2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习四（含答案）

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如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
(1)求证：BC平分∠ABE；
(2)若∠A＝60°OA＝4，求CE的长．
如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)求DE的长．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为6，线段BC＝2，求∠BAC的正弦值.
如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．
⑴求证：PB是⊙O的切线；
⑵连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
(2)若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
(1)求证：DH是圆O的切线；
(2)若A为EH的中点，求EF：DF的值；
(3)若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
如图，以O为圆心的弧BD的度数为60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于点A，EB⊥OB于点B.
(1)求的值；
(2)若OE与弧BD交于点M，OC平分∠BOE，连接CM，说明：CM是⊙O的切线；
(3)在(2)的条件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.
如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB．
(1)求证：AB是圆的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝eq \f(5,3)，AB：BC＝2：3，求圆的直径．
如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且DA＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若sinC＝eq \f(4,5)，AC＝12，求⊙O的直径．
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
(3)若AB＝8，BC＝10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．
\s 0 答案
(1)证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
而BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
而OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠OBC＝∠CBE，即BC平分∠ABE；
(2)解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝4eq \r(3)，
∵∠OBC＝∠CBE＝30°，
在Rt△CBE中，CE＝eq \f(1,2)BC＝2eq \r(3)．
证明：(1)连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
(2)过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
(1)证明：连接OA，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴OA⊥OC，
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
(2)延长CO交圆O于F，连接BF.
∵∠BAC＝∠BFC，
∴sin∠BAC＝sin∠BFC＝eq \f(1,3).
证明：⑴如图所示，连接OB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA.
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA＋∠OBA＝90°，
即PB⊥OB.
∴PB是⊙O的切线．
⑵解：⊙O的半径为3，
∴OB＝3，AC＝6．
∵OP∥BC，
∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴即BC＝2.25．
解：(1)BC与⊙O相切．证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
(2)由(1)知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴OB：AB＝OD：AC．
∵⊙O的半径为2，
∴DO＝OE＝2，AE＝4．
∴(BE＋2)：(BE＋4)＝2：3．
∴BE＝2．
∴BO＝4，
∴BD＝2eq \r(3)．
证明：(1)连接OD，如图1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
(2)如图2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由(1)可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×3x＝eq \f(3,2)x，
∵OD∥AC，
∴∠E＝∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
(3)如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF＋EF＝r＋1，
∴BD＝CD＝DE＝r＋1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r＋1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣(1＋r)＝r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
综上所述，⊙O的半径为eq \f(1＋\r(5),2).
解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，
∴∠E＝∠EOB，
∴BE＝BO，
在Rt△OAD中， ＝sin∠DOA＝，
∴＝，∴＝＝；
(2)∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC＝∠MOC，
在△BOC和△MOC中，
，
∴△BOC≌△MOC，
∴∠OMC＝∠OBC＝90°，
∴CM是⊙O的切线；
(3)∵△BOC≌△MOC，
∴CM＝CB＝2，
∵∠E＝∠EOB＝45°，
∴CE＝eq \r(2)CM＝2eq \r(2)，
∴BE＝2＋2eq \r(2)，
∴OB＝2＋2eq \r(2)，
∴tan∠BCO＝eq \r(2)＋1.
证明：(1)∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＋∠DBC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°
∴∠ABC＝90°
∴AB⊥BC，
∴AB是圆的切线．
在RT△AEB中，tan∠AEB＝eq \f(5,3)，
∴＝eq \f(5,3)，即AB＝eq \f(5,3)BE＝eq \f(20,3)，
在RT△ABC中， ＝eq \f(2,3)，
∴BC＝eq \f(3,2)AB＝10，
∴圆的直径为10．
证明：(1)∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠1＝∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＋∠EAD＝90°，
∴∠1＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA＝DC，
∴CF＝eq \f(1,2)AC＝3，
在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，
设DF＝4x，DC＝5x，
∴CF＝3x，
∴3x＝3，解得x＝1，
∴DC＝5，
∴AD＝5，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴＝，即＝，解得AE＝eq \f(25,4)，
即⊙O的直径为eq \f(25,4)．
解：(1)BC所在直线与小圆相切．理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE＝OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．
(2)AC＋AD＝BC．理由如下：连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE＝CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，
，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)，
∴EB＝AD；
∵BC＝CE＋EB，
∴BC＝AC＋AD．
(3)∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，
∴AC＝6cm；
∵BC＝AC＋AD，
∴AD＝BC﹣AC＝4cm，
∵圆环的面积为：S＝π(OD)2﹣π(OA)2＝π(OD2﹣OA2)，
又∵OD2﹣OA2＝AD2，
∴S＝42π＝16π(cm2)．