第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.1

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题型一：垂直性质的简单判定
1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：
①若，则或 ②若，则，
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．，，，则
题型二：证明线线垂直
4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

证明：；
6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．
证明：；
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.
题型三：证明线面垂直
8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
求证：EF⊥平面PBC；
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
求证：平面；
10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.

(1)求该圆柱体的体积；
(2)证明：平面；
11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.
题型四：证明面面垂直
12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．
14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
求证：平面平面AEF；
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.
证明：平面平面；
题型五：面面垂直的性质定理
16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
求证：平面；
17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

证明：点在平面上的射影为的中点；
18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点在棱上，平面，求证：；
(2)求点到平面的距离．
19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．
证明：平面；
题型六：垂直关系的综合应用
20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.

(1)求证：平面；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.
21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．
23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.
(1)求证：；
(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.
题型七：鳖臑几何体中的垂直
25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．
证明：；
26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.
(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；
(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.
27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

证明：平面；
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面
2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①②B．③④C．①④D．①②④
5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．若平面，则，
B．存在平面，使得，，
C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，
7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形可能是的菱形
B．四边形一定是正方形
C．四边形不可能是直角梯形
D．平面不一定与平面垂直
8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．D．为锐角三角形
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A．的面积为B．
C．平面平面D．三棱锥的体积为
10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（ ）

A．四边形是矩形
B．平面平面
C．平面平面
D．直线所成的角与直线所成的角相等
12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是 ．（填序号）
①；②；③平面；④平面平面．
13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是 （填写序号即可）．
①点D在翻折过程中存在的情况；
②三棱锥可以四个面都是直角三角形；
③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；
④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．
14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为 ．
15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ．
16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．
19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.
(1)证明：；
(2)若的面积为，求三棱锥的体积.
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
，所以，
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
13．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥的体积．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc174690240" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc174690240 \h 2
\l "_Tc174690241" 题型一：垂直性质的简单判定 PAGEREF _Tc174690241 \h 2
\l "_Tc174690242" 题型二：证明线线垂直 PAGEREF _Tc174690242 \h 2
\l "_Tc174690243" 题型三：证明线面垂直 PAGEREF _Tc174690243 \h 4
\l "_Tc174690244" 题型四：证明面面垂直 PAGEREF _Tc174690244 \h 5
\l "_Tc174690245" 题型五：面面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc174690245 \h 7
\l "_Tc174690246" 题型六：垂直关系的综合应用 PAGEREF _Tc174690246 \h 8
\l "_Tc174690247" 题型七：鳖臑几何体中的垂直 PAGEREF _Tc174690247 \h 11
\l "_Tc174690248" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc174690248 \h 13
\l "_Tc174690249" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc174690249 \h 19