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第01讲 直线的方程（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份第01讲 直线的方程（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第01讲直线的方程九大题型讲义原卷版docx、第01讲直线的方程九大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc175595599" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc175595599 \h 2
\l "_Tc175595600" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc175595600 \h 3
\l "_Tc175595601" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc175595601 \h 4
\l "_Tc175595602" 知识点1：直线的倾斜角和斜率 PAGEREF _Tc175595602 \h 4
\l "_Tc175595603" 知识点2：直线的方程 PAGEREF _Tc175595603 \h 5
\l "_Tc175595604" 题型一：倾斜角与斜率的计算 PAGEREF _Tc175595604 \h 6
\l "_Tc175595605" 题型二：三点共线问题 PAGEREF _Tc175595605 \h 8
\l "_Tc175595606" 题型三：过定点的直线与线段相交问题 PAGEREF _Tc175595606 \h 11
\l "_Tc175595607" 题型四：直线的方程 PAGEREF _Tc175595607 \h 16
\l "_Tc175595608" 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc175595608 \h 20
\l "_Tc175595609" 题型六：两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc175595609 \h 27
\l "_Tc175595610" 题型七：直线过定点问题 PAGEREF _Tc175595610 \h 30
\l "_Tc175595611" 题型八：中点公式 PAGEREF _Tc175595611 \h 32
\l "_Tc175595612" 题型九：轨迹方程 PAGEREF _Tc175595612 \h 35
\l "_Tc175595613" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc175595613 \h 39
\l "_Tc175595614" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc175595614 \h 41
\l "_Tc175595615" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc175595615 \h 43
\l "_Tc175595616" 易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系 PAGEREF _Tc175595616 \h 43
\l "_Tc175595617" 答题模板：求斜率的取值范围 PAGEREF _Tc175595617 \h 44
知识点1：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
【诊断自测】过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 .
【答案】
【解析】，，
，则，
解得．
故答案为：．
知识点2：直线的方程
1、直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
【诊断自测】过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，
因为，，所以，
所以过点且与平行的直线为：即，
因为，，所以线段的中点为，
所以过点与线段的中点为的直线的方程为：，
即，
所以这条直线的方程是：或，
故选：.
题型一：倾斜角与斜率的计算
【典例1-1】直线的倾斜角为 .
【答案】
【解析】由题意可将原直线方程变形，
则直线的斜率为，
由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.
故答案为：.
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
【答案】
【解析】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
【方法技巧】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
【变式1-1】（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
【答案】
【解析】由直线方程，得直线斜率，
所以.
故答案为：
【变式1-2】若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】由已知可得，
过点，的直线的斜率，
解得，
故答案为： .
【变式1-3】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故答案为：
【变式1-4】（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为三点、、在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
即，
∴.
故答案为：．
【典例2-2】若三点，， (其中)共线，则 .
【答案】
【解析】由于，，三点共线且、，
显然、的斜率存在，则，
所以，所以，所以.
故答案为：
【方法技巧】
斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
【变式2-1】若三点共线，则的值为 ．
【答案】
【解析】依题意有，即，解得.
【变式2-2】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 .
【答案】
【解析】由题可知，的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
联立方程，解得，即的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：.
【变式2-3】已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在，
设直线AB，BC的斜率分别为，．
由斜率公式可得，．
因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即，
整理得，解得或．
故答案为：.
【变式2-4】已知三点在同一条直线上，则实数的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意可得：，
即：，，
解得或−2；
又当时，是同一个点，不满足题意，故舍去；
综上所述，实数的值为：.
故答案为：.
题型三：过定点的直线与线段相交问题
【典例3-1】已知，若点在线段AB上，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，则，，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是，，
故答案为：，
【典例3-2】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间，
即需使斜率满足，
因，，故.
故答案为：.
【方法技巧】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
【变式3-1】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是
【答案】
【解析】因为，，，
所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：
或，
直线的斜率的取值范围是：．
故答案为：．
【变式3-2】已知曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示：
当时，即，当时，则，
表示曲线上的点与连线的斜率，令，
又，，
由图可得或，
即的取值范围为.
故答案为：
【变式3-3】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ．
【答案】
【解析】如下图，由题意，
直线方程可化为，
由解得，
则直线过定点，
又，
则由直线与连接两点的线段总有公共点知:
直线的斜率满足或，
又当直线的斜率存在时，，
所以或，
则直线的倾斜角为或，
又也符合题意，
则直线的倾斜角范围是.
故答案为：.
【变式3-4】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知：，，设，则线段的斜率：，
为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置，
当落到点时：
由题意知：点为AB的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时P1位于线段的中点位置，
所以得此时的斜率：；
当落到点时：
点与点重合，如下图所示，设，可得：，且，
所以得：，，，
所以得：，解之得：，
所以此时斜率：，
综上所述：可得的斜率范围为：，即.
故答案为：.
【变式3-5】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线，过定点，
则，
直线和以为端点的线段相交，
由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知ΔABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
，，
①，
又是的中点，，
，，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点，又因为，
所以直线方程为，
即所求方程为.
故答案为：
【典例4-2】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】当直线经过原点时，直线方程为：．
当直线不经过原点时，设直线方程为：，
把点代入，解得．
直线方程为．
综上可得直线方程为：或，
故答案是：或．
【方法技巧】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
【变式4-1】已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 .
【答案】
【解析】直线与轴交点的斜率，
所以边上的高的斜率，
所以所在直线方程为.
故答案为：
【变式4-2】已知的顶点，，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为，则顶点的坐标是 .
【答案】或
【解析】设顶点的坐标是，则的重心坐标为，
由题意可知：，即，
可知线段的中点为，斜率，
则线段的中垂线的方程为，即，
联立方程，解得，即的外心坐标为，
由，即，
可得，解得或，
即或，
经检验或均符合题意.
故答案为：或.
【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【变式4-4】如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】联立，解得，即，
因为，所以，即，
设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
则，
即的角平分线所在直线的斜率为，
所以的角平分线所在直线的方程为，即.
故选：A.
【变式4-5】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，边上的高所在直线方程为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即.
又边上的中线所在直线方程为，
由，解得，
所以.
设，则线段的中点，
则
解得
即，
所以所在直线的方程为.
故选：D
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设、，且、．
当AB的中点为P时，则，解得，，
所以、B4，0．
所以直线AB的方程为，即一般式方程为：．
（2）当过点的直线斜率不存在时，、，
此时．
当过点的直线斜率存在时，
设直线AB的方程为．
直线AB与相交，可得，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．
由，解得或．
则．
令，则（或），
可得，
由或，可得或，，
当，即，时，，
即，则，
此时、B4，0符合题意．
综上，．
【典例5-2】已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程.
【解析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
所以直线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由题意可的，解的，
所以直线的方程为，即.
【方法技巧】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
【变式5-1】过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】可化为①，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由①令得；令得，
依题意，
，所以或，
所以或，
设，则或，
则或
解得或，
即或，
即或，
所以这样的直线有条.
故选：D
【变式5-2】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时，
(1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
【解析】（1）解法1
当时，，无论为何值，直线过定点；
当时，，直线过定点；
综上：直线恒过定点；
解法2：将直线化为，
由，得，即直线恒过定点.
（2）将直线化为，得直线恒过定点，
在直线中，由于，令得，
令，故直线与轴正半轴交于点，
同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点，
如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点.
则点的坐标为，点的坐标为.
因为，所以，
在中边上的高为2，在中边上的高为2，
所以
，
所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为.
【变式5-3】（2024·高二单元测试）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
又知，所以时等号成立，
此时l直线的方程为，
即面积最小时直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，
此时直线的方程为，即.
故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.
【变式5-4】（2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线经过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．
【解析】（1）证明：由可得：，
由 可得，所以l经过定点；
即直线l过定点，且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为，则，
可得，
所以，
令，
因为，可得，
即，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
故，所以，当且仅当时取等号，
此时，
可得，所以，
所以直线的方程为．
【变式5-5】（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点．
（1）若的面积为4，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
【解析】设，，.
（1）设，因为过点，所以，
所以，由解得，
所以直线的方程为，即；
（2），
所以，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为；
（3）依题意可知三点共线，在线段上（且与不重合），
所以
，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为．
【变式5-6】已知直线．
(1)当时，求直线与直线的交点坐标；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②已知点，当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）当时，直线为，则，解得，
故所求交点为；
（2）①由题意，设，故直线的方程为，
因为直线过定点，代入方程可得，所以，
所以，当且仅当时等号成立，则，
所以的面积的最小值是4，此时，解得；
所以此时直线的方程为；
②法1：由题意，设，则，
，
令，则，故
且，则，
在上单调递增，当时取最大值，此时取最小值，
当时，有，解得，
所以直线的倾斜角为，则，故直线方程为．
法2：由题设知，
由三点共线，设的中点为，所以，
且，而，
当且仅当，即时取等号，此时直线方程为.
题型六：两直线的夹角问题
【典例6-1】如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 .
【答案】/60°
【解析】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为.
∵直线的斜率分别为二次方程的两个根
且
∴，
∴
∵
∴，
故答案为：.
【典例6-2】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
【答案】/
【解析】设直线与直线的倾斜角分别为，
则，且，
所以，
因为，
所以，即两条直线的夹角为，
故答案为：.
【方法技巧】
若直线与直线的夹角为，则.
【变式6-1】当 时，直线与直线的夹角为60°．
【答案】0或
【解析】由的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，故或.
故答案为：0或
【变式6-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .
【答案】或
【解析】设直线的倾斜角为，由已知得，设直线的倾斜角为，
则，因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以
当，，
所以
综上，或，
故答案为：或
【变式6-3】（2024·高三·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
【答案】
【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 .
【答案】3
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
设底边所在直线为，
由题意，与的夹角等于与的夹角，
于是有，即，
化简得，解得或，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以.
故答案为：3.
【变式6-5】直线与直线的夹角为 .
【答案】
【解析】由直线与直线的方程可知，
两直线的斜率分别为：，∴，∴，∴两直线的夹角为.
故答案为：.
题型七：直线过定点问题
【典例7-1】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
【答案】/
【解析】直线即，
由题意，解得，即直线恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
【典例7-2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 .
【答案】
【解析】由题意，在
令，解得，
不论m，n取什么值，直线必过一定点.
故答案为：
【方法技巧】
合并参数
【变式7-1】直线恒过定点
【答案】
【解析】直线，化为，
令，解得，
所以直线恒过定点，
故答案为：
【变式7-2】直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 .
【答案】4
【解析】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足，
，即，
，
，当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
【变式7-3】已知函数且过定点，直线过定点，则
【答案】5
【解析】，；
由得：，直线恒过定点；.
故答案为：.
题型八：中点公式
【典例8-1】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ．
【答案】
【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0，
设直线方程为，
又线段AB的中点为，则，即
则直线方程为，即.
故答案为：
【典例8-2】过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设中点为，
因为，所以在直线上，
由在直线上，
联立可得，解得，即中点为，
所以直线的斜率，所以的方程为，即．
故答案为：．
【方法技巧】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
【变式8-1】已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【变式8-2】过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ．
【答案】
【解析】设线段的中点为，因为点到与的距离相等，
故，解得，则点．
直线的方程为，即．
故答案为：
【变式8-3】已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点，，，
因为点P为的中点，可得，，
又由，，
两式相加，可得，所以，即，
所以曲线C的方程为.
（2）根据题意，设，，
因为点为的中点，所以，解得，，
即，所以直线的方程为，整理得，
即直线的方程.
【变式8-4】已知直线.
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点.
（2）如图，
设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，
设点A，B的坐标分别是，，
则有，，
又A，B两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，即，
所以直线AB的方程为.
题型九：轨迹方程
【典例9-1】（2024·高三·全国·课后作业）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设，则，连接，
，，即，化简即得.
故答案为：
【典例9-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，若点满足（，且），则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】点满足（，且），
，
，，
由共线向量定理可知，三点共线，点的轨迹为直线，
又，
直线的方程为：，
整理得：，
故点的轨迹方程为，
故答案为：
【方法技巧】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
【变式9-1】已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设，，，则，
故，点在直线，故，
整理得到.
故答案为：.
【变式9-2】已知的顶点A、C的坐标分别为、，顶点D在直线上移动，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】（除点外）
【解析】设点，在中，对角线AC的中点为，于是得点，
而点在直线上，则有，即，
直线的方程为：，即，由解得，
在中，点A，B，C不共线，因此点不在点B的轨迹上，
所以顶点B的轨迹方程为：（除点外）.
故答案为：（除点外）
【变式9-3】已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【解析】满足方程，
即满足方程，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A
【变式9-4】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨迹方程．
【解析】设点、，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因为点在直线上，则，即，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
【变式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
【变式9-6】如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.
（2）设，由，得，
又点满足，
联立得方程组，解得或.
故存在点满足条件，点的坐标为或.
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，
再将该直线向右平移1个单位可得：，即.
故选：A.
2．（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，则到两坐标轴距离相等，即，即.
故选：D
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】设，且，
则，得，解得：，
代入直线，，得.
故选：D
4．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线与直线的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
两条直线的夹角为，
故选：A
5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【解析】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
1．判断，，三点是否共线，并说明理由．
【解析】因为，，，
所以，
因为，
所以A，B，C三点共线.
2．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
【解析】由题意作出菱形图形，如图，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即
3．求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【解析】（1）当截距为0时：直线为。
（2）当截距不为0时，设截距为，则直线为，将代入解得，
所以直线为.
综上所述：直线为或.
4．求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：
（1）与两条坐标轴都相交；
（2）只与x轴相交；
（3）只与y轴相交；
（4）是x轴所在的直线；
（5）是y轴所在的直线．
【解析】（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时，
方程组有唯一解，所以，
同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时，
方程组有唯一解，所以，
所以当，时，直线与两条坐标轴都相交；
（2）已知直线只与x轴相交，
所以直线与y轴平行或重合，
所以当，时，直线只与x轴相交；
（3）已知直线只与y轴相交，
所以直线与x轴平行或重合，
所以当，时，直线只与y轴相交；
（4）当，，时，直线是x轴所在的直线；
（5）当，，时，直线是y轴所在的直线；
5．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．
【解析】画出直线的图象，如图：
取点，
把点代入直线方程，
代入分别为与；
将代入分别为与；
可得如下规律：
在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；
在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；
在直线上的点，坐标代入，值等于；
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系
易错分析： 斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与x轴正方向之间的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于x轴）时倾斜角为90度这一特殊情况。
【易错题1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 .
【答案】
【解析】因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为，
所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足，
因为，所以，
所以，解得，
由已知及倾斜角与斜率的关系得，所以.
故答案为：.
【易错题2】直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设的倾斜角为，
由题意可知：直线的斜率，
即，且，所以.
故选：C.
答题模板：求斜率的取值范围
1、模板解决思路
求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。
2、模板解决步骤
第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点.
第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率.
第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围.
【经典例题1】已知两点，B2,1，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.
故选：A
【经典例题2】已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为直线恒过定点，如图.
又因为，，所以直线的斜率k的范围为.
故选：C.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线的倾斜角与斜率
（2）直线的方程
2008年江苏卷第9题，5分
2006年上海卷第11题，4分
高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，特别要重视直线方程的求法.
复习目标：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
\l "_Tc175595599" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc175595599 \h 2
\l "_Tc175595600" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc175595600 \h 3
\l "_Tc175595601" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc175595601 \h 4
\l "_Tc175595602" 知识点1：直线的倾斜角和斜率 PAGEREF _Tc175595602 \h 4
\l "_Tc175595603" 知识点2：直线的方程 PAGEREF _Tc175595603 \h 5
\l "_Tc175595604" 题型一：倾斜角与斜率的计算 PAGEREF _Tc175595604 \h 6
\l "_Tc175595605" 题型二：三点共线问题 PAGEREF _Tc175595605 \h 8
\l "_Tc175595606" 题型三：过定点的直线与线段相交问题 PAGEREF _Tc175595606 \h 11
\l "_Tc175595607" 题型四：直线的方程 PAGEREF _Tc175595607 \h 16
\l "_Tc175595608" 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc175595608 \h 20
\l "_Tc175595609" 题型六：两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc175595609 \h 27
\l "_Tc175595610" 题型七：直线过定点问题 PAGEREF _Tc175595610 \h 30
\l "_Tc175595611" 题型八：中点公式 PAGEREF _Tc175595611 \h 32
\l "_Tc175595612" 题型九：轨迹方程 PAGEREF _Tc175595612 \h 35
\l "_Tc175595613" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc175595613 \h 39
\l "_Tc175595614" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc175595614 \h 41
\l "_Tc175595615" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc175595615 \h 43
\l "_Tc175595616" 易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系 PAGEREF _Tc175595616 \h 43
\l "_Tc175595617" 答题模板：求斜率的取值范围 PAGEREF _Tc175595617 \h 44
知识点1：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
【诊断自测】过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 .
【答案】
【解析】，，
，则，
解得．
故答案为：．
知识点2：直线的方程
1、直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
【诊断自测】过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，
因为，，所以，
所以过点且与平行的直线为：即，
因为，，所以线段的中点为，
所以过点与线段的中点为的直线的方程为：，
即，
所以这条直线的方程是：或，
故选：.
题型一：倾斜角与斜率的计算
【典例1-1】直线的倾斜角为 .
【答案】
【解析】由题意可将原直线方程变形，
则直线的斜率为，
由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.
故答案为：.
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
【答案】
【解析】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
【方法技巧】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
【变式1-1】（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
【答案】
【解析】由直线方程，得直线斜率，
所以.
故答案为：
【变式1-2】若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】由已知可得，
过点，的直线的斜率，
解得，
故答案为： .
【变式1-3】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故答案为：
【变式1-4】（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为三点、、在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
即，
∴.
故答案为：．
【典例2-2】若三点，， (其中)共线，则 .
【答案】
【解析】由于，，三点共线且、，
显然、的斜率存在，则，
所以，所以，所以.
故答案为：
【方法技巧】
斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
【变式2-1】若三点共线，则的值为 ．
【答案】
【解析】依题意有，即，解得.
【变式2-2】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 .
【答案】
【解析】由题可知，的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
联立方程，解得，即的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：.
【变式2-3】已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在，
设直线AB，BC的斜率分别为，．
由斜率公式可得，．
因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即，
整理得，解得或．
故答案为：.
【变式2-4】已知三点在同一条直线上，则实数的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意可得：，
即：，，
解得或−2；
又当时，是同一个点，不满足题意，故舍去；
综上所述，实数的值为：.
故答案为：.
题型三：过定点的直线与线段相交问题
【典例3-1】已知，若点在线段AB上，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，则，，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是，，
故答案为：，
【典例3-2】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间，
即需使斜率满足，
因，，故.
故答案为：.
【方法技巧】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
【变式3-1】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是
【答案】
【解析】因为，，，
所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：
或，
直线的斜率的取值范围是：．
故答案为：．
【变式3-2】已知曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示：
当时，即，当时，则，
表示曲线上的点与连线的斜率，令，
又，，
由图可得或，
即的取值范围为.
故答案为：
【变式3-3】已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ．
【答案】
【解析】如下图，由题意，
直线方程可化为，
由解得，
则直线过定点，
又，
则由直线与连接两点的线段总有公共点知:
直线的斜率满足或，
又当直线的斜率存在时，，
所以或，
则直线的倾斜角为或，
又也符合题意，
则直线的倾斜角范围是.
故答案为：.
【变式3-4】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知：，，设，则线段的斜率：，
为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置，
当落到点时：
由题意知：点为AB的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时P1位于线段的中点位置，
所以得此时的斜率：；
当落到点时：
点与点重合，如下图所示，设，可得：，且，
所以得：，，，
所以得：，解之得：，
所以此时斜率：，
综上所述：可得的斜率范围为：，即.
故答案为：.
【变式3-5】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线，过定点，
则，
直线和以为端点的线段相交，
由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知ΔABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
，，
①，
又是的中点，，
，，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点，又因为，
所以直线方程为，
即所求方程为.
故答案为：
【典例4-2】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】当直线经过原点时，直线方程为：．
当直线不经过原点时，设直线方程为：，
把点代入，解得．
直线方程为．
综上可得直线方程为：或，
故答案是：或．
【方法技巧】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
【变式4-1】已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 .
【答案】
【解析】直线与轴交点的斜率，
所以边上的高的斜率，
所以所在直线方程为.
故答案为：
【变式4-2】已知的顶点，，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为，则顶点的坐标是 .
【答案】或
【解析】设顶点的坐标是，则的重心坐标为，
由题意可知：，即，
可知线段的中点为，斜率，
则线段的中垂线的方程为，即，
联立方程，解得，即的外心坐标为，
由，即，
可得，解得或，
即或，
经检验或均符合题意.
故答案为：或.
【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【变式4-4】如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】联立，解得，即，
因为，所以，即，
设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
则，
即的角平分线所在直线的斜率为，
所以的角平分线所在直线的方程为，即.
故选：A.
【变式4-5】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，边上的高所在直线方程为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即.
又边上的中线所在直线方程为，
由，解得，
所以.
设，则线段的中点，
则
解得
即，
所以所在直线的方程为.
故选：D
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设、，且、．
当AB的中点为P时，则，解得，，
所以、B4，0．
所以直线AB的方程为，即一般式方程为：．
（2）当过点的直线斜率不存在时，、，
此时．
当过点的直线斜率存在时，
设直线AB的方程为．
直线AB与相交，可得，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．
由，解得或．
则．
令，则（或），
可得，
由或，可得或，，
当，即，时，，
即，则，
此时、B4，0符合题意．
综上，．
【典例5-2】已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程.
【解析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
所以直线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由题意可的，解的，
所以直线的方程为，即.
【方法技巧】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
【变式5-1】过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】可化为①，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由①令得；令得，
依题意，
，所以或，
所以或，
设，则或，
则或
解得或，
即或，
即或，
所以这样的直线有条.
故选：D
【变式5-2】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时，
(1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.
【解析】（1）解法1
当时，，无论为何值，直线过定点；
当时，，直线过定点；
综上：直线恒过定点；
解法2：将直线化为，
由，得，即直线恒过定点.
（2）将直线化为，得直线恒过定点，
在直线中，由于，令得，
令，故直线与轴正半轴交于点，
同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点，
如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点.
则点的坐标为，点的坐标为.
因为，所以，
在中边上的高为2，在中边上的高为2，
所以
，
所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为.
【变式5-3】（2024·高二单元测试）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
又知，所以时等号成立，
此时l直线的方程为，
即面积最小时直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，
此时直线的方程为，即.
故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.
【变式5-4】（2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线经过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．
【解析】（1）证明：由可得：，
由 可得，所以l经过定点；
即直线l过定点，且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为，则，
可得，
所以，
令，
因为，可得，
即，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
故，所以，当且仅当时取等号，
此时，
可得，所以，
所以直线的方程为．
【变式5-5】（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点．点为坐标原点．
（1）若的面积为4，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
【解析】设，，.
（1）设，因为过点，所以，
所以，由解得，
所以直线的方程为，即；
（2），
所以，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为；
（3）依题意可知三点共线，在线段上（且与不重合），
所以
，
当且仅当，时取等号，所以直线的方程为．
【变式5-6】已知直线．
(1)当时，求直线与直线的交点坐标；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②已知点，当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）当时，直线为，则，解得，
故所求交点为；
（2）①由题意，设，故直线的方程为，
因为直线过定点，代入方程可得，所以，
所以，当且仅当时等号成立，则，
所以的面积的最小值是4，此时，解得；
所以此时直线的方程为；
②法1：由题意，设，则，
，
令，则，故
且，则，
在上单调递增，当时取最大值，此时取最小值，
当时，有，解得，
所以直线的倾斜角为，则，故直线方程为．
法2：由题设知，
由三点共线，设的中点为，所以，
且，而，
当且仅当，即时取等号，此时直线方程为.
题型六：两直线的夹角问题
【典例6-1】如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 .
【答案】/60°
【解析】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为.
∵直线的斜率分别为二次方程的两个根
且
∴，
∴
∵
∴，
故答案为：.
【典例6-2】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
【答案】/
【解析】设直线与直线的倾斜角分别为，
则，且，
所以，
因为，
所以，即两条直线的夹角为，
故答案为：.
【方法技巧】
若直线与直线的夹角为，则.
【变式6-1】当 时，直线与直线的夹角为60°．
【答案】0或
【解析】由的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，故或.
故答案为：0或
【变式6-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .
【答案】或
【解析】设直线的倾斜角为，由已知得，设直线的倾斜角为，
则，因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以
当，，
所以
综上，或，
故答案为：或
【变式6-3】（2024·高三·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
【答案】
【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 .
【答案】3
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
设底边所在直线为，
由题意，与的夹角等于与的夹角，
于是有，即，
化简得，解得或，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以.
故答案为：3.
【变式6-5】直线与直线的夹角为 .
【答案】
【解析】由直线与直线的方程可知，
两直线的斜率分别为：，∴，∴，∴两直线的夹角为.
故答案为：.
题型七：直线过定点问题
【典例7-1】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
【答案】/
【解析】直线即，
由题意，解得，即直线恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
【典例7-2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 .
【答案】
【解析】由题意，在
令，解得，
不论m，n取什么值，直线必过一定点.
故答案为：
【方法技巧】
合并参数
【变式7-1】直线恒过定点
【答案】
【解析】直线，化为，
令，解得，
所以直线恒过定点，
故答案为：
【变式7-2】直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 .
【答案】4
【解析】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足，
，即，
，
，当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
【变式7-3】已知函数且过定点，直线过定点，则
【答案】5
【解析】，；
由得：，直线恒过定点；.
故答案为：.
题型八：中点公式
【典例8-1】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ．
【答案】
【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0，
设直线方程为，
又线段AB的中点为，则，即
则直线方程为，即.
故答案为：
【典例8-2】过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设中点为，
因为，所以在直线上，
由在直线上，
联立可得，解得，即中点为，
所以直线的斜率，所以的方程为，即．
故答案为：．
【方法技巧】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
【变式8-1】已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【变式8-2】过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ．
【答案】
【解析】设线段的中点为，因为点到与的距离相等，
故，解得，则点．
直线的方程为，即．
故答案为：
【变式8-3】已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点，，，
因为点P为的中点，可得，，
又由，，
两式相加，可得，所以，即，
所以曲线C的方程为.
（2）根据题意，设，，
因为点为的中点，所以，解得，，
即，所以直线的方程为，整理得，
即直线的方程.
【变式8-4】已知直线.
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点.
（2）如图，
设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，
设点A，B的坐标分别是，，
则有，，
又A，B两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，即，
所以直线AB的方程为.
题型九：轨迹方程
【典例9-1】（2024·高三·全国·课后作业）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设，则，连接，
，，即，化简即得.
故答案为：
【典例9-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，若点满足（，且），则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】点满足（，且），
，
，，
由共线向量定理可知，三点共线，点的轨迹为直线，
又，
直线的方程为：，
整理得：，
故点的轨迹方程为，
故答案为：
【方法技巧】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
【变式9-1】已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设，，，则，
故，点在直线，故，
整理得到.
故答案为：.
【变式9-2】已知的顶点A、C的坐标分别为、，顶点D在直线上移动，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】（除点外）
【解析】设点，在中，对角线AC的中点为，于是得点，
而点在直线上，则有，即，
直线的方程为：，即，由解得，
在中，点A，B，C不共线，因此点不在点B的轨迹上，
所以顶点B的轨迹方程为：（除点外）.
故答案为：（除点外）
【变式9-3】已知满足方程，则M的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【解析】满足方程，
即满足方程，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A
【变式9-4】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨迹方程．
【解析】设点、，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因为点在直线上，则，即，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
【变式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
【变式9-6】如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.
（2）设，由，得，
又点满足，
联立得方程组，解得或.
故存在点满足条件，点的坐标为或.
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，
再将该直线向右平移1个单位可得：，即.
故选：A.
2．（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，则到两坐标轴距离相等，即，即.
故选：D
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】设，且，
则，得，解得：，
代入直线，，得.
故选：D
4．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线与直线的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
两条直线的夹角为，
故选：A
5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【解析】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
1．判断，，三点是否共线，并说明理由．
【解析】因为，，，
所以，
因为，
所以A，B，C三点共线.
2．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
【解析】由题意作出菱形图形，如图，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
直线的方程：，即
3．求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【解析】（1）当截距为0时：直线为。
（2）当截距不为0时，设截距为，则直线为，将代入解得，
所以直线为.
综上所述：直线为或.
4．求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：
（1）与两条坐标轴都相交；
（2）只与x轴相交；
（3）只与y轴相交；
（4）是x轴所在的直线；
（5）是y轴所在的直线．
【解析】（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时，
方程组有唯一解，所以，
同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时，
方程组有唯一解，所以，
所以当，时，直线与两条坐标轴都相交；
（2）已知直线只与x轴相交，
所以直线与y轴平行或重合，
所以当，时，直线只与x轴相交；
（3）已知直线只与y轴相交，
所以直线与x轴平行或重合，
所以当，时，直线只与y轴相交；
（4）当，，时，直线是x轴所在的直线；
（5）当，，时，直线是y轴所在的直线；
5．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．
【解析】画出直线的图象，如图：
取点，
把点代入直线方程，
代入分别为与；
将代入分别为与；
可得如下规律：
在直线的左上方的点，坐标代入，值小于；
在直线的右下方的点，坐标代入，值大于；
在直线上的点，坐标代入，值等于；
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系
易错分析： 斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与x轴正方向之间的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于x轴）时倾斜角为90度这一特殊情况。
【易错题1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 .
【答案】
【解析】因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为，
所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足，
因为，所以，
所以，解得，
由已知及倾斜角与斜率的关系得，所以.
故答案为：.
【易错题2】直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设的倾斜角为，
由题意可知：直线的斜率，
即，且，所以.
故选：C.
答题模板：求斜率的取值范围
1、模板解决思路
求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。
2、模板解决步骤
第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点.
第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率.
第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围.
【经典例题1】已知两点，B2,1，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.
故选：A
【经典例题2】已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为直线恒过定点，如图.
又因为，，所以直线的斜率k的范围为.
故选：C.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线的倾斜角与斜率
（2）直线的方程
2008年江苏卷第9题，5分
2006年上海卷第11题，4分
高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，特别要重视直线方程的求法.
复习目标：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
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