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数学第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形课时练习
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这是一份数学第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形课时练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．
1. （2020•洛阳孟津期末）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ B ）
A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′D．不能确定
2. 在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含60°的任意三角形
D．是顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出tanA﹣3＝0，2csB﹣＝0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
解：∵（tanA﹣3）2+|2csB﹣|＝0，∴tanA﹣3＝0，2csB﹣＝0，
∴tanA＝，csB＝，∠A＝60°，∠B＝30°，∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
3. 如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD＝10cm，则HE的值为（ ）
A．20cmB．16cmC．10cmD．8cm有
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2FD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得HE＝AC．
解：∵D、F分别为BC、AB的中点，∴AC＝2FD＝2×10＝20cm，
∵AH⊥BC，∴HE＝AC＝×20＝10cm．故选：C．
4. （2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
5. 数学课外兴趣小组同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
答案: C
6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5
C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5
【答案】D
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB＝90°与若∠EDB＝90°时，去分析求解即可求得答案．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4（cm），
∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），
若∠BED＝90°，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，
当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．
若∠BDE＝90°时，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，
∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，
当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选：D．
7. （2020·贵州遵义市·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
8. （2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，
故选C.
9. （2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6mB．2.8mC．3.4mD．4.5m
【答案】B
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．
10. （2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．
11. （2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
解：在中，∵，∴．
在中，．故答案为：10．
12. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝AC＝AF，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，
∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，
∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，
∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，
∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，
故答案为：48°．
13. （2020秋•镇平县期末）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为 ．
【答案】8米．
【分析】延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，
则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，
设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，
∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．
14. （2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．
【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．
15. （2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分
16. （2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
解：（1）证明：在中，
∵，∴∴
又∵∴∴
（2）∵，∴ ∵∴
在中，，.
17. 计算或求值:(1)（2020·洛阳孟津期末）
解：原式＝
=．
(2)（2021·洛阳汝阳期末）已知：x＝1﹣2cs45°，y＝1+2sin45°，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
解：∵x＝1﹣2cs45°＝1﹣2×＝1﹣，y＝1+2sin45°＝1+2×＝1+，
∴xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，
则原式＝x2+y2﹣2xy+xy﹣2（x﹣y）
＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）
＝（﹣2）2+（﹣1）﹣2×（﹣2）
＝8﹣1+4
＝7+4．
18. （2020·南阳内乡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，∵等腰三角形ABC，∠C＝90°
∴∠A＝45°，∴AH＝DH，设AH＝x，∴DH＝x，
∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，
∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，
∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；
（2）由于AD＝2
∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，
19. （2020·河南模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．
解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴飞机航行的速度为：10×60＝600（km/h）；
（2）能.理由如下：
如图，作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．
在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，
∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°．
又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴CE＝AC•sin∠CAE＝，
AE＝AC•cs∠CAE＝．
则AF＝2AE＝15（km），
∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km.
∵AM＜AF＜AN，
∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．
20. （2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．
由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，．
．与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得解，得．经检验是原方程的解 当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．解，得经检验是原方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】方法1：解：作于D．依题意得，
，，，．
在中，，，，， ，
设，则，在中，，
，，，（或者由勾股定理得）
在中，，，，，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时： ，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：解：于点D，依题意得：，，．
，，在中，，
， ，设，则，由勾股定理得：，
，，在中，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
22. （2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
23. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m
【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；
（2）第一个小组的解法：
∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，
∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
BD＝20m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°．
BC＝101m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．
1. （2020•洛阳孟津期末）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ B ）
A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′D．不能确定
2. 在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含60°的任意三角形
D．是顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出tanA﹣3＝0，2csB﹣＝0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
解：∵（tanA﹣3）2+|2csB﹣|＝0，∴tanA﹣3＝0，2csB﹣＝0，
∴tanA＝，csB＝，∠A＝60°，∠B＝30°，∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
3. 如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD＝10cm，则HE的值为（ ）
A．20cmB．16cmC．10cmD．8cm有
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2FD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得HE＝AC．
解：∵D、F分别为BC、AB的中点，∴AC＝2FD＝2×10＝20cm，
∵AH⊥BC，∴HE＝AC＝×20＝10cm．故选：C．
4. （2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
5. 数学课外兴趣小组同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
答案: C
6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2.5或3.5
C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5
【答案】D
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB＝90°与若∠EDB＝90°时，去分析求解即可求得答案．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4（cm），
∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），
若∠BED＝90°，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，
当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．
若∠BDE＝90°时，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，
∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，
当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选：D．
7. （2020·贵州遵义市·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
8. （2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，
故选C.
9. （2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6mB．2.8mC．3.4mD．4.5m
【答案】B
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．
10. （2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．
11. （2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
解：在中，∵，∴．
在中，．故答案为：10．
12. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝AC＝AF，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，
∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，
∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，
∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，
∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，
故答案为：48°．
13. （2020秋•镇平县期末）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为 ．
【答案】8米．
【分析】延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，
则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，
设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，
∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．
14. （2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．
【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．
15. （2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分
16. （2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
解：（1）证明：在中，
∵，∴∴
又∵∴∴
（2）∵，∴ ∵∴
在中，，.
17. 计算或求值:(1)（2020·洛阳孟津期末）
解：原式＝
=．
(2)（2021·洛阳汝阳期末）已知：x＝1﹣2cs45°，y＝1+2sin45°，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
解：∵x＝1﹣2cs45°＝1﹣2×＝1﹣，y＝1+2sin45°＝1+2×＝1+，
∴xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，
则原式＝x2+y2﹣2xy+xy﹣2（x﹣y）
＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）
＝（﹣2）2+（﹣1）﹣2×（﹣2）
＝8﹣1+4
＝7+4．
18. （2020·南阳内乡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，∵等腰三角形ABC，∠C＝90°
∴∠A＝45°，∴AH＝DH，设AH＝x，∴DH＝x，
∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，
∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，
∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；
（2）由于AD＝2
∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，
19. （2020·河南模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．
解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴飞机航行的速度为：10×60＝600（km/h）；
（2）能.理由如下：
如图，作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．
在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，
∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°．
又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴CE＝AC•sin∠CAE＝，
AE＝AC•cs∠CAE＝．
则AF＝2AE＝15（km），
∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km.
∵AM＜AF＜AN，
∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．
20. （2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．
由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，．
．与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得解，得．经检验是原方程的解 当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．解，得经检验是原方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】方法1：解：作于D．依题意得，
，，，．
在中，，，，， ，
设，则，在中，，
，，，（或者由勾股定理得）
在中，，，，，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时： ，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：解：于点D，依题意得：，，．
，，在中，，
， ，设，则，由勾股定理得：，
，，在中，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
22. （2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
23. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m
【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；
（2）第一个小组的解法：
∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，
∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
BD＝20m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°．
BC＝101m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
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