山东省济南市市中区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

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一、选择题
二、填空题
11. 2 12. 13 13. 818 14. 12 15. 103
三、解答题
16.（本小题满分7分）
计算：﹣2sin45°+（+1 ）0 + |﹣|+（）﹣1．
解：原式=8−2×22+1+2+2 ……5分
＝22−2+1+2+2
＝22+3． ……7分
17．（本小题满分7分）
已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB， ……3分
∴ADAC=AEAB，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴3AC=48，
∴AC＝6． ……7分

18.（本小题满分7分）
解：（1）如图，△OA'B'即为所求． ……3分
（2）△OA'B'的面积为12×(2+4)×6−12×4×2−12×2×4=18﹣4﹣4＝10． ……5分
（3）（2m，2n ） ……7分
19. （本小题满分8分）
解：（1）12； ……2分
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色（D，C），（C，D）共2种结果，
所以两瓶溶液恰好都变红色的概率=212=16． ……8分
20. （本小题满分8分）
解：（1）∵把A（﹣2，﹣5）代入代入y2=mx，得：m＝10，
∴y2=10x， ……1分
∵把C（5，n）代入得：n＝2，
∴C（5，2），
∵把A、C的坐标代入y1＝kx+b得：
−2k+b=−55k+b=2，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴y1＝x﹣3，
∴反比例函数的表达式是y2=10x，一次函数的表达式是y1＝x﹣3； ……3分
（2）∵把y＝0代入y1＝x﹣3得：x＝3，
∴D（3，0），OD＝3，
∴S△AOC＝S△DOC+S△AOD
=12×3×2+12×3×|﹣5|
＝10.5，
即△AOC的面积是10.5； ……6分
（3）﹣2＜x＜0或x＞5． ……8分
21.（本小题满分9分）
解：（1）由题意可知：AB＝6.8×5＝34（m），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝34m，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m； ……3分
（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝34m，
设DE＝x m，则DF＝（34﹣x）m，
在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，
则FC＝DF＝（34﹣x）m，
∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m，
在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，
∵tan∠FBD=DFBF，
∴DF＝BF•tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36，
解得：x≈15，
答：四门塔DE的高度约为15m． ……9分
22. （本小题满分10分）解：（1）设反比例函数的关系式为y=kx．
把（4，﹣20）代入，得：−20=k4．
∴k＝﹣80．
∴y=−80x． ……2分
当y＝﹣4时，−4=−80t，
∴t＝20． ……4分
（2）设一次函数函数的关系式为y＝kx﹣4．
把（4，﹣20）代入，得：﹣20＝4k﹣4，解得：k＝﹣4，
∴y＝﹣4x﹣4， ……6分
当在温度下降过程中，﹣10＝﹣4x﹣4，x＝1.5，
当在温度上升过程中，−10=−80x，x＝8， ……8分
∴8﹣1.5＝6.5（min）
∴一次循环过程中有6.5 min 属于有效制冷时间． ……10分
23. （本小题满分10分）
解：（1）23．解：（1）75° ……1分
3+2． ……3分
（2）延长FG到I，使GI=EG，设EF=a，∵∠F＝90°，∠EGF＝45°，
∴∠FEG＝45°，∴FG= EF=a，由勾股定理得：EG=2a，
∴GI=2a，FI=（2+1）a． ……4分
∵GI=EG，∴∠IEG=∠EIG，又∵∠EGF＝45°，∴∠EIG=22.5°，
∵∠F＝90°，∴∠FEI＝67.5°……5分
∴tan67.5°=FIEF=（2+1）aa=2+1 ……6分

（3）过点H作HO⊥MN，垂足为O，
由兴趣小组的结论，可以继续求得sin15°=12+6，
由题意可知，sin∠HMN=sin15°=HOHM=HO22+26，∴12+6=HO22+26，∴HO=2 ……7分
∵tan15°=12+3=HOMO=2MO，∴MO=4+23 ……8分
由第（2）问可知，tan22.5°=11+2=HONO=2NO，∴NO=2+22 ……9分
∴MN=MO+NO=6+23+22，
∴△HMN的面积=12 ∙MN∙HO=12×（6+23+22）×2=6+23+22km2 ……10分

24. （本小题满分12分）
解：（1）解：（1）将A（3，2） 代入y=kx得2=k3，
解得k＝63， ……1分
∴反比例函数的表达式为y=63x； ……2分
（2）∵AC⊥x轴，
∴OC=3，
∵点C是OD的中点，
∴CD=3，
∵BD⊥x轴于点D，
∴点B和点D横坐标相等，
将x=6代入y=63x得y＝3，
∴点B坐标为 (6，3)， ……4分
设OB的解析式为y＝kx，
将B(6，3) 代入得3=6k，
解得k=36，
∴OB的解析式为y=36x，
将x=3代入，得y=32，
∴点F坐标为 (3，32)，
∴AF=23−32=332， ……6分
∴S△ABF=12AF⋅CD=12×332×3=943； ……8分
（3）①当M在y轴正半轴时，如图1，
在OM延长线上取点G，使得∠MGN＝60°，在MO延长线上取点H使得∠MHC＝60°，
过点N作NI⊥y轴于点I，
∵△CMN为等边三角形，
∴∠NMC＝60°，MN＝HC，
在Rt△OHC中，∠OHC＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH=12HC，
设OH＝a，则 HC＝2a，由勾股定理得
OH2+OC2＝HC2，
即a2+32=(2a)2，
解得a＝±3（负值舍去），
∴OH＝3，MH＝m+3，HC＝23，
∵∠MGN＝∠MHC＝∠NMC＝60°，
∴∠GNM+∠GMN＝∠GMN+∠HMC＝120°，
∴∠GNM＝∠HMC，
∴△MNG≌△CMH（ASA），
∴GM＝HC＝23，GN＝MH＝m+3，
∴GO＝m+23，
在Rt△GNI中，∠NGM＝60°，
∴∠GNI＝30°，
∴IG=12GN=m+32，IO＝GO﹣GI=m+332，
∴IN=3GI=32（m+3），
∴点B坐标为 (32(m+3)，m+332)，
∵N为反比例上的点，
∴32(m+3).m+332=63，
即（m+3）（m+33）＝24，
∵m在y轴正半轴上，
∴m＝3；
②当M在y轴负半轴时，如图2
在CO延长线上取点P，使得∠NPC＝60°，在OC延长线上取点Q，使得∠MOC＝60°，
过点N作NR⊥x轴于点R，
∵△CMN为等边三角形，
∴∠NCM＝60°，CN＝CM，
在Rt△MOQ 中，∠OQM＝60°，
∴∠OMQ＝30°，
∴OQ=12MQ，
设OQ＝b，则QM＝2b，由勾股定理得OQ2+OM2＝MQ2，
即b2+（﹣m）2＝（2b）2，
解得b=±33m （负值舍去），
∴OQ=−33m，QM=−233m，CQ=−33（m+33），
同理可证：△MCQ≌△CNP，
PC=QM=−233m，PN=CQ=−33(m+33)，
在Rt△NPR 中，∠NPR＝60°，
∴∠PNR＝30°，
∴PR=12PN=−36(m+33)，
∴RN=3PR=−12（m+33），
∴RO=−233m−3−[−36（m+33）]=−32（m+3），
∴N点坐标为[32（m+3），12（m+33）]，
∵N为反比例上的点，
∴32(m+3)⋅12(m+33)=23，
即（m+3）（m+33）＝8，
∵m在y轴负半轴上
∴m＝﹣53
∴综上所述，m的值为3或﹣53． ……12分
25. （本小题满分12分）
解：（1）∵AB＝AD＝4，BC＝DE＝3，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE=32+42=5，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD，
∵ABAC=ADAE=45，
∴△ADB∽△AEC，
∴BDCE=ABAC=45， ……4分
（2）
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴AM＝BM＝CM=12AC=52，
∴∠ABM＝∠BAM，
∵AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADB，
∴∠BAM＝∠ADB，
∵∠ABM＝∠DBA，
∴△ABM∽△DBA，
∴ABBD=BMAB，即4BD=524，
∴BD=325，
∴MD=BD−BM=3910，
∵∠BAM＝∠ADB＝∠DAE
∴MD∥AE
∴∠F＝∠F,∠MDF=∠E
∴△DMF∽△EAF
∴MDAE=MFAF
∴39105=CF+52CF+5
∴CF=7011 ……8分
C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下：
思路一：
①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE=12CD•DE=12×（5﹣4）×3＝32；
②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图，
∴S△CDE=12CD•DE=12×（5+4）×3＝272；
③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图，
∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，
∴四边形ADEQ是矩形，
∴AD＝EQ＝4，AQ＝DE＝3，
∵AE＝AC＝5，
∴EQ＝CQ=12CE，
∴12CE＝4，
∴CE＝8，
∴S△CDE=12AQ•CE=12×3×8＝12；
④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC＝AE，AQ⊥EC，
∴EQ＝CQ，
∴NQ是△CDE的中位线，
∴ND＝NE=12DE＝32，CD＝2NQ，
∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，
∴∠DAN＝∠QEN，
∴tan∠DAN＝tan∠QEN，
∴DNAD=DCCE，
∴DC=38CE，
∵DC2+CE2＝DE2，
∴（38CE）2+CE2＝32，
解得CE=247373，
∴CD＝97373，
∴S△CDE=12CD•CE=12×97373×247373=10873．
综上所述，直角三角形CDE的面积为32或272或12或10873． ……12分
思路二：
△CDE中，点C为定点，点D和点E绕点A旋转. 若转化为△ADE不动，即点D和点E为定点，点C绕点A旋转，可将问题简化.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
D
A
B
C
B
C
B
B
A
B
C
D
A
﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣