以A选项错误;
对于B选项,,B错误;
对于C选项, 因为,所以,
所以,
所以,设向量
又向量与是非零向量,所以,又,
所以,故与的方向相同;C正确;
若,方向不一定相同,则不一定相等,D错误;
故选:C.
题型二:平面向量的线性运算及求参数问题
4.如图所示,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则等于( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点,
则,所以,则,
所以,则.
故选:B.
5.(2024·山东聊城·一模)是内的一点,若,,则( )
A.B.1C.D.
【答案】D
【解析】由,则,
所以,即,又,
故,故.
故选:D
6.已知向量共线,且,则 .
【答案】或
【解析】由向量共线,故向量可能同向、可能反向,
当向量同向时,由,则,
当向量反向时,由,则.
即可能为或.
故答案为:或.
题型三:共线定理及其应用
7.(2024·浙江·模拟预测)已知向量,是平面上两个不共线的单位向量,且,,,则( )
A.、、三点共线B.、、三点共线
C.、、三点共线D.、、三点共线
【答案】C
【解析】对A,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故A错误;
对B,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故B错误;
对C,因为,,则,故、、三点共线,故C正确;
对D,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故D错误.
故选:C
8.已知非零向量和不共线,若与共线,则的值为 .
【答案】/
【解析】非零向量和不共线,则,
由与共线,得,
因此,解得,所以的值为.
故答案为:
9.已知是不共线的向量,且,则( )
A.三点共线B.三点共线C.三点共线D.三点共线
【答案】C
【解析】A:假设存在实数,使得,则三点共线.
,得,无解,所以假设不成立,故A错误;
B:假设存在实数,使得,则三点共线.
,得,无解,所以假设不成立,故B错误;
C:,
假设存在实数,使得,则三点共线.
,得,解得,所以假设成立,故C正确;
D:,
假设存在实数,使得,则三点共线.
,得,无解,所以假设不成立,故D错误.
故选:C
10.已知分别为的边上的点,线段和相交于点,若,,,其中.则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示:
因为,所以
又,所以
,所以
,
三点共线,,化简得;
,当且仅当,,取等;
故答案为:.
11.在中,为上的一点,满足.若为上的一点,满足,则与的关系为 ;的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示,
由得,即,
又,
所以,又为上的一点,
所以,
因为,,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:;.
题型四:平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
12.已知分别为的边上的中线,设,,则=( )
A.+B.+
C.D.+
【答案】B
【解析】分别为的边上的中线,
则,
,
由于,,所以,
故解得
故选:B
13.(2024·广东汕头·三模)已知四边形是平行四边形,,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】在中,由,,
得.
故选:A
14.设为平面内的一个基底,则下面四组向量中不能作为基底的是( )
A.和B.和
C.和D.和
【答案】C
【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成,
C选项中,,即和为共线向量,
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系,所以可以作为基底.
故选:C
15.在中,,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,,
所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如下图所示:
所以.
故选:D
16.(2024·高三·贵州贵阳·开学考试)如图,在中,点为线段的中点,点是线段上靠近的三等分点,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为为线段的中点,则
,
因为点是线段上靠近的三等分点,则,
因此,.
故选:A.
17.如图,在平行四边形中,为的中点,与交于点,则( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,且,所以,
即.
故选:D
18.(2024·云南昆明·一模)在中,点满足,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】如下图所示:
易知;
即可得.
故选:C
题型五:平面向量的直角坐标运算
19.若向量,则对应的位置向量的终点坐标是 .
【答案】
【解析】,所以对应的位置向量的终点坐标是.
故答案为:
20.如图,直线、与轴正方向的夹角分别为和,, ,则的坐标是 .
【答案】
【解析】
如图所示,过点A、B分别作垂线,垂足分别为C、D,
由题得A的坐标为
由于,所以点B的坐标为
所以的坐标为即.
故答案为:
21.(2024·福建泉州·模拟预测)菱形中,,,则 .
【答案】-3
【解析】由题意,
在菱形中,,,
可得,
,
∴,
解得:.
故答案为:-3.
22.已知,,点在线段延长线上,且,则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】设是坐标原点,
由于在线段延长线上,且,
所以,则,
所以,
所以点的坐标是.
故答案为:
23.已知梯形ABCD,其中AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,
∴,
设点D的坐标为(x,y),
则,,
∴,
∴,解得,
∴点D的坐标为(2,4).
故答案为:(2,4).
24.已知点 ,O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为 .
【答案】(3,3)
【解析】法一:由O,P,B三点共线,可设,
则,
又,
由共线,得,
解得 ,所以,
所以点P的坐标为(3,3),
故答案为:
法二:设点P(x,y),则 ,因为,且 与共线,
所以 ,即x=y.
又 , ,且共线,
所以 ,解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3),
故答案为:
题型六:向量共线的坐标表示
25.如果三点共线,则的值为 .
【答案】3
【解析】因为三点共线,所以存在使得.
即,解得.
故答案为:3
26.已知,,且,则实数 .
【答案】
【解析】因为,,
所以,
又,所以,解得.
故答案为:
27.若,,三点共线,则 .
【答案】
【解析】因为,,,
所以,
因为,,三点共线,
所以与共线,所以,得,
故答案为:
28.在平面直角坐标系中,,若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】A,B,C三点能构成三角形,则与不共线,
,若与共线,则有,解得,
若A,B,C三点能构成三角形,即实数m的取值范围为.
故答案为:
1.已知向量,不共线,实数,满足,则( )
A.4B.C.2D.
【答案】A
【解析】由,不共线,实数,满足,
得,解得,,
所以.
故选:A
2.设是非零向量,则是成立的( )
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于非零向量,
由可知向量共线,但不一定是,所以充分性不成立;
由,可知向量共线同向,则,所以必要性成立,
所以设是非零向量,则是成立的必要不充分条件,
故选:C.
3.(2024·广东深圳·模拟预测)已知点,,,,则与向量同方向的单位向量为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意,所以,
从而与向量同方向的单位向量为.
故选:A.
4.已知为不共线向量,,则( )
A.三点共线B.三点共线
C.三点共线D.三点共线
【答案】A
【解析】因为,所以三点共线,
故选:A.
5.(2024·陕西铜川·模拟预测)在中,,若,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】如图,设的中点为,则,所以,,则.
设,由于,则,则.
假如的起点均为,运用加法的平行四边形法作图求和,对角线对应的终点如图所示,所以.
故选:A.
6.(2024·贵州六盘水·三模)已知点O为的重心,,则( )
A.B.C.1D.6
【答案】A
【解析】根据向量加法三角形运算法知(∗);
F为中点,则(∗∗);
点O为的重心,则,
代入(∗∗)得到,,
代入(∗)得到,,
结合,可得,所以.
故选:A.
7.(2024·青海海西·模拟预测)已知向量,,若,则( )
A.B.C.0D.2
【答案】B
【解析】若,有,解得.
故选:B.
8.(2024·河北承德·二模)在中,为中点,连接,设为中点,且,则( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由于,所以,
故选:D
9.(多选题)(2024·高三·山东泰安·期末)如图,在四边形ABCD中,为BC边上一点,且为AE的中点,则( )
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】由,
由向量加法的三角形法则得
,
又F为AE的中点,则,故A正确;
,故B正确;
,故D正确;
,故C错误.
故选:ABD
10.(多选题)(2024·湖南长沙·一模)下列说法不正确的是( )
A.若 ,则与的方向相同或者相反
B.若,为非零向量,且 ,则与共线
C.若 ,则存在唯一的实数 使得
D.若 是两个单位向量,且 ,则
【答案】ACD
【解析】对A,若为零向量时,与的方向不确定,故A错误;
对B,分别表示,方向上的单位向量,根据题意可知B正确;
对C,若为零向量,不为零向量时,不存在实数 使得 ,故C错误;
对D,由,
所以,故D错误.
故选:ACD
11.(多选题)(2024·山西晋中·模拟预测)在中,为边上一点且满足,若为边上一点,且满足,,为正实数,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为1B.的最大值为
C.的最大值为12D.的最小值为4
【答案】BD
【解析】因为,所以,
又,
因为、、三点共线,所以,
又,为正实数,所以,
当且仅当,即,时取等号,故A错误,B正确;
,
当且仅当,即,时取等号,故C错误,D正确.
故选:BD
12.(2024·上海·三模)设平面向量,,若,不能组成平面上的一个基底,则 .
【答案】/
【解析】由,不能组成平面上的一个基底,得,而,,
因此,所以.
故答案为:
13.(2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测)在中,,P是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 .
【答案】
【解析】因为在中,,
所以,
又因为,则,
因为三点共线,则,结合题意知,
所以,
,
当且仅当,即时,等号成立,
故答案为:
14.(2024·上海·模拟预测)如图,矩形中,为中点,与交于点,若将,作为平面向量的一个基,则向量可表示为 (用表示).
【答案】
【解析】由已知,
则,
所以,
所以.
故答案为:.
15.(2024·江西鹰潭·模拟预测)的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,设向量,,若向量与向量共线,则角 .
【答案】
【解析】因为向量,共线,所以,
即,得,
在中,由余弦定理得,,
又,所以.
故答案为:.
16.(2024·上海松江·二模)已知正三角形的边长为2,点满足,且,,,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】取的中点,则,
又,又因为,
故三点共线,即点在中线上运动,
在正三角形中,,
又,,则,
故.
故答案为:
1.(2008 年普通高等学校招生考试数学(文)试题(广东卷))已知平面向量,,且,则等于( )
A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-5,-10)D.(-4,-8)
【答案】D
【解析】因为,,且,
所以m=-4,,
所以=(-4,-8),
故选:D
2.(2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷))已知向量,,若,则实数m等于( )
A.-B.
C.-或D.0
【答案】C
【解析】由知:1×2-m2=0,即或.
故选:C.
3.(2015年山东省春季高考数学真题)如下图,是线段的中点,设向量,,那么能够表示为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由题意,.
故选:B
4.(2020年山东省春季高考数学真题)已知平行四边形,点,分别是,的中点(如图所示),设,,则等于( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】连结,则为的中位线,
,
故选:A
5.(2007年普通高等学校招生考试数学(理)试题(大纲卷Ⅱ))在中,是边上一点.若,则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】,
,,
故选:A.
6.(2008年普通高等学校招生考试数学(文)试题(琼、宁卷))平面向量,共线的充要条件是( )
A.,方向相同B.,两向量中至少有一个为零向量
C.,D.存在不全为零的实数,,
【答案】D
【解析】根据,共线的定义得到向量,共线的充要条件由,共线的定义,
若,均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数,使得;
若,则由两向量共线知,存在,使得,
即,符合题意.
故选:D.
7.(2004年普通高等学校招生考试数学(文)试题(浙江卷))已知向量,,且,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
所以.
故选:A.
8.(2005年普通高等学校招生考试数学试题(广东卷))已知向量,,且,则 .
【答案】
【解析】因为,,且,
所以,解得;
故答案为:
9.(2020年江苏省高考数学试卷)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 .
【答案】或0
【解析】∵三点共线,
∴可设,
∵,
∴,即,
若且,则三点共线,
∴,即,
∵,∴,
∵,,,
∴,
设,,则,.
∴根据余弦定理可得,,
∵,
∴,解得,
∴的长度为.
当时, ,重合,此时的长度为,
当时,,重合,此时,不合题意,舍去.
故答案为:0或.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171510185" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc171510185 \h 2
\l "_Tc171510186" 题型一:平面向量的基本概念 PAGEREF _Tc171510186 \h 2
\l "_Tc171510187" 题型二:平面向量的线性运算及求参数问题 PAGEREF _Tc171510187 \h 3
\l "_Tc171510188" 题型三:共线定理及其应用 PAGEREF _Tc171510188 \h 4
\l "_Tc171510189" 题型四:平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 PAGEREF _Tc171510189 \h 7
\l "_Tc171510190" 题型五:平面向量的直角坐标运算 PAGEREF _Tc171510190 \h 10
\l "_Tc171510191" 题型六:向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc171510191 \h 13
\l "_Tc171510192" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc171510192 \h 14
\l "_Tc171510193" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc171510193 \h 21
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