第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第07讲抛物线及其性质八大题型练习原卷版docx、第07讲抛物线及其性质八大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
题型一：抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．若点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
题型二：抛物线的轨迹方程
4．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ．
5．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ．
6．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
8．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 .
9．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 .
10．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ．
11．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 .
12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 .
13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（ ）
A．4B．C．5D．
15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．6B．8C．12D．16
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A．B．1C．2D．4
17．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：焦半径问题
19．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
20．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为 .
21．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 .
题型六：抛物线的几何性质
22．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为8
23．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
24．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
题型七：抛物线焦点弦的性质
25．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．
26．（多选题）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为7
D．
27．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．焦点到准线的距离为4
C．若，则的最小值为3
D．以线段为直径的圆与轴相切
28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
29．（多选题）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
题型八：抛物线的实际应用
30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）

A．0.816mB．1.33mC．1.50mD．1.63m
33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
1．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（ ）
A．4B．C．2D．
3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8B．C．D．
5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为
B．的面积为1
C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2
D．存在点，使得为等边三角形
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
9．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．B．
C．D．的面积等于的面积
11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．为定值
D．为钝角三角形
13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 .
15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ．
17．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为 .
18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.
(1)求抛物线和直线的方程；
(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.
19．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.
(1)求；
(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．
20．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．
(1)求直线的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．
21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
5．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为 ．
6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
7．（2024年天津高考数学真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176852651" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176852651 \h 2
\l "_Tc176852652" 题型一：抛物线的定义与标准方程 PAGEREF _Tc176852652 \h 2
\l "_Tc176852653" 题型二：抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc176852653 \h 2
\l "_Tc176852654" 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 PAGEREF _Tc176852654 \h 3
\l "_Tc176852655" 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc176852655 \h 3
\l "_Tc176852656" 题型五：焦半径问题 PAGEREF _Tc176852656 \h 4
\l "_Tc176852657" 题型六：抛物线的几何性质 PAGEREF _Tc176852657 \h 4
\l "_Tc176852658" 题型七：抛物线焦点弦的性质 PAGEREF _Tc176852658 \h 5
\l "_Tc176852659" 题型八：抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc176852659 \h 6
\l "_Tc176852660" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176852660 \h 7
\l "_Tc176852661" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc176852661 \h 11