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拔高点突破03 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份拔高点突破03 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题七大题型原卷版docx、拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc174994661" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174994661 \h 2
\l "_Tc174994662" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174994662 \h 2
\l "_Tc174994663" 题型一：球与截面面积问题 PAGEREF _Tc174994663 \h 2
\l "_Tc174994664" 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 PAGEREF _Tc174994664 \h 3
\l "_Tc174994665" 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 PAGEREF _Tc174994665 \h 4
\l "_Tc174994666" 题型四：立体几何中的交线问题 PAGEREF _Tc174994666 \h 6
\l "_Tc174994667" 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 PAGEREF _Tc174994667 \h 7
\l "_Tc174994668" 题型六：空间角问题 PAGEREF _Tc174994668 \h 9
\l "_Tc174994669" 题型七：立体几何装液体问题 PAGEREF _Tc174994669 \h 10
\l "_Tc174994670" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174994670 \h 12
立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。
题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点和实数，使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为
D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为 ；是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为 ．
【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：（1）球的表面积为 ；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 ．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则总有；
②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；
③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；
④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.
其中所有正确结论的序号为 .
【典例2-2】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论：
①
②的面积与的面积相等
③三棱锥的体积为定值
其中，所有正确结论是 ．
【变式2-1】（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为
C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
D．点到直线距离的最小值为
【变式2-2】（多选题）（2024·高三·广东深圳·开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例3-1】（多选题）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
【典例3-2】（多选题）（2024·广东惠州·三模）在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（ ）
A．直线与平面所成的角的余弦值为
B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C．三角形的面积的最大值为
D．四面体的内切球的表面积为
【变式3-1】（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B．平面平面
C．若，则的最小值为
D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
【变式3-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．当时，线段长度的最小值为
【变式3-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为
【变式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方体中，为中点，过的截面与平面 的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ．
【典例5-2】在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 .
【变式5-1】正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为 ．
【变式5-2】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
【变式5-3】如图，已知正方体的棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内的动点，且点到平面的距离等于线段的长．当点运动时，的最小值是 ．
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A．B．
C．D．
【变式6-1】如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：立体几何装液体问题
【典例7-1】（多选题）（2024·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B．时，液面始终是平行四边形
C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为
【典例7-2】（多选题）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）
A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
【变式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，ΔABC为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过，，三点；
②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；
③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为.
A．0B．1C．2D．3
【变式7-2】（2024·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
2．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
4．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）以半径为1的球的球心为原点建立空间直角坐标系，与球相切的平面分别与轴交于三点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．18D．
7．如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化
B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（ ）
A．侧棱与底面所成角的大小为
B．设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于
C．侧面与底面所成角的大小为
D．设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为
9．（2024·山西吕梁·三模）在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．4.5
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·模拟预测）正四面体，为棱的中点，过点作平面的平行平面，该平面与平面、平面的交线分别为，则所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·一模）已知三棱锥为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面，若是平面与平面的交线，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱长为1的正方体中，E为的中点，过点A．C．E的截面与平面的交线为m，则异面直线m与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
14．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知四面体的顶点，，，均在球的球面上，是边长为2的等边三角形，，棱，，的中点分别为，，，过，，三点的平面截四面体所得截面四边形的对角线互相垂直，则（ ）
A．
B．与所成角不可能为90°
C．直线与平面所成的角为30°
D．球的表面积为
15．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点A、M、的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
16．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（ ）
A．若为等边三角形，则球的体积为
B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为
C．若，且，则
D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或
17．（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体中，P为线段上的动点，则（ ）
A．平面B．平面ACD1
C．直线AP与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积为定值
18．（多选题）（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则（ ）
A．当时，最小值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，平面AB1P⊥平面
D．若，则P的轨迹长度为
19．（多选题）（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹是一条线段
C．若，则四面体的体积为定值
D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
20．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面所成角为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为
21．（多选题）（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则三棱锥外接球的表面积为
B．若，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若，则面积的最小值为
D．若存在实数使得，则的最小值为
22．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
23．（2024·山东青岛·三模）已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .
24．（2024·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为 .
\l "_Tc174994661" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174994661 \h 2
\l "_Tc174994662" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174994662 \h 2
\l "_Tc174994663" 题型一：球与截面面积问题 PAGEREF _Tc174994663 \h 2
\l "_Tc174994664" 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 PAGEREF _Tc174994664 \h 3
\l "_Tc174994665" 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 PAGEREF _Tc174994665 \h 4
\l "_Tc174994666" 题型四：立体几何中的交线问题 PAGEREF _Tc174994666 \h 6
\l "_Tc174994667" 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 PAGEREF _Tc174994667 \h 7
\l "_Tc174994668" 题型六：空间角问题 PAGEREF _Tc174994668 \h 9
\l "_Tc174994669" 题型七：立体几何装液体问题 PAGEREF _Tc174994669 \h 10
\l "_Tc174994670" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174994670 \h 12
立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。
题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点和实数，使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为
D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为 ；是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为 ．
【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：（1）球的表面积为 ；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 ．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则总有；
②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；
③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；
④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.
其中所有正确结论的序号为 .
【典例2-2】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论：
①
②的面积与的面积相等
③三棱锥的体积为定值
其中，所有正确结论是 ．
【变式2-1】（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为
C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
D．点到直线距离的最小值为
【变式2-2】（多选题）（2024·高三·广东深圳·开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例3-1】（多选题）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
【典例3-2】（多选题）（2024·广东惠州·三模）在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（ ）
A．直线与平面所成的角的余弦值为
B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C．三角形的面积的最大值为
D．四面体的内切球的表面积为
【变式3-1】（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B．平面平面
C．若，则的最小值为
D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
【变式3-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．当时，线段长度的最小值为
【变式3-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥的体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为
【变式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方体中，为中点，过的截面与平面 的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ．
【典例5-2】在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 .
【变式5-1】正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为 ．
【变式5-2】如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ．
【变式5-3】如图，已知正方体的棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内的动点，且点到平面的距离等于线段的长．当点运动时，的最小值是 ．
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A．B．
C．D．
【变式6-1】如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：立体几何装液体问题
【典例7-1】（多选题）（2024·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为注入体积为的液体.如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B．时，液面始终是平行四边形
C．当时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为
【典例7-2】（多选题）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）
A．当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
【变式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，ΔABC为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过，，三点；
②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；
③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为.
A．0B．1C．2D．3
【变式7-2】（2024·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
2．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
4．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）以半径为1的球的球心为原点建立空间直角坐标系，与球相切的平面分别与轴交于三点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．18D．
7．如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化
B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（ ）
A．侧棱与底面所成角的大小为
B．设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于
C．侧面与底面所成角的大小为
D．设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为
9．（2024·山西吕梁·三模）在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．4.5
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·模拟预测）正四面体，为棱的中点，过点作平面的平行平面，该平面与平面、平面的交线分别为，则所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·一模）已知三棱锥为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面，若是平面与平面的交线，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱长为1的正方体中，E为的中点，过点A．C．E的截面与平面的交线为m，则异面直线m与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
14．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知四面体的顶点，，，均在球的球面上，是边长为2的等边三角形，，棱，，的中点分别为，，，过，，三点的平面截四面体所得截面四边形的对角线互相垂直，则（ ）
A．
B．与所成角不可能为90°
C．直线与平面所成的角为30°
D．球的表面积为
15．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点A、M、的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
16．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（ ）
A．若为等边三角形，则球的体积为
B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为
C．若，且，则
D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或
17．（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体中，P为线段上的动点，则（ ）
A．平面B．平面ACD1
C．直线AP与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积为定值
18．（多选题）（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则（ ）
A．当时，最小值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，平面AB1P⊥平面
D．若，则P的轨迹长度为
19．（多选题）（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹是一条线段
C．若，则四面体的体积为定值
D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
20．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面所成角为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为
21．（多选题）（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则三棱锥外接球的表面积为
B．若，则异面直线与所成角的余弦值为
C．若，则面积的最小值为
D．若存在实数使得，则的最小值为
22．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为
23．（2024·山东青岛·三模）已知长方体中，，点为矩形 内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若 ，则三棱锥体积的最小值为 .
24．（2024·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为 .
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