2022年江苏省常州市武进高中高三数学期中试卷理会员独享

这是一份2022年江苏省常州市武进高中高三数学期中试卷理会员独享，共7页。试卷主要包含了本试卷共2页，包括填空题两部分等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的
指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置
作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1、若集合，集合，则集合___▲___．
2、的值为___▲___．
3、存在实数，使得成立，则的取值范围是___▲___．
4、已知向量，，若与垂直，则___▲___．
5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，
不等式的解集为，则___▲___．
6、已知函数和的图象的对称中心
完全相同，若，则的取值范围是___▲___ ．
7、若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，
则△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ．
8、已知，则的值为___▲___．
9、△中， a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，
，△的面积为，那么___▲___．
10、如果函数在区间上是“凸函数”，则对于区间内任意的，
有成立. 已知函数在
区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是___▲___．
11、已知，且关于的函数在上有极值，
则与的夹角范围为___▲___．
12、设函数，且，表示不超过实数的最大整数，
则函数的值域是___▲___ ．
13、如图放置的边长为的正三角形沿
的纵坐标与横坐标的函数关系式是，记的最小
正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴
所围区域的面积记为，则___▲___．
14、如果关于的方程在区间上有且仅有一个解，
那么实数的取值范围为___▲___．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本题满分14分）
已知向量，，定义函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若△的三边长成等比数列，且，求边所对角
以及的大小．
16、（本题满分14分）
在△中，， ．
（1）求；
（2）设，当△的面积为时，求的值．
17、（本题满分14分）
如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，
使点在上，点在上，设矩形的面积为,
P
O
A
B
Q
M
N
按下列要求写出函数的关系式：
设，将表示成的函数关系式；
设，将表示成的函数关系式；
请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
18、（本题满分16分）
函数，()，
集合，
（1）求集合；
（2）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围；
（3）如果，当“对任意恒成立”与“在内必有解”
同时成立时，求 的最大值．
19、（本题满分16分）
函数．
（1）试求的单调区间；
（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；
（3）求证：不等式对于恒成立．
20、（本题满分16分）
对任意,给定区间,设函数表示实数与的给定区间内
整数之差的绝对值．[来源
（1）当时，求出的解析式；当时，
写出用绝对值符号表示的的解析式；
（2）求的值，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当时，求方程的实根．（要求说明理由）
2010—2011学年度第一学期 中学高三年级数学试题参考答案(2010.11.理科)
一、填空题：
二、解答题
15、解：(1)f(x)＝p·q＝(sin x，eq \r(3)cs x)·(cs x，cs x)＝sin xcs x＋eq \r(3)cs2x………………2分
＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)
＝sin(2x＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2).………………………………………………………………………………4分
∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.………………………………………………………………6分
(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分
又c2＋ac－a2＝bc.
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).…………………………………………………10分
又∵0f(A)＝sin(2×eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)＝sin π＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).……………………………………………………14分
16、解: （1）由余弦定理知：
……………………………3分
则，……………7分
（2）

,即共线. ………………………9分
……………12分
,,
…………………………………14分
17、解：（1）①因为 ， ， 所以，… 2分
（2）选择，…………… 12分
……………………………………… 13分
所以.……………………………………………………………… 14分
18、解：（1）令，则…………………………1分
即即，
，…3分，所以，所以，
即 ………………………………5分
（3）对任意，恒成立，
由（2）可知--------①，……………………………12分
由有解，有解，即，
，，-------------② …………………15分
①+②可得
所以的最大值为，此时． ………………………16分
19解：（1）．…………………………………………… 2分
当时，，在上单调递增；……………………………………3分
当时，时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增．…………………………………5分
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．…… 6分
在上有唯一解时必有．………………………………………12分
综上：在时，在上有唯一解的充要条件是．
（3）证明：∵,∴.
令，∴，……14分
由（1）知，当时，，∴，∴．
∴，∴F（x）在上单调递增，∴，
∴.∴．…………………… 16分
20解：（1）当时，
由定义知：与0距离最近， ，
当时，
由定义知：最近的一个整数，故
。…………………………3分
（2）…………………………4分
判断是偶函数…………………………5分
对任何R，函数都存在，且存在Z，满足
Z）
即Z）． …………………………7分
由（Ⅰ）的结论，…………………………9分
即是偶函数．
（3）解：
①当没有大于1的实根；………10分
②容易验证为方程的实根；……………………11分
③当
设
则
综上可知，若有且仅有一个实根，实根为1．…16分