第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176534989" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc176534989 \h 2
\l "_Tc176534990" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc176534990 \h 3
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\l "_Tc176534992" 知识点1：直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176534992 \h 4
\l "_Tc176534993" 知识点2：圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176534993 \h 5
\l "_Tc176534994" 解题方法总结 PAGEREF _Tc176534994 \h 5
\l "_Tc176534995" 题型一：直线与圆的位置关系的判断 PAGEREF _Tc176534995 \h 6
\l "_Tc176534996" 题型二：弦长与面积问题 PAGEREF _Tc176534996 \h 9
\l "_Tc176534997" 题型三：切线问题、切线长问题 PAGEREF _Tc176534997 \h 13
\l "_Tc176534998" 题型四：切点弦问题 PAGEREF _Tc176534998 \h 18
\l "_Tc176534999" 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 PAGEREF _Tc176534999 \h 23
\l "_Tc176535000" 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 PAGEREF _Tc176535000 \h 27
\l "_Tc176535001" 题型七：圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176535001 \h 34
\l "_Tc176535002" 题型八：两圆的公共弦问题 PAGEREF _Tc176535002 \h 38
\l "_Tc176535003" 题型九：两圆的公切线问题 PAGEREF _Tc176535003 \h 40
\l "_Tc176535004" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc176535004 \h 44
\l "_Tc176535005" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc176535005 \h 47
\l "_Tc176535006" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc176535006 \h 49
\l "_Tc176535007" 易错点：求与圆的切线有关的问题 PAGEREF _Tc176535007 \h 49
\l "_Tc176535008" 答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 PAGEREF _Tc176535008 \h 51
知识点1：直线与圆的位置关系
1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【诊断自测】已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】由直线，可得，所以直线过定点，
又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交.
故选：A.
知识点2：圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【诊断自测】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切B．相交C．内切D．没有公共点
【答案】B
【解析】直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于圆的半径1，
即，得.
圆的圆心坐标为，半径为，
其圆心在圆上，所以两圆相交.
故选：B
解题方法总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

题型一：直线与圆的位置关系的判断
【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【解析】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交.
故选：C.
【典例1-2】已知集合，，则的子集个数为（ ）．
A．2B．3C．4D．1
【答案】C
【解析】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合．
圆的圆心坐标为，半径为3，
点到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
所以共有2个元素，所以的子集个数为．
故选：C．
【方法技巧】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1-1】已知圆经过三点，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交且直线过圆心D．相交且直线不过圆心
【答案】D
【解析】设圆的一般方程为，，
则，解得，
所以圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为.
所以直线与圆相交且直线l不过圆心.
故选：D.
【变式1-2】直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意知，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.
故选：A.
【变式1-3】集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】由，当时，上式变为，
当时，上式变为，
当时，上式变为，
当时，上式变为，
其对应图象如图所示正方形，集合表示以坐标原点为圆心，为半径的圆，
由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间，
则，解得.
故选：B.
【变式1-4】已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离，
因为，
即，所以圆与直线的位置关系是相交，
故选：B
题型二：弦长与面积问题
【典例2-1】（2024·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
【答案】
【解析】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，解得，
所以弦长为，因为，
所以，所以弦长，
当即时，弦长有最大值.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ．
【答案】/
【解析】由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
【方法技巧】
弦长问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
【变式2-1】（2024·高三·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 .
【答案】
【解析】化为标准方程得，
则圆心为，半径，
显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为.
故答案为：
【变式2-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
【答案】
【解析】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得：.
故答案为：.
【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为圆：，即，可知圆心，半径，
设圆心到动直线的距离为d，设其最大值为，可知，
则，
可得的面积，
令，可知在上的最大值为，
令，解得或，
结合二次函数对称性可知，即，即圆心到动直线的距离的最大值为2，
此时点在以为圆心，2为半径的圆M上，
又因为即为点与点连线的斜率，
显然当直线与圆M相切于第一象限时，斜率最大，
此时，可知，
即的最大值为为.
故答案为：.
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
【答案】
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以.
故答案为：
【变式2-5】直线与圆：交于，两点，若，则 .
【答案】
【解析】设、，线段的中点坐标为，
则，
且∴，
即.
∵，两点在圆上，
∴，，
又∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【变式2-6】已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以，
设，，
由，消去整理得，则，，
又，，
所以
.
故答案为：；
【变式2-7】（2024·江苏南京·三模）已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 .
【答案】或
【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由，可得，或，
所以，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，
因为，所以圆心到直线的距离，
由，得，
所以直线的方程为，
则直线的方程为或.
故答案为：或.
题型三：切线问题、切线长问题
【典例3-1】圆在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为圆的圆心为，，
易知点在圆上，又，所以切线的斜率为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
【典例3-2】已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ．
【答案】或
【解析】由题，所以时，最大，
由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时，
又点P在直线上，所以设点，则，
解得或，所以点P的坐标为或.
故答案为：或.
【方法技巧】
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
【变式3-1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ．
【答案】 1
【解析】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，
则一定在圆上，可得，
解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，
又直线斜率为，设该直线的斜率为，
显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，
化简得直线方程为，
故答案为：1；
【变式3-2】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
【答案】（答案不唯一，另一条为）
【解析】依题意，点关于直线的对称点，
由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，
相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为，
因此圆心到直线的距离，解得，
所以所求直线方程为或.
故答案为：
【变式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲线与曲线在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为，则 ．
【答案】/
【解析】，解得，，故，
设曲线在点A处的切线为，即，
曲线在点A处的切线为，
由可得其圆心为，半径为，
则有，即，解得，
对，有，则，则，
即，，
则.
故答案为：.
【变式3-4】关于曲线有以下五个结论：
①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆；
②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为；
③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为；
④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或；
⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离.
以上正确结论的序号为 .
【答案】②④
【解析】对于①，当时，曲线，当时，C表示点，当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆，错误.
对于②，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆.
由于过点（记为点D）向曲线C作切线，切点为A，B，且点到点的距离为，
根据勾股定理可得，因此A，B可看作圆与圆的交点.
又圆的方程化成一般式为，
于是直线AB的方程为，
即直线AB的方程为，正确.
对于③，当，时，曲线，
圆的切线方程可设为（直线系方程），由于切线过点，因此，
又，解得或因此过点的切线方程为或，错误.
对于④，当时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆.
于是曲线C的圆心在直线上，又圆心到直线的距离为，到直线的距离为，
因此曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或，正确.
对于⑤，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆.
将直线变形为，可知直线过定点，又点在圆内，
因此直线与曲线C表示的圆相交，错误.
综上所述，正确的有②④.
故答案为：②④
【变式3-5】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】由可得，由可得
，所以点在以为圆心，为半径的圆上，
其方程为．又点在直线上，
故直线与圆有公共点，所以，
解得，所以或．
故答案为：或
题型四：切点弦问题
【典例4-1】已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 .
【答案】1
【解析】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，
则在以为直径的圆上，该圆的方程为，
将和相减得：，
即得到直线的方程为，
又因为点P是直线，故，
则直线的方程为，即，
当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点，
当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，
此时最大值即为Q，M之间的距离，而，
即点到直线AB的距离的最大值为1，
故答案为：1
【典例4-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】圆配方可得，
其圆心为，半径，
过原点作圆的两条切线，切点分别为，
则，
又点在圆上，
则直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
两圆方程相减可得，
即直线的方程为.
故答案为：.
【方法技巧】
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
【变式4-1】（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，
如图所示，
根据圆的切线长公式，可得，
则，
当取最小值时，取最小值，此时，则，
则.
故答案为：.
【变式4-2】（2024·重庆·统考模拟预测）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上，
即有 ，
设点 ，则 ，
故以为直径的圆的方程为： ，
将和相减，
即可得直线的方程，即 ，
则直线恒过定点，
故选：C
【变式4-3】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】由，得到，所以圆心，半径，
如图，，
所以四边形的面积，
所以当PC最小时，也最小，此时，，
故的方程为，即，
联立解得：，，即，
所以直线的方程为，
化简得：.
故答案为：.
【变式4-4】已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】圆心，半径，
设，则切点弦所在直线的方程为，
化简得：，
所以直线过定点，
如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆，
其圆心为，，
因为，所以.
故答案为：
【变式4-5】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，则满足；
易知圆的圆心为O0,0，半径；
圆的圆心为，半径，如下图所示：
易知，所以，即，整理可得；
同理可得，
即是方程的两组解，
可得直线的方程为，联立，即；
令，可得，即时等式与无关，
所以直线恒过定点，可得；
又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；
最大值为；
故答案为：
【变式4-6】（2024·四川·模拟预测）已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，设，设与交于，
由题意知，，
中，，
而，则，
当最小时，取最小值.
而，
当且仅当时，取得最小值，此时，，，
则以为圆心，为半径的圆的方程为：，
与圆的方程相减，可得的直线方程为：，即，
故答案为：
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【典例5-1】（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，
即过定点，
由可得，
即过定点，
又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），
其中圆心为，半径为，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，
此时 到直线的距离不为1，故符合.
故选：B
【典例5-2】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．
由此可得圆的半径，
即，实数的取值范围是．
故选：．
【方法技巧】
临界法
【变式5-1】已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为
A．或B．C．D．或
【答案】D
【解析】 由圆的方程，可得圆的圆心为原点，半径为，若圆上恰有个点到直线的距离等于，因为半径为，则到直线：的距离等于，直线的一般方程为：，，解得，故选D.
【变式5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆C：的圆心，半径R
点C到直线的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则
故选：B
【变式5-3】设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：
因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.
故选：C
【变式5-4】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
设与直线平行且距离为2的直线方程为，
则，解得，直线，，
点到直线的距离，到直线的距离，
由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【解析】由题意知点在曲线上，
则圆心到直线的距离，
即，
又，
所以的最小值2．
故选：B.
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，所以，
故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为．
所以．
故选:A.
【方法技巧】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式6-1】直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ．
【答案】
【解析】直线过定点，直线过定点，
且直线与直线垂直，
所以点在以为直径的圆上，圆心，半径，
其方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为．
故答案为：
【变式6-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）直线，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 .
【答案】
【解析】因为直线，则直线恒过点，
由可得圆的圆心 ，半径，则直线恒过圆心，
因为，，
所以①，②
②①得
因为点到直线的距离为：，则，
的最小值是,
故答案为：
【变式6-3】已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由题可得：，
所以表示，两点到直线距离之和的倍，
根据题意作出图形如下：
如图，设，的中点为，
且，，在直线的投影分别为，，，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，易得，即，
所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，
由图可得：
由于到直线的距离，
所以，
即的最小值为.
故答案为：4
【变式6-4】已知Ax1,y1、满足：，，，则代数式的取值范围是 .
【答案】
【解析】设、，，，，
故、在圆上，
且，其中为坐标原点，
因为，则，
因为，则是腰长为的等腰三角形，且，
（1）当点、在直线的同侧时，
设直线交圆于、两点，如下图所示：
记，，记，则，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，所以，，
则；
（2）当点、在直线的异侧时，
设直线交圆于、两点，如下图所示：
记，，记，则，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，则，
则；
（3）当点、中有一点在直线上时，
则.
综上所述，代数式的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-5】若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，
则，
当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【变式6-6】（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 .
【答案】5
【解析】由题意圆与直线相切，
圆心为，半径为，
函数过定点
如图连接OA、OD作垂足分别为E、F，
，
所以四边形OEMF为矩形，
已知，，
设圆心O到AC、BD的距离分别为、，
则
四边形ABCD的面积为：，
从而：，
当且仅当时即取等号，
故四边形ABCD的面积最大值是5，
故答案为：5.
【变式6-7】（2024·山东青岛·三模）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．2D．1
【答案】A
【解析】由题意设，，，
则，即，且，
解得，或.
由可得 ，即，
则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上,
故.
由圆的对称性，不妨令，即，
如图，连接，交圆于，
由点与圆的位置关系可知，.
故选：A.
题型七：圆与圆的位置关系
【典例7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A
【典例7-2】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
【答案】D
【解析】圆：，所以圆心，半径为.
由点到直线距离公式得：，且，所以.
又圆的圆心，半径为：1.
所以，.
由，所以两圆内含.
故选：D
【方法技巧】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
【变式7-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点，则，，
所以，
所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3．
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为2，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选：A．
【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为圆C上存在点P，使得，
所以，以为直径的圆与圆有交点，
又以为直径的圆，圆心为O0,0，半径为，圆的圆心为，半径为2，
所以，即，即.
故选：A
【变式7-3】（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知直线恒过定点A−2,0，
直线恒过定点，
且，易知直线与互相垂直，即可得，
所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；
可得点轨迹方程为；
又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，
当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；
此时满足，解得.
故选：D
【变式7-4】（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】说明在以为直径的圆上，
而又在圆上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以，即，又，解得.
故选：B
【变式7-5】（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题得圆的圆心坐标为C0,1，半径为，
设，则，，
因为，可得，
化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上，
又因为存在唯一的点也在圆上，所以两圆是外切或内切，
所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，
即或，
解得或，因为是正数，所以.
故选：B.
题型八：两圆的公共弦问题
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【解析】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，
由，则，所以圆的方程为，
圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.
故答案为：
【典例8-2】（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【解析】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，
又知，，则到直线的的距离为：
，所以公共弦长为，
故答案为：.
【方法技巧】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式8-1】圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为 ．
【答案】
【解析】圆与圆的两方程作差得，
即公共弦所在直线方程为，
又圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
则圆被直线所截得的弦长为.
故答案为：.
【变式8-2】已知圆与圆相交于两点，则 .
【答案】2
【解析】由题意可知两圆公共弦所在的直线方程为，如下图所示：
所以点到直线的距离为，
又易知，所以向量在向量方向上的投影为，
所以，同理可得，
所以.
故答案为：
【变式8-3】已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为 .
【答案】
【解析】设两圆方程分别为、，
即、，
两式相减为：，
则有，解得或，
此时圆A的圆心为或，关于原点对称，
可知圆心A到直线的距离均为
由圆的弦长公式，
则，
故答案为：.
题型九：两圆的公切线问题
【典例9-1】（2024·高三·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【解析】，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
【典例9-2】圆和圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为2．
两圆的圆心距为，所以两圆外切，
故两圆的公切线的条数为3，故C正确.
故选：C
【方法技巧】
待定系数法
【变式9-1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，
则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为.
故选：C.
【变式9-2】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得.
故选：C.
【变式9-3】（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切，
所以，即，所以点的轨迹为圆，
对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合；
对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合；
对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合；
对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合；
故选：D.
【变式9-4】（2024·高三·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2．
由题知直线是和的公切线，
当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以，
由，解得，
则有．
故选：A．
【变式9-5】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意知：，
所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，
对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，
即直线不可能是两圆的公切线；
故选：D.
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.
故选：C
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
1．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．
【解析】设，
因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取的最大值88，
当时，取的最小值72.
2．已知点和以点Q为圆心的圆．
（1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程；
（2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
【解析】(1)易知，所以PQ的中点，
又因为 ，圆的半径为，
所以圆的方程为.作图如下：
(2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以,
所以直线PA，PB是圆Q的切线.
(3) 圆的方程可化为，
圆Q的方程可化为，
两圆方程相减，得，
所以直线AB的方程为.
3．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，
所以直线AB的方程为：，
圆心到直线AB的距离为，则，
所以；
（2）当弦被点平分时，AB与垂直，
因为，所以，
直线AB的点斜式方程为
即.
4．已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？
【解析】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为
因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，
所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件，
直线的一般式方程为：，
所以圆心到直线的距离为：，解得，
故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
5．求圆与圆的公共弦的长．
【解析】圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦
易错点：求与圆的切线有关的问题
易错分析： 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在的情况．
【易错题1】写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．
【答案】或（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆，
当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为．
由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程，
故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）
【易错题2】已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ．
【答案】
【解析】由于，所以在圆上，
又，故,
故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令，
故,故，
故答案为：
答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数
1、模板解决思路
对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。
2、模板解决步骤
第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式；
第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值；
第三步：验证解的正确性。
【典型例题1】已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
【典型例题2】已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ）
A．－1B．1C．0D．2
【答案】C
【解析】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆，
圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点，
则，解得，即的取值范围为0,4，
故的最小值为0．
故选：C．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系
2024年甲卷（文）第12题，5分
2023年乙卷（理）第12题，5分
2023年I卷第6题，5分
2023年II卷第15题，5分
2022年I卷第14题，5分
高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．
复习目标：
（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0