广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷

这是一份广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin60∘cs30∘-cs120∘sin30∘=( )
A. 3-14B. 12C. 3+14D. 1
2.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为yt=t2+2，则质点A在t=3s时的瞬时速度为( )
A. 11m/sB. 8m/s
C. 6m/sD. 113m/s
3.设θ是第一象限角，则“θ-π12<π12”是“csθ> 32”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知an是等差数列，且a1+a3+a4=-56，a5+a7+a8=100，则a4+a6+a7=( )
A. 55B. 58C. 61D. 64
5.设函数fx=sinωx+π4在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A. 74,94B. 74,134C. 94,114D. 94,134
6.学校举办运动会，高三(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为( )
A. 114B. 328C. 17D. 528
7.若a，b>0，且ab=2a+b+4，则ab的取值范围是( )
A. 4,8+4 3B. 4,16C. 8+4 3,+∞D. 16,+∞
8.若函数fx同时满足：(1)∀a,b∈R，当a+b=0时，有fa-fb=0；(2)∀a,b∈0,+∞，fa-fba-b>0恒成立，则( )
A. flg314>f2-23>f2-32B. flg314>f2-32>f2-23
C. flg314二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，以π为周期的有( )
A. fx=tanxB. fx=sinxC. fx=sin2xD. fx=sin2x
10.德国数学家高斯用取整符号“ ”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数，如2.3=2.已知函数fx=x-x，以下结论正确的有( )
A. f-1.7=-0.3B. fx的最小值为-1
C. fx-1=fxD. fx=-fx
11.若函数fx=1-x2x2+ax+b的图象关于直线x=-2对称，则( )
A. x=-2是fx的极小值点B. f0=15
C. 当0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1+2a2+⋯+2n-1an=n，则S5=______.
13.已知函数fx=x+1，gx=x+12.∀x∈R，用Mx表示fx，gx中的较小者，记为Mx=minfx,gx，则不等式Mx≤14的解集为______.
14.已知函数fx=2csx-sin2x，则fx的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=13x3-3x+4.
(1)求曲线y=fx在点 3,f 3处的切线方程；
(2)当x∈0,3时，求证：fx≤x+4.
16.(本小题12分)
已知函数fx= 3sin2x+cs2x，x∈0,π.
(1)若fα= 3，求α的值；
(2)求函数fx的单调递减区间；
(3)若fx在区间π12,m上的最小值为-2，求m的最小值.
17.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+x2-ax.
(1)若fx在区间0,e单调递增，求a的取值范围；
(2)讨论fx的单调性.
18.(本小题12分)
已知函数fx=2sinωx+φω∈N*,φ<π2在区间π2,5π6单调，fπ2= 3，且f5π6=fπ.
(1)求y=fx图象的一条对称轴；
(2)求fx的解析式；
(3)在锐角△ABC中，若fA= 3，求sinB2-cs2B的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数fx=exsinx，gx=sinx-csx.记an为函数y=gx在区间0,+∞内的从小到大的第nn∈N*个零点.
(1)证明：数列fan是等比数列；
(2)记bn为函数y=fx在区间0,+∞内的从小到大的第nn∈N*个极值点，将数列an，bn中的所有项从小到大排列构成一个新的数列cn.若∀n∈N*，fcn≥kcn，求k的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式，诱导公式，属于基础题.
利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解.
【解答】
解：sin 60∘cs 30∘-cs 120∘sin 30∘=sin 60∘cs 30∘+cs 60∘sin 30∘
=sin60∘+30∘=sin90∘=1
故选D.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的定义以及计算，注意导数的物理意义，属于基础题．
根据题意，求出函数的导数，将t=3代入计算可得答案．
【解答】
解：因为 y(t)=t2+2，
所以y'(t)=2t.
所以t=3时，y'(3)=6，
即质点A在t=3s时的瞬时速度为6m/s.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质，考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.
化简 |θ-π12|<π12，通过充分条件与必要条件的概念结合三角函数的知识进行求解.
【解答】
解： |θ-π12|<π12⇔0<θ<π6，满足 csθ> 32，故充分性成立；
但当csθ> 32时，θ是第一象限角，则2kπ<θ<π6+2kπ,k∈Z，不一定得出0<θ<π6，故必要性不成立；
所以θ是第一象限角，则“θ-π12<π12”是“csθ> 32”的充分不必要条件.
故选A.
4.【答案】C
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及性质，属于基础题.
利用等差数列的性质即可求解.
【解答】解：设等差数列an的公差为d，
已知a1+a3+a4=-56①，a5+a7+a8=100② ，
②-①得(a5-a1)+(a7-a3)+(a8-a4)=156，
整理得4d+4d+4d=156，
解得d=13，
所以a4+a6+a7=(a1+3d)+(a3+3d)+(a4+3d)
=(a1+a3+a4)+9d=-56+9×13
=61
故选C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．
【解答】
解：当ω<0时，不能满足在区间(0,π)极值点比零点多，所以ω>0；
函数f(x)=sin(ωx+π4)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，
ωx+π4∈(π4,ωπ+π4)，
∴5π2<ωπ+π4≤3π，
求得 94<ω≤114，
故选：C.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查集合之间的元素关系，考查古典概型的计算，属于基础题．
根据14人参加游泳比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数以及只参加田径一项比赛的人数，结合古典概型的概率求法即可求解．
【解答】
解：设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，
只参加游泳比赛的有15-3-3=9人，
作出韦恩图，由韦恩图，得
3+x+y=83+x+z=149+3+3+x+y+z=28
解得x=3，y=2，z=8.
∴只参加田径一项比赛的人数为2.
所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为228=114.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题.
由基本不等式的性质将原式变形为ab≥2 2ab+4，进而求出ab的范围.
【解答】
解：因为a>0，b>0，ab=2a+b+4，则ab≥2 2ab+4，
即 ( ab)2-2 2 ab-4≥0，
解得 ab ≥ 2+ 6，或 ab ≤ 2- 6(舍)，
解得ab≥8+4 3，
故选：C.
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题.
根据题意分析出f(x)为偶函数且在 x∈0 ,+∞单调递增，比较自变量大小可得解.
【解答】
解：根据题意f(x)的定义域为R，且满足 f(-x)=f(x)，则 fx为偶函数，
又因为 ∀a,b∈(0,+∞)，f(a)-f(b)a-b>0恒成立，
所以 fx在 x∈0 ,+∞单调递增，在 x∈-∞,0单调递减，
因为f(x)为偶函数，则f(lg314)=f(lg34)，
而lg34>lg33=1=20>2-23，所以f(lg314)>f(2-23)，
根据指数函数的性质得出 2-23>2-32>0，所以f(2-23)>f(2-32)，
所以f(lg314)>f(2-23)>f(2-32)，故选A.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性，诱导公式，属于较易题.
利用周期的定义，结合诱导公式逐项判断即可得出结果.
【解答】
解：A.f(x+π)=tanx+π=-tanx=tanx=fx，故A正确；
B.f(x+π)=sinx+π=-sinx=sinx=fx，故B正确；
C.∵f(-3π4)=sin3π2=-1，f(-3π4+π)=f(π4)=1，∴f(-3π4+π)≠f(-3π4)，
故fx=sin2x不是以π为周期的函数，故C错误；
D.函数y=|sin2x|的最小正周期为 π2，所以π也是它的一个周期，故D正确;
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于中档题.
先化简已知函数解析式，作出函数图象，结合函数图象检验各选项即可判断.
【解答】
解：由题意得，fx=x-x⋯⋯⋯-x-1,-1≤x<0-x,0≤x<11-x,1≤x<2⋯⋯⋯
则f(-1.7)=[-1.7]+1.7=-2+1.7=-0.3，A正确;
其大致图象如图所示：
结合函数图象可知，函数的最大值为0，没有最小值，B错误;
由图象可得，函数的周期为1，故f(x-1)=f(x)，C正确;
由图象可得，fx=-fx，故D正确.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质、导数在函数中的应用，属于中档题.
由f(-3)=0且f(-5)=0求出a，b，得f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15，利用导数研究函数的单调性，逐项判断即可.
【解答】
解：∵f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，
∴f(-1)=f(-3)=0且f(1)=f(-5)=0，
即(1-9)(9-3a+b)=0且(1-25)(25-5a+b)=0，解得a=8，b=15，
∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15，
则f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x+2)(x2+4x-1)=-4(x+2)(x+2- 5)(x+2+ 5)，
令f'(x)=0，解得x=-2或x=-2- 5或x=-2+ 5，
当x∈(-∞,-2- 5)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(-2- 5,-2)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(-2,-2+ 5)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递减增，
当x∈(-2+ 5,+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴x=-2是f(x)的极小值点，故A正确;
∴f(0)=15，故B正确;
当x∈(0,1)时，若0f(-2- 5)=f(-2+ 5)=16，
∴f(x)的最大值为16，故D正确.
故选：ABD.
12.【答案】3116
【解析】【分析】
本题综合考查了求数列的通项和前n项和，属于中档题.
由题意，a1+2a2+⋯+2n-2an-1+2n-1an=n和a1+2a2+⋯+2n-2an-1=n-1，两式相减可得an的通项公式，为等比数列，再代入求和公式即可.
【解答】解：a1+2a2+⋯+2n-2an-1+2n-1an=n，➀
∴ n≥2时，a1+2a2+⋯+2n-2an-1=n-1，➁
➀-➁，得2n-1an=1，即an=12n-1， ➂
当n=1时，a1=1，满足➂式，
故an的通项公式为an=12n-1，是以a1=1为首项，q=12为公比的等比数列.
∴ S5=1×1-1251-12=2-124=3116.
故答案为3116.
13.【答案】(-∞,-12].
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，解一元二次不等式等知识，属中档题．
根据给定条件，列出不等式并求解，再按定义求出M(x)的解析式， 分段解不等式即得.
【解析】
解：∵fx=x+1，gx=x+12，
f(x)≥g(x)⇒x+1≥(x+1)2⇒-1≤x≤0，
∴M(x)=min{f(x),g(x)}=(x+1)2,x∈[-1,0]x+1,x∈(-∞,-1)∪(0,+∞).
∴M(X)⩽14⇒{-1⩽x⩽0(x+1)2⩽14或{x<-1或x>0x+1⩽14⇒x⩽-12，
∴不等式Mx≤14的解集是(-∞,-12].
故答案为：(-∞,-12].
14.【答案】3 32
【解析】【分析】
本题考查三角函数的二倍角公式，以及利用导数求函数的单调区间、极值以及最值的知识，属于中档题.
求得导数，利用导数研究单调性得出当sinx=-12，csx= 32时f(x)取得最大值，即可求解.
【解答】
解：函数f'(x)=-2sinx-2cs2x
=-2sinx-2(1-2sin2x)=4sin2x-2sinx-2，
令f'(x)=0，解得sinx=-12或sinx=1，由于-1≤sinx≤1，
所以当-10，函数f(x)单调递增，
当-12所以当sinx=-12时，此时csx=± 32，
当csx= 32时，
fx=2× 32-2×-12× 32=3 32
当csx=- 32时，fx=2×- 32-2×-12×- 32=-3 32
故f(x)=2csx-2sinxcsx取最大值为3 32，
故答案为3 32.
15.【答案】解：(1)由题可知 f( 3)=4-2 3 .
f'(x)=x2-3 ，则 f'( 3)=0 .
所以曲线 y=f(x) 在点 3,f( 3) 处的切线方程为 y=4-2 3 .
(2)令 g(x)=f(x)-x-4=13x3-4x ， x∈0,3 .
则 g'(x)=x2-4 ，令 g'(x)=0 ，解得 x=-2 或 x=2 .
当 x∈0,3 时， g'(x) ， g(x) 的变化情况如下表所示：
又因为 g(0)=0 ， g(3)=-3 .
所以 g(x) 在区间 0,3 的最大值为0.
即当 x∈[0,3] 时， g(x)≤0 恒成立，亦即 f(x)≤x+4 .

【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，构造函数，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
(1)求出f'x导数，解得切线的斜率，切点坐标，然后求解f(x)在点 3,f( 3) 处的切线方程；
(2)令g(x)=f(x)-x-4=13x3-4x ，求解函数的导数，求出最大值，转化即可．
16.【答案】解： f(x)= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6) ， x∈0,π
(1)已知 f(α)= 3 ，即 2sin(2α+π6)= 3 ， sin(2α+π6)= 32
因为 α∈0,π ，则 2α+π6∈(π6,13π6) ，所以 2α+π6=π3 或 2π3 .可得 α=π12 或 π4 ；
(2)令 z=2x+π6 ， x∈0,π ，则 z∈(π6,13π6)
因为 y=sinz ， z∈(π6,13π6) 的单调递减区间是 π2,3π2 ，
且由 π2≤2x+π6≤3π2 ，得 π6≤x≤2π3 ；
所以，函数 f(x) 的单调递减区间是 π6,2π3 .
(3)当 x∈π12,m ，则 2x+π6∈π3,2m+π6 .
f(x) 在区间 π12,m 上的最小值为 -2 ，
即 y=sinz 在 π3,2m+π6 上的最小值为 -1 .
又因为 z∈(π6,13π6) ，所以 3π2≤2m+π6<13π6 ，
即 2π3≤m<π .所以 m 的最小值为 2π3 .

【解析】本题考查正弦型函数的图象与性质，三角恒等变换的综合应用，属于中档题.
(1)利用二倍角公式结合辅助角公式化简可得f(x)=2sin(2x+π6)，代入求得答案;
(2)结合正弦函数的单调性即可求得答案;
(3)由已知确定2x+π6∈π3,2m+π6 ，结合正弦函数的最小值可得3π2≤2m+π6<13π6 ，即可求得答案.
17.【答案】解：(1)函数 f(x) 的定义域为 0,+∞ ， f'(x)=1x+2x-a ，
f(x) 在区间 0,e 单调递增，即当 x∈0,e 时， f'(x)≥0 恒成立，
亦即 a≤1x+2x 在区间 0,e 恒成立；
因为 1x+2x≥2 2 (当且仅当 x= 22 时取等号)
所以， a 的取值范围为 -∞,2 2 .
(2)(Ⅰ)当 a≤2 2 时， f'(x)=1x+2x-a≥2 2-a≥0 在 0,+∞ 恒成立，
则 f(x) 在 0,+∞ 单调递增；
(Ⅱ)当 a>2 2 时， f'(x)=1x+2x-a=2x2-ax+1x ，易知 a2-8>0 ，
令 f'(x)=0 ，解得 x1=a- a2-84 ， x2=a+ a2-84 ，且 0当 x1x2 时， f'(x)>0 ；
所以， f(x) 在区间 x1,x2 单调递减，在区间 0,x1 和 x2,+∞ 单调递增.
综上所述，当 a≤2 2 时， f(x) 在 0,+∞ 单调递增；
当 a>2 2 时， f(x) 在区间 a- a2-84,a+ a2-84 单调递减，在区间 0,a- a2-84 和 a+ a2-84,+∞ 单调递增.

【解析】本题考查利用导数由函数的单调性求参，利用导数求函数的单调区间(含参)，属于中档题.
(1)由题意可知：当 x∈0,e 时， f'(x)≥0 恒成立，结合对勾函数分析求解；
(2)分 a≤2 2 和 a>2 2 两种情况，结合导数以及不等式的解法分析求解.
18.【答案】解：(1)由题可知函数f(x)的最小正周期T≥2(5π6-π2)=2π3.
又因为f(5π6)=f(π)且π-5π6=π6(2)由(1)知T≥2π3，故ω=2πT≤3，由ω∈N*，得ω=1，2或3.
由直线x=11π12为y=f(x)图像的一条对称轴，所以11π12ω+φ=π2+k1π，k1∈Z;
因为f(π2)= 3，所以π2ω+φ=π3+2k2π，k2∈Z或π2ω+φ=2π3+2k3π，k3∈Z.
若π2ω+φ=π3+2k2π，k2∈Z，则5π12ω=π6+(k1-2k2)π，
即ω=25+125(k1-2k2)，不存在整数k1，k2，使得ω=1，2或3.
若π2ω+φ=2π3+2k3π，k3∈Z，则5π12ω=-π6+(k1-2k3)π，
即ω=-25+125(k1-2k3)不存在整数k1，k3，使得ω=1或3;
当k1=2k3+1时，ω=2⋅此时φ=-π3+2k3π，由φ<π2，得φ=-π3.
所以f(x)=2sin(2x-π3).
(3)因为f(A)= 3，所以2sin(2A-π3)= 3，sin(2A-π3)= 32，
因为在锐角△ABC中，0由B+c=2π30sinB2-cs2B=sinB2-(1-2sin2B)=sinB1+2sin2B=11sinB+2sinB
当且仅当1sinB=2sinB，即sinB= 22时，1sinB+2sinB取最小值2 2;
当sinB=12或1时，1sinB+2sinB=3，则1sinB+2sinB的值域为[2 2,3).
所以sinB2-cs2B的取值范围为(13, 24].
【解析】本题考查三角函数图象和性质，及求三角函数解析式，求正弦(型)函数的对称轴和三角式子的取值范围问题，属于较难题.
(1)由最小正周期T≥2(5π6-π2)=2π3，且f(5π6)=f(π)且π-5π6=π6(2)由(1)知T≥2π3，故ω=2πT≤3，由ω∈N*，得ω=1，2或3.再由直线x=11π12为y=f(x)图像的一条对称轴可得11π12ω+φ=π2+k1π，k1∈Zi又由f(π2)= 3，可得π2ω+φ=π3+2k2π，k2∈Z或π2ω+φ=2π3+2k3π，k3∈Z.得出ω=25+125(k1-2k2)或ω=-25+125(k1-2k3)，判断出当k1=2k3+1时ω=2从而得φ=-π3，即得答案.
(3)因为f(A)= 3，得A=π3，由{B+c=2π3019.【答案】(1)证明：令 g(x)=0 ，即 sinx-csx= 2sin(x-π4)=0 ，
解得 x=π4+kπ ， k∈Z .
由题意，可知 an=π4+(n-1)π=nπ-3π4 ， n∈N*
f(an)=enπ-3π4sin(nπ-3π4)=(-1)n+1 22enπ-3π4;
f(an+1)=enπ+π4sin(nπ+π4)=(-1)n+2 22enπ+π4;
因为 f(an)≠0 ，而 f(an+1)f(an)=(-1)n+2 22enπ+π4(-1)n+1 22enπ-3π4=-eπ 是常数.
所以数列 f(an) 是首项为 f(a1)= 22eπ4 ，公比为 -eπ 的等比数列.
(2)解： f'(x)=exsinx+excsx= 2exsin(x+π4)
令 f'x=0 ，解得 x=-π4+kπ ， k∈Z
当 -π+2kπ≤x+π4≤2kπ ，即 -5π4+2kπ≤x≤2kπ-π4 时，sin(x+π4) ≤ 0，则 f'(x)≤0;
当 2kπ≤x+π4≤2kπ+π ，即 -π4+2kπ≤x≤2kπ+3π4 时，sin(x+π4) ≥ 0，则 f'(x)≥0;
因此，当 x=-π4+kπ ， k∈Z 时， y=f(x) 取得极值.
由题意，可知 bn=nπ-π4 ， n∈N*
所以 cn=π4+(n-1)π2=(2n-1)4π ， n∈N*
所以 f(cn)=e(2n-1)4πsin((2n-1)4π)= 22e(2n-1)4π ；
当 ∀n∈N* ， f(cn)≥kcn 成立，即 22e(2n-1)4π≥k(2n-1)4π 成立，
亦即 2k≤e(2n-1)4π(2n-1)4π 成立；
设 h(t)=ett (t>0 )，则 h'(t)=et(t-1)t2
令 h't=0 得 t=1 .当 01 时， h't>0 ，
所以 ht 在区间 0,1 上单调递减；在区间 1,+∞ 上单调递增.
因为 c1∈0,1 ，当 n≥2 时， cn∈1,+∞ ，且 cn因为 h(c1)=4eπ4π ， h(c2)=4e3π43π ， h(c2)h(c1)=eπ23>1 ，
所以 h(cn) 的最小值为 h(c1)=4eπ4π ；
因此 ∀n∈N* ， f(cn)≥kcn 成立，当且仅当 2k≤4eπ4π 成立，解得 k≤2 2eπ4π
所以 k 的最大值是 2 2eπ4π .

【解析】本题考查导数的运用，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式，属于难题.
(1)结合题意表示f(an)关系式，再由等比数列的定义，即可得证；
(2)利用导数求解极值即可求得bn通项，从而求得cn通项，则当 ∀n∈N* ， f(cn)≥kcn 成立，即 22e(2n-1)4π≥k(2n-1)4π 成立，亦即 2k≤e(2n-1)4π(2n-1)4π 成立，结合导数求解最值从而求解.x
0,2
2
2,3
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
-163
单调递增