重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176685630" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176685630 \h 2
\l "_Tc176685631" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176685631 \h 2
\l "_Tc176685632" 题型一：弦长最值问题 PAGEREF _Tc176685632 \h 2
\l "_Tc176685633" 题型二：三角形面积最值问题 PAGEREF _Tc176685633 \h 11
\l "_Tc176685634" 题型三：四边形面积最值问题 PAGEREF _Tc176685634 \h 16
\l "_Tc176685635" 题型四：弦长的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685635 \h 22
\l "_Tc176685636" 题型五：三角形面积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685636 \h 28
\l "_Tc176685637" 题型六：四边形面积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685637 \h 36
\l "_Tc176685638" 题型七：向量数量积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685638 \h 40
\l "_Tc176685639" 题型八：参数的取值范围 PAGEREF _Tc176685639 \h 45
\l "_Tc176685640" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176685640 \h 52
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得，可得，
，或，
所以椭圆的方程为：或；
（2）由以线段为直径的圆与椭圆无公共点，得，
所以椭圆的标准方程为：，
因为，所以点在椭圆外，
设，
当直线的斜率存在时，，
由，可得，解得，（*）
设直线，
联立，整理可得：，
由，
整理可得：，解得或，
且，
代入整理可得，
代入直线的方程，得，
可得，
当直线的斜率不存在时，，则，
由，得，也满足方程，
所以点在直线（在椭圆内部）上，
设点F21,0关于直线的对称点为，
则解得，
所以，
此时点在椭圆内，符合题意，
所以的最小值为.
【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．
【解析】
解法一：由且，得，
说明P，Q关于椭圆调和共轭，则Q在对应的极线上，此极线方程为，即，
故OQ的最小值就是点O到直线的距离．
解法二：构造同构式
设点Q，A，B的坐标分别为，
由题设有，则，
又Q，A，P，B四点共线，故可设．
则.①.②
点Ax1,y1在椭圆上，将①代入椭圆方程，整理得③，
点Bx2,y2在椭圆上，将②代入，整理可得④，
由③④知μ，－μ是方程的两根，
由韦达定理得，点Q的轨迹方程为，
故OQ的最小值就是点O到直线的距离．
解法3：定比点差法
设，由，得，
同理，由，得，
∴，（*）
由，作差整理得，
代入（*）式有，∴点Q的轨迹方程为．
故OQ的最小值就是点O到直线的距离．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【解析】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，
因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，
所以，
又由一条渐近线是，可得，所以，
即双曲线的方程为：，
（2）
设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设Ax1,y1,Bx2,y2，则
则，
同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：
，
由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：
，化简得：，
点（异于顶点），所以，即，
则
，
当且仅当，即时，有最小值.
【变式1-2】已知曲线：.
(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；
(3)若，过点A0,−1的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.
【解析】（1）因为曲线：为双曲线，
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得或（舍去），
此时曲线的离心率；
若焦点在轴，则，又渐近线方程为，
则，即，解得（舍去）或，
此时曲线的离心率，
综上可得曲线的离心率为或.
（2）依题意，解得或，
当时曲线：，符合题意；
当时曲线：，符合题意；
设直线的方程为，直线的方程为，为不失一般性设，
则根据点到直线的距离公式可得，
化简得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的两实数根，，
则有，
又点，所以．
（3）当时曲线：，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得，则，
即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，
所以直线的方程为，
当时，解得，即，
所以，
则，
因为，
所以，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，最小值为．
故MN的最小值为．
【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以，即，，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不为，且斜率不可能不存在（否则重合），所以设直线的方程为：，
与椭圆的方程联立，得，
消去，得，
所以，
设，，则，
由根与系数的关系，得 ，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为，
令，得，
即直线与轴交于一个定点，记为，
则，等号成立当且仅当.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，故，
而在椭圆上，故，
故，故椭圆方程为：，
由可得，
故即即.
（2）当时，直线，故，
由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
到直线的距离最大及的面积最大，
由（1）可得相切时即，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方，
此时到的距离为，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方；
此时到的距离为，
又
故.
【变式2-2】点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.
【解析】（1）
由题意得，，，
联立解得a=2，，，
所以椭圆方程为.
（2）
，其中是下顶点，，
注意到，设，
所以，
由复合函数单调性可知，当时，有最小值1，注意到，所以的最小值为1，
即的最小值为1.
【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，，
由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）显然，设，则，
由消去得，，
则，
又，而与同号，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求；
(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．
【解析】（1）设点Px0,y0，则，则.
由题知，直线的方程为，
直线的方程为，联立直线和的方程有，
设，则代入，得到,
点Q的轨迹方程为．
（2），
同理可得，，，
由对称性，可设，时，则，；
所以，此时；时，由对称性可设，
设l与x轴交于点M，则由初中几何有，，
代入有，此时．综上所述，．
（3）由（2）同理可证明，记四边形，，的面积分别为，，，
则，
由前面知，，，
当且仅当时取等；在中，有，
代入数据有，，
当且仅当时取等，，
当且仅当时取等．
综上所述，四边形面积的最大值为．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为，焦距长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点A0,3，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【解析】（1）由题意得，，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）依题意，, 如图①所示，
所以,且.
因为,
当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号，
所以的周长最大值为.
（3）设，如图②所示，
由得，，
所以，，
所以
，
因为
，
所以，
因为与无关，
所以，即，，
此时，，
所以，
，
由题意可知，四边形为平行四边形，
因为点到直线的距离，
所以
，
所以，
因为，
所以，四边形面积最大，
故直线的方程为或.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【解析】（1）圆，圆，
设圆的半径为，
由已知得，，从而，
故圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点），
又，
从而轨迹的方程为.
（2）
（i）设，，，直线的斜率为，
由直线TP与TQ的斜率之积为，则存在且，
则，只需证且.
联立，消得，
整理得：，
， ，
以代得，
故.
又，
，
故三点共线.
（ii）由（i）知，则，
的方程：，从而，
则，
由，当且仅当取等号，
故，即四边形面积的最大值为.
【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.
【解析】（1）设，又离心率，则.
，则.
法一：则C：，点代入得，
法二：则，点代入得，
所以C方程为：.
（2）因为，而的面积为定值，所以只要的面积最大.
设，则①.
， ，则线段AM长度为定值.
由图知，P在直线的上方，直线：，
P到直线的距离为
只需求的最大值.
法一：设，代入得：，
因为，得.
当时，联立①，解得：，.
法二：因为
.
所以，
当且仅当时，.
所以当四边形的面积最大时，此时点P坐标为 ().
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程;
(3)求 的取值范围.
【解析】（1）
设,
故直线CD的方程为
由,得, 所以
不妨设，
由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得
所以直线方程为：，同理可得方程为：，
所以交点，
由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得
解得，
又在直线上，
所以,
所以，又，
所以
所以椭圆方程.
（2）
由图形对称性可得：，
所以，
设,
将 和椭圆得方程联立得
所以
,
故直线直线
（3）
易得点关于原点对称，
由(2)知,
则直线，直线 ,
将两式相乘得 ，
其中 ，
故点P的轨迹方程为：，即
设 则
当时， ,
当时，, , ,
综上， ,
故.
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）联立方程：，解得或，
即点为或，
将点代入双曲线C：可得，解得，
所以.
（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.
因为点在双曲线上，则，
显然直线过点，
即，，
联立方程，消去y可得，
即，则，解得，
所以在双曲线上一点处的切线方程为.
设，，则，
可得线段OP的垂直平分线为，即，
设直线与双曲线C切于点x1,y1，则直线，
则，即，
且，即，整理可得，
又因为在双曲线C上，则，即，
可得，解得（舍负），
则，
令，则，可得，
令，则关于x的方程有正根，
即关于t的方程在内有根，
设，
若，即，则，不合题意；
若，即，则，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，
则，即.
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
【解析】（1）由题可知，的坐标为0,2，
则.
易知的方程为，不妨设与相交于点，，
则，整理得，
则，
可得
故的方程为.
（2）由题可知，直线的斜率一定存在，
设：，Ax1,y1，Bx2,y2，则，.
联立方程组整理得，
则，
,.
由，在轴的上方，所以，，
可得.
，则.
由，得，
则，
故的取值范围为.
题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
解法一：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为0,2.
解法二：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以，
设，则，
，
令且，
则代入可得，
消去得：，
因为，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点.
(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围
【解析】（1），点在上，
故，
又，
，，
的方程为.
（2）斜率存在，设：，与联立消去得：
，设Px1,y1，Qx2,y2，
则，
，，
又，
设，则，，则，则，
，
，
，
即，
化简得，
，
（舍去），
因为当时，，故点与重合，不合题意，
：直线过定点0,4；
（3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径，
在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径，
，
，故，
由于，分别为和的外接圆面积，
故，
则，
设：，与联立消去得：，
设Px1,y1，Qx2,y2，则，，
，，
，，
因为，所以，，，
.
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
【解析】（1）由圆，可化为标准方程，
所以圆心，半径为，
设与轴交于点，如图所示，
因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且，
所以在直角中，，所以，则，
又由抛物线C过点，即，则，
所以抛物线C方程为.
（2）联立方程组，解得点，，则，
设动点，
则直线的斜率为，直线，
直线的斜率为，直线，
将抛物线C代入直线AN得，
解得点，则直线BN的斜率为，
所以直线，
①联立方程组，整理得，
因为点P在直线l的左边，则，即，
所以，则，
又因为，且，由，可得且，
所以点P的轨迹方程为且.
②设Px,y，则P到直线l的距离，
因为，则，
则，
又因为且，所以，所以
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.
【解析】（1）因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0，
不妨设l的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立l与C的方程，得，
∴，，
则，
∴由题可知当时，，
∴，
∴C的方程为.
（2）由（1）知，
将R的纵坐标2m代入，得，
易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P，
∴，
则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得，
∴，
∴Q，R的纵坐标相等，
∴直线轴，
∴，
∴，
∵点Q异于原点，
∴，
∵，
∴，
∴，即.
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设Ax1,y1、Bx2,y2，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、Bx2,y2为双曲线上的点.
(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
(2)若，求直线的方程；
(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题，右焦点，渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为.
（2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为，
由，得，
由，得，
其中，恒成立，
，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为.
（3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题，设，直线程为，直线方程，
由第（2）问，易得，
因为，得，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，.
令，则，
得在上是严格增函数，
故（等号当且仅当时成立），
所以，四边形面积的取值范围为.
题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【解析】（1）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组得．
由于抛物线、椭圆都关于轴对称，
∴，，∴．
∴又，
因此，，解得，并推得．
故椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
①若垂直于轴，则，
∴
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由得
∵，∴方程有两个不等的实数根．
设．
∴
，则
综上，
所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点，由于，
故，整理得，
即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，
又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，
即存在最大值，最大值为12.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆C的方程为且，
因为椭圆C过点与点，所以，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，
由，得，
即，则.
直线的方程分别为.
令，则.
则，
，
所以
.
因为，所以.
即的取值范围为.
所以存在最小值，且最小值为.
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
【解析】（1）动点到定点与定直线的距离之比为常数
∴；化简整理得：
（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．
由于点在椭圆上，所以．
由已知，则，，
∴
由于，故当时，取得最小值为．
此时，
故圆T的方程为．
【变式7-3】已知椭圆经过点，为右焦点，为右顶点，且满足（为椭圆的离心率，为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值．
【解析】（1）由题意知，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，其中，设点、，
，即，
，
由韦达定理可得，，
，，，
，，
令，
若，则关于的一元二次方程有解，
则，整理可得，
设的最大值和最小值分别为、，
则、为一元二次方程的两不等实根，由韦达定理得；
若，则，满足不等式，但不是的最值.
综上所述，．
题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，，则在中，，
由抛物线的定义得，，
故，则，即，
设，则，解得，
过点作⊥于点，
因为，所以，
因为，所以，
故，，
所以，解得；
（2）由（1）可知抛物线方程为：，设Mx1,y1，Nx2,y2，
设，联立，整理得：，
因为，所以，
由韦达定理得，，
因为，则，故，
故，
将代入（*）式得，
因为存在，使得，
所以有对有解，
而，所以，
解得，或，
因为，所以.
【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
【解析】（1）因为点P在椭圆C上，所以，解得；
所以椭圆C的方程为，故，
设动点，则，所以，
故，，
所以．
（2）不妨设，的外接圆半径为，
则由正弦定理得，
所以.
如图，过作直线的垂线，垂足为，
过作于点，由（1）的结论可得，
所以，即，
所以，又，得，
则，即，
所以，当且仅当时等号，
所以的最大值为.
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【解析】（1）由题知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
①当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
由，消得到，
所以，
所以.
②由（1）知，易知，
设直线，由，消得到，
所以，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又，所以的最大值为.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【解析】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距，
当点为短轴顶点时，面积最大，此时，
则，
所以椭圆方程为.
（2）当轴时，显然，
当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得，，
设，线段的中点，
则，
线段的垂直平分线方程为，
令，得，显然，当且仅当时取等号，
当时，；当时，，于是或，
所以的取值范围是.
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为
抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆的一个顶点为，即．
由，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）得，则，设Ax1,y1，Bx2,y2，，
结合题意可设直线l的方程为．
由，消y得，
直线l过椭圆焦点，必有，∴，
则
，，
∵，∴，
∴，
两边同除以，有，
∴，
∴
∴m的取值范围为．
1．已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1）椭圆过点，得①，
，，即②，
由①②联立解得，则椭圆方程为
（2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，
则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，
则，
当且仅当，即，即时等号成立，
故面积的最大值为.
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.
(1)求和的方程；
(2)记，求的最小值.
【解析】（1）设直线的方程为，设Mx1,y1，Nx2,y2，联立,
整理得，所以，
所以当时，MN有最小值，所以，解得，
又因为离心率为，所以，则，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）
由（1）可得，，所以，
设直线的方程为，
联立，整理得，解得，
同理可设直线的方程为，可解得，
.
所以当时，有最小值.
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段上存在点M使得，求的最小值.
【解析】（1）由题意即，解得，所以，
所以椭圆E的方程为；
（2）因为，所以点在椭圆E外，设，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得，
由得，
解得或，所以，，
由得，所以，
则，消去k得；
当直线斜率不存在时，也满足，
所以点M在直线上且在椭圆E的内部，设关于直线对称点，
则，解得，
所以，此时直线方程为，
由得，点M在椭圆内部，使得的最小值为.
4．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
【解析】（1）由题意得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）①由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上.
②由上以及，得：
，，
故，， 即，，
所以，
因为，故，所以最大值为，即的最大值为.
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.

(1)求的方程：
(2)若过作，垂足为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最大值.
【解析】（1）由椭圆定义可知，BF1+BF2=2a，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：
（2）(i)设点Ax1,y1，Bx2,y2，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，
由，，三点共线，得，
所以，
直线的方程为
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点的轨迹为以F21,0，为直径的圆（除，外），
圆心为，半径为，故.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
【解析】（1）
因为的长轴长为8，短轴长为4，所以，，
联立方程，得，
又与有唯一的公共点，所以，
即，的横坐标为，
把代入中，，所以，
过且与垂直的直线为，则，
所以，，又，所以，
即，所以的轨迹方程为．
（2）
因为的长轴长为4，短轴长为2，所以，
，左焦点，
当斜率为0时，分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点，
当斜率不为0时，设，
由得，
设，则，
，
椭圆在轴上方对应方程为，
则点处切线斜率为，
点处切线方程为，即，
同理可得点处的切线方程为，
由得，
代入①得，
所以，所以，
而，
所以，即，又，
所以．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
则当时，．
所以面积的最小值为.
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值．
【解析】（1）设，由题意，
化简得线的轨迹方程为．
（2）解法1：
，，设，则，
所以直线AM与BM的斜率之积为．
因为直线BM与BN的斜率之积为，
所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为，设，
由得，．
由对称性知MN经过x轴上的定点，因为，
由，得，所以MN经过定点．
所以
设，因为，所以．设，，
因为当时，，
当时，，所以．
因此，
当且仅当取等号，取等号时，，．
于是当，时，取最大值．
解法2：
，，设，则，
所以直线AM与BM的斜率之积为．
因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为，设，
由得，．
由，
知，
故点N在上．
由对称性知MN经过x轴上的定点，
因为，
由，得，所以MN经过定点．
可知MN不垂直于y轴，设，
联立得，
因为，所以，
因此
由，得，
当，时等号成立，
于是取最大值．
解法3：
可知BM不垂直于x轴，设BM的斜率为k，则，
联立得．
由得，从而．
所以的斜率为，
故．
因为直线BM与BN的斜率之积为，
所以．
由得，从而．
所以，
当时，，所以MN经过定点．
因此．
因为，当且仅当时取等号，
所以．
于是当，时，取最大值．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点.
(1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点.
(2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值.
【解析】（1），即，，
故可设，，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，得，且，
所以，则，
设，易知：，所以，，
有，
即，
所以，得，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点.
（2）时，，令，
联立，得，
，，
设中点为，，
，又在轴上，
所以，得，，
由于斜率为正的渐近线为：，，故在的异支上，
，，
所以，，
故，当且仅当，即时等号成立，
所以.
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【解析】（1）M为的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，
故点M的轨迹方程为
（2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则 ，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
10．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
【解析】（1）由题意可知，，即，故的方程为：.
因为在第一象限，不妨设，则可变形为，
则，代入得：，所以切线方程为，
令得,所以点坐标为1,0.
（2）
显然直线的斜率存在且不为，
设，则，
联立方程，整理得：，
，
由三点共线得：，即，
整理得：，
所以，整理得，
满足，所以直线过定点，则且线段垂直于x轴，
令分别表示到的距离，
结合图，显然，仅当为右顶点时两式中等号成立，
所以
，当且仅当时等号成立.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
【解析】（1）设双曲线的渐近线为，
因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，
又，故，
又解得，故双曲线的方程为.
（2）
如图，当直线斜率不存在时，，满足题意；
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时，，
此时直线方程为：，即
综上：直线的方程为或.
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为，即，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，整理得：，
则
由弦长公式：
令，则,
则,，则
令,与同正负.，此时，则，即单调递增，
则，且，
则，使得
则当，即，则单调递减.
当，即，则单调递增.
则在出取得最小值,且，
故
即，原命题得证.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
【解析】（1）因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以，得证.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，.
（i）求证：为定值；
（ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围.
【解析】（1）设双曲线C：，由题意得，，
则，，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）如图：
设Mx1,y1，Nx2,y2，，
由与，得，
即，，
将代入的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②.
由①②知，，是关于的一元二次方程的两个不等实根.
显然，由韦达定理知，所以为定值.
（ii）由，即，
整理得：，
又，不妨设，则，
整理得，
又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由双勾函数性质可知，在上单调递增，
所以的取值范围是，
所以的取值范围为.
14．已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，
所以，即，又，从而，
所以双曲线的方程为；
（2）显然直线不与轴平行，可设其方程为，
由，得，
设，，则由韦达定理可得，，
因为，所以，
即，
整理得，即，
而显然直线不经过点，所以，，
故直线经过定点，得证.
（3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，
所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，
此时，所以点到直线距离的最大值为.
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左､右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左､右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
【解析】（1）设的半焦距为，
由题意知离心率，可得，
联立方程组，整理得，
其中且，
则，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）因为点到的距离为1，可得，则.
联立方程组，整理得，
其中，
且，
因为直线与的左､右两支分别交于点，可得，所以，
又因为，故，
且，
因为，故，
由（1）可知，则，
故，
又由，故，
即的最小值为.
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
【解析】（1）（i），所以直线.
直线与联立可得，解得或，所以.
所以，所以；
（ii）法1：①直线斜率存在时，可设直线的方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2
由得
所以.
当时，由（i）可得；
当时，设的斜率分别为.
.
所以，
.
所以.
因为在第一象限，所以，所以，所以.
②直线斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得.
综上可得，为定值，得证.
法2：①时，由（i）可得；
②时，设的斜率分别为.
设，由在直线上可得.
与联立可得，
即，
所以就是方程的两根.
所以，
，
因为在第一象限，所以，所以，所以.
综上可得，为定值，得证.
（2）由（1）可得时，.
①不存在，则A0,−1，由①（i）可得，所以，
所以.
②不存在，则，则，
此时，由图可得.
③法1：若和均存在，设，则
与双曲线联立可得.
所以.
所以，
所以.
设与的外接圆半径分别为，
从而.等号当且仅当时取到.
所以与的外接圆半径之比的最大值为2.
法2：若和均存在，设，则.
由三点共线可得.
所以，所以.
所以
.
所以，所以.
设与的外接圆半径分别为，
从而.等号当且仅当时取到.
所以与的外接圆半径之比的最大值为2.
法3：若和均存在，设，则，
则.
记直线的倾斜角为，则，所以
所以.
设与的外接圆半径分别为，
从而.等号当且仅当时取到.
所以与的外接圆半径之比的最大值为2.
17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）
(1)当时，判断四边形的形状；
(2)设为坐标原点，证明：为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．
【解析】（1）当时，四边形为正方形，理由如下：
此时，
又，
，
由，
故四个交点坐标分别为，
且⊥，
为正方形；
（2），
将代入，，
化简得
，
设，
由“公式”知，
，
故
．
（3）记，，，．
当在内部时，设，
．
当且仅当四边形为正方形取等．
当在外部时，设，
.
综上，四边形面积最大值为8．