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    第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(练习)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
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    第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(练习)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

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    这是一份第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(练习)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考),文件包含第01讲平面向量的概念及线性运算六大题型练习原卷版docx、第01讲平面向量的概念及线性运算六大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。

    题型一:平面向量的基本概念
    1.下列说法正确的是( )
    A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
    B.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
    C.模为1的向量都是相等向量
    D.向量的模可以比较大小
    【答案】D
    【解析】向量是有大小又有方向的矢量,不能比较大小,故A错;
    由于零向量的方向不确定,故规定零向量与任意向量平行,故B错;
    长度相等、方向相同的向量称为相等向量,模长为1的向量只规定了长度相等,方向不一等相同,故C错;
    向量的模长是一个数量,因此可以比较大小,故D正确.
    故选:D.
    2.关于平面向量,下列说法正确的是( )
    A.向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小
    C.速度是向量,位移是数量D.零向量是没有方向的
    【答案】B
    【解析】向量不可以比较大小,但向量的模是数量,可以比较大小,A错误,B正确;
    速度和位移都有方向和大小,是向量,C错误;
    零向量方向任意,D错误.
    故选:B
    3.若向量与为非零向量,下列命题中正确的是( )
    A.若,则
    B.
    C.若非零向量,则与的方向相同
    D.若,则
    【答案】C
    【解析】对于A选项,由于向量不能比大小,所以A选项错误;
    对于B选项,,B错误;
    对于C选项, 因为,所以,
    所以,
    所以,设向量
    又向量与是非零向量,所以,又,
    所以,故与的方向相同;C正确;
    若,方向不一定相同,则不一定相等,D错误;
    故选:C.
    题型二:平面向量的线性运算及求参数问题
    4.如图所示,在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】在平行四边形中,与交于点,是线段的中点,的延长线与交于点,
    则,所以,则,
    所以,则.
    故选:B.
    5.(2024·山东聊城·一模)是内的一点,若,,则( )
    A.B.1C.D.
    【答案】D
    【解析】由,则,
    所以,即,又,
    故,故.
    故选:D
    6.已知向量共线,且,则 .
    【答案】或
    【解析】由向量共线,故向量可能同向、可能反向,
    当向量同向时,由,则,
    当向量反向时,由,则.
    即可能为或.
    故答案为:或.
    题型三:共线定理及其应用
    7.(2024·浙江·模拟预测)已知向量,是平面上两个不共线的单位向量,且,,,则( )
    A.、、三点共线B.、、三点共线
    C.、、三点共线D.、、三点共线
    【答案】C
    【解析】对A,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故A错误;
    对B,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故B错误;
    对C,因为,,则,故、、三点共线,故C正确;
    对D,因为,,不存在实数使得,故、、三点不共线,故D错误.
    故选:C
    8.已知非零向量和不共线,若与共线,则的值为 .
    【答案】/
    【解析】非零向量和不共线,则,
    由与共线,得,
    因此,解得,所以的值为.
    故答案为:
    9.已知是不共线的向量,且,则( )
    A.三点共线B.三点共线C.三点共线D.三点共线
    【答案】C
    【解析】A:假设存在实数,使得,则三点共线.
    ,得,无解,所以假设不成立,故A错误;
    B:假设存在实数,使得,则三点共线.
    ,得,无解,所以假设不成立,故B错误;
    C:,
    假设存在实数,使得,则三点共线.
    ,得,解得,所以假设成立,故C正确;
    D:,
    假设存在实数,使得,则三点共线.
    ,得,无解,所以假设不成立,故D错误.
    故选:C
    10.已知分别为的边上的点,线段和相交于点,若,,,其中.则的最小值为 .
    【答案】
    【解析】如图所示:
    因为,所以
    又,所以
    ,所以
    ,
    三点共线,,化简得;
    ,当且仅当,,取等;
    故答案为:.
    11.在中,为上的一点,满足.若为上的一点,满足,则与的关系为 ;的最小值为 .
    【答案】
    【解析】如图所示,
    由得,即,
    又,
    所以,又为上的一点,
    所以,
    因为,,
    所以,
    当且仅当即时等号成立,
    所以的最小值为.
    故答案为:;.
    题型四:平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
    12.已知分别为的边上的中线,设,,则=( )

    A.+B.+
    C.D.+
    【答案】B
    【解析】分别为的边上的中线,
    则,
    ,
    由于,,所以,
    故解得
    故选:B
    13.(2024·广东汕头·三模)已知四边形是平行四边形,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】在中,由,,
    得.
    故选:A
    14.设为平面内的一个基底,则下面四组向量中不能作为基底的是( )
    A.和B.和
    C.和D.和
    【答案】C
    【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成,
    C选项中,,即和为共线向量,
    所以它们不能作为基底.
    其它选项中的两个向量都没有倍数关系,所以可以作为基底.
    故选:C
    15.在中,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,,
    所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点,N为AC的中点,如下图所示:
    所以.
    故选:D
    16.(2024·高三·贵州贵阳·开学考试)如图,在中,点为线段的中点,点是线段上靠近的三等分点,则( )

    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】因为为线段的中点,则

    因为点是线段上靠近的三等分点,则,
    因此,.
    故选:A.
    17.如图,在平行四边形中,为的中点,与交于点,则( )

    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,且,所以,
    即.
    故选:D
    18.(2024·云南昆明·一模)在中,点满足,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】如下图所示:
    易知;
    即可得.
    故选:C
    题型五:平面向量的直角坐标运算
    19.若向量,则对应的位置向量的终点坐标是 .
    【答案】
    【解析】,所以对应的位置向量的终点坐标是.
    故答案为:
    20.如图,直线、与轴正方向的夹角分别为和,, ,则的坐标是 .
    【答案】
    【解析】
    如图所示,过点A、B分别作垂线,垂足分别为C、D,
    由题得A的坐标为
    由于,所以点B的坐标为
    所以的坐标为即.
    故答案为:
    21.(2024·福建泉州·模拟预测)菱形中,,,则 .
    【答案】-3
    【解析】由题意,
    在菱形中,,,
    可得,

    ∴,
    解得:.
    故答案为:-3.
    22.已知,,点在线段延长线上,且,则点P的坐标为 .
    【答案】
    【解析】设是坐标原点,
    由于在线段延长线上,且,
    所以,则,
    所以,
    所以点的坐标是.
    故答案为:
    23.已知梯形ABCD,其中AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
    【答案】(2,4)
    【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,
    ∴,
    设点D的坐标为(x,y),
    则,,
    ∴,
    ∴,解得,
    ∴点D的坐标为(2,4).
    故答案为:(2,4).
    24.已知点 ,O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为 .
    【答案】(3,3)
    【解析】法一:由O,P,B三点共线,可设,
    则,
    又,
    由共线,得,
    解得 ,所以,
    所以点P的坐标为(3,3),
    故答案为:
    法二:设点P(x,y),则 ,因为,且 与共线,
    所以 ,即x=y.
    又 , ,且共线,
    所以 ,解得x=y=3,
    所以点P的坐标为(3,3),
    故答案为:
    题型六:向量共线的坐标表示
    25.如果三点共线,则的值为 .
    【答案】3
    【解析】因为三点共线,所以存在使得.
    即,解得.
    故答案为:3
    26.已知,,且,则实数 .
    【答案】
    【解析】因为,,
    所以,
    又,所以,解得.
    故答案为:
    27.若,,三点共线,则 .
    【答案】
    【解析】因为,,,
    所以,
    因为,,三点共线,
    所以与共线,所以,得,
    故答案为:
    28.在平面直角坐标系中,,若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为 .
    【答案】
    【解析】A,B,C三点能构成三角形,则与不共线,
    ,若与共线,则有,解得,
    若A,B,C三点能构成三角形,即实数m的取值范围为.
    故答案为:
    1.已知向量,不共线,实数,满足,则( )
    A.4B.C.2D.
    【答案】A
    【解析】由,不共线,实数,满足,
    得,解得,,
    所以.
    故选:A
    2.设是非零向量,则是成立的( )
    A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】对于非零向量,
    由可知向量共线,但不一定是,所以充分性不成立;
    由,可知向量共线同向,则,所以必要性成立,
    所以设是非零向量,则是成立的必要不充分条件,
    故选:C.
    3.(2024·广东深圳·模拟预测)已知点,,,,则与向量同方向的单位向量为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】由题意,所以,
    从而与向量同方向的单位向量为.
    故选:A.
    4.已知为不共线向量,,则( )
    A.三点共线B.三点共线
    C.三点共线D.三点共线
    【答案】A
    【解析】因为,所以三点共线,
    故选:A.
    5.(2024·陕西铜川·模拟预测)在中,,若,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】如图,设的中点为,则,所以,,则.
    设,由于,则,则.
    假如的起点均为,运用加法的平行四边形法作图求和,对角线对应的终点如图所示,所以.
    故选:A.
    6.(2024·贵州六盘水·三模)已知点O为的重心,,则( )
    A.B.C.1D.6
    【答案】A
    【解析】根据向量加法三角形运算法知(∗);
    F为中点,则(∗∗);
    点O为的重心,则,
    代入(∗∗)得到,,
    代入(∗)得到,,
    结合,可得,所以.
    故选:A.
    7.(2024·青海海西·模拟预测)已知向量,,若,则( )
    A.B.C.0D.2
    【答案】B
    【解析】若,有,解得.
    故选:B.
    8.(2024·河北承德·二模)在中,为中点,连接,设为中点,且,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】由于,所以,
    故选:D
    9.(多选题)(2024·高三·山东泰安·期末)如图,在四边形ABCD中,为BC边上一点,且为AE的中点,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABD
    【解析】由,
    由向量加法的三角形法则得

    又F为AE的中点,则,故A正确;
    ,故B正确;
    ,故D正确;
    ,故C错误.
    故选:ABD
    10.(多选题)(2024·湖南长沙·一模)下列说法不正确的是( )
    A.若 ,则与的方向相同或者相反
    B.若,为非零向量,且 ,则与共线
    C.若 ,则存在唯一的实数 使得
    D.若 是两个单位向量,且 ,则
    【答案】ACD
    【解析】对A,若为零向量时,与的方向不确定,故A错误;
    对B,分别表示,方向上的单位向量,根据题意可知B正确;
    对C,若为零向量,不为零向量时,不存在实数 使得 ,故C错误;
    对D,由,
    所以,故D错误.
    故选:ACD
    11.(多选题)(2024·山西晋中·模拟预测)在中,为边上一点且满足,若为边上一点,且满足,,为正实数,则下列结论正确的是( )
    A.的最小值为1B.的最大值为
    C.的最大值为12D.的最小值为4
    【答案】BD
    【解析】因为,所以,
    又,
    因为、、三点共线,所以,
    又,为正实数,所以,
    当且仅当,即,时取等号,故A错误,B正确;

    当且仅当,即,时取等号,故C错误,D正确.
    故选:BD
    12.(2024·上海·三模)设平面向量,,若,不能组成平面上的一个基底,则 .
    【答案】/
    【解析】由,不能组成平面上的一个基底,得,而,,
    因此,所以.
    故答案为:
    13.(2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测)在中,,P是线段AD上的动点(与端点不重合),设,则的最小值是 .
    【答案】
    【解析】因为在中,,
    所以,
    又因为,则,
    因为三点共线,则,结合题意知,
    所以,

    当且仅当,即时,等号成立,
    故答案为:
    14.(2024·上海·模拟预测)如图,矩形中,为中点,与交于点,若将,作为平面向量的一个基,则向量可表示为 (用表示).

    【答案】
    【解析】由已知,
    则,
    所以,
    所以.
    故答案为:.
    15.(2024·江西鹰潭·模拟预测)的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,设向量,,若向量与向量共线,则角 .
    【答案】
    【解析】因为向量,共线,所以,
    即,得,
    在中,由余弦定理得,,
    又,所以.
    故答案为:.
    16.(2024·上海松江·二模)已知正三角形的边长为2,点满足,且,,,则的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】取的中点,则,
    又,又因为,
    故三点共线,即点在中线上运动,
    在正三角形中,,
    又,,则,
    故.
    故答案为:
    1.(2008 年普通高等学校招生考试数学(文)试题(广东卷))已知平面向量,,且,则等于( )
    A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-5,-10)D.(-4,-8)
    【答案】D
    【解析】因为,,且,
    所以m=-4,,
    所以=(-4,-8),
    故选:D
    2.(2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷))已知向量,,若,则实数m等于( )
    A.-B.
    C.-或D.0
    【答案】C
    【解析】由知:1×2-m2=0,即或.
    故选:C.
    3.(2015年山东省春季高考数学真题)如下图,是线段的中点,设向量,,那么能够表示为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】由题意,.
    故选:B
    4.(2020年山东省春季高考数学真题)已知平行四边形,点,分别是,的中点(如图所示),设,,则等于( )

    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】连结,则为的中位线,

    故选:A
    5.(2007年普通高等学校招生考试数学(理)试题(大纲卷Ⅱ))在中,是边上一点.若,则的值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】,
    ,,
    故选:A.
    6.(2008年普通高等学校招生考试数学(文)试题(琼、宁卷))平面向量,共线的充要条件是( )
    A.,方向相同B.,两向量中至少有一个为零向量
    C.,D.存在不全为零的实数,,
    【答案】D
    【解析】根据,共线的定义得到向量,共线的充要条件由,共线的定义,
    若,均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数,使得;
    若,则由两向量共线知,存在,使得,
    即,符合题意.
    故选:D.
    7.(2004年普通高等学校招生考试数学(文)试题(浙江卷))已知向量,,且,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,
    所以.
    故选:A.
    8.(2005年普通高等学校招生考试数学试题(广东卷))已知向量,,且,则 .
    【答案】
    【解析】因为,,且,
    所以,解得;
    故答案为:
    9.(2020年江苏省高考数学试卷)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 .

    【答案】或0
    【解析】∵三点共线,
    ∴可设,
    ∵,
    ∴,即,
    若且,则三点共线,
    ∴,即,
    ∵,∴,
    ∵,,,
    ∴,
    设,,则,.
    ∴根据余弦定理可得,,
    ∵,
    ∴,解得,
    ∴的长度为.
    当时, ,重合,此时的长度为,
    当时,,重合,此时,不合题意,舍去.
    故答案为:0或.
    目录
    TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171510185" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc171510185 \h 2
    \l "_Tc171510186" 题型一:平面向量的基本概念 PAGEREF _Tc171510186 \h 2
    \l "_Tc171510187" 题型二:平面向量的线性运算及求参数问题 PAGEREF _Tc171510187 \h 3
    \l "_Tc171510188" 题型三:共线定理及其应用 PAGEREF _Tc171510188 \h 4
    \l "_Tc171510189" 题型四:平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 PAGEREF _Tc171510189 \h 7
    \l "_Tc171510190" 题型五:平面向量的直角坐标运算 PAGEREF _Tc171510190 \h 10
    \l "_Tc171510191" 题型六:向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc171510191 \h 13
    \l "_Tc171510192" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc171510192 \h 14
    \l "_Tc171510193" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc171510193 \h 21
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    第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(讲义)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考): 这是一份第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(讲义)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考),文件包含第01讲平面向量的概念及线性运算六大题型讲义原卷版docx、第01讲平面向量的概念及线性运算六大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共57页, 欢迎下载使用。

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