2023-2024学年四川省巴中市九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省巴中市九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x−1=1B. 1x−1+3=5C. x(x+3)=x2D. x(x+3)=1
2.一元二次方程3x2−4x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3，−4，−5B. 3，−4，5C. 3，4，5D. 3，4，−5
3.方程2(x+3)(x−4)=x2−10的一般形式为( )
A. x2−2x−14=0B. x2+2x+14=0C. x2+2x−14=0D. x2−2x+14=0
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根−b，则a−b的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. −2
5.用配方法解方程x2−4x−3=0.下列变形正确的是( )
A. (x−4)2=19B. (x−2)2=7C. (x−2)2=1D. (x+2)2=7
6.关于x的方程(a−3)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的值范围是( )
A. a≥−1且a≠3B. a>−1且a≠3C. a≥−1D. a>−1
7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A. 12x(x+1)=28B. x(x−1)=28C. x(x+1)=28D. 12x(x−1)=28
8.三角形的一边长为10，另两边长是方程x2−14x+48=0的两个实数根，则这个三角形是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
9.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第象限．( )
A. 四B. 三C. 二D. 一
10.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x−2)(x−4)=0的根，则这个三角形的周长是( )
A. 11B. 11或13C. 13D. 以上选项都不正确
11.已知关于x的一元二次方程2x2−(m+n)x+mn=0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
12.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a,b}表示a、b中较大的数，如：max{−1,3)=3.按照这个规定，方程max{2x−1,x}=x2的解为( )
A. x1=1，x2=−1B. x1=1，x2=0
C. x=−1D. x=0
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13.已知x=1是关于x的一元二次方程x2−x+k=0的一个根，那么k=______．
14.关于x的一元二次方程(m+2)x2−x+m2−4=0一个根是0，则另一个根是______ ．
15.若方程kx2−6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
16.已知(a2+b2)(a2+b2−4)=12，则a2+b2=______．
17.设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k= ______ ．
18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0三、解答题（本大题共5小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题20.0分)
解方程：
(1)2x2−3x−3=0(配方法)
(2)x2−2x=2x+1；
(3)(y−2)(y−3)=12；
(4)(x−1)2−3(x−1)+2=0．
20.(本小题10.0分)
关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题10.0分)
利用完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2和a2−2ab+b=2(a−b)2的特点可以解决很多数学问题.下面给出两个例子：
例1、分解因式：x2+2x−3
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例2、求代数式2x2−4x−6的最小值：
2x2−4x−6=2(x2−2x)−6=2(x2−2x+1−1)−6=2[(x−1)2−1]−6=2(x−1)2−8
又∵2(x−1)2≥0
∴当x=1时，代数式2x2−4x−6有最小值，最小值是−8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
(1)分解因式：m2−8m+12；
(2)代数式−x2+4x−2有最______ (大、小)值，当x= ______ 时，最值是______ ；
(3)当x、y为何值时，多项式2x2+y2−8x+6y+25有最小值？并求出这个最小值．
22.(本小题12.0分)
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价2元，平均每天可多售出4件．
(1)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
(2)当童装销售价为多少元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为多少？
23.(本小题12.0分)
某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：
(1)设AB=x米(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.x−1=1是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
C.该方程化简可得3x=0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.x(x+3)=1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：一元二次方程3x2−4x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，−4，−5．
故选A．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0).其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】A
【解析】解：方程整理得：2(x2−4x+3x−12)=x2−10，即2x2−2x−24=x2−10，
则方程的一般形式为x2−2x−14=0．
故选：A．
方程整理为一般形式，即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根−b，
∴b2−ab+b=0，
∵−b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b−a+1=0，
∴a−b=1．
故选：A．
由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根−b，那么代入方程中即可得到b2−ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的解．
5.【答案】B
【解析】解：∵x2−4x−3=0，
∴x2−4x=3，
则x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=7，
故选：B．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a−3≠0且Δ=(−4)2−4(a−3)×(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得a−3≠0且Δ=(−4)2−4(a−3)×(−1)>0，
解得a>−1且a≠3．
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：12x(x−1)=4×7，
即12x(x−1)=28．
故选D．
根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：x2−14x+48=0，
(x−6)(x−8)=0，
则x−6=0或x−8=0，
解得x1=6，x2=8，
则三角形的三边长度为6、8、10，
∵62+82=102，
∴这个三角形是直角三角形；
故选：C．
先利用因式分解法求出方程的解，再由勾股定理的逆定理即可判断其形状．
本题主要考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
根据判别式的意义得到Δ=(−2)2+4m<0，解得m<−1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=(m+1)x+m−1图象经过的象限．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
【解答】
解：∵一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，
∴Δ<0，
∴Δ=4−4(−m)=4+4m<0，
∴m<−1，
∴m+1<1−1，即m+1<0，
m−1<−1−1，即m−1<−2，
∴一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第一象限，
故选：D．
10.【答案】C
【解析】解：方程(x−2)(x−4)=0，
可得x−2=0或x−4=0，
解得：x=2或x=4，
当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；
则x=4，此时周长为3+4+6=13．
故选C
由两数相乘积为0，两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：由数轴看出m>0，n<0，
∵2x2−(m+n)x+mn=0是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n)2−8mn，
∵m>0，n<0，
∴−8mn>0，
∴Δ=(m+n)2−8mn>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据数轴上表示的点的值和根的判别式Δ=(m+n)2−8mn，判定根的情况有两个不相等实数根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：当2x−1>x时，即x>1，方程max{2x−1,x}=x2转化为2x−1=x2，
整理得x2−2x+1=0，
解得x1=x2=1，
当2x−1整理得x2−x=0，
解得x1=0，x2=1(舍去)，
综上所述，方程的解为x1=1，x2=0．
故选：B．
当2x−1>x时，即x>1，方程max{2x−1,x}=x2转化为2x−1=x2，当2x−1本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了对新定义的理解能力．
13.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义，：把x=1代入x2−x+k=0得1−1+k=0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x=1代入x2−x+k=0得1−1+k=0，
解得k=0．
故答案为0．
14.【答案】14
【解析】解：根据题意，得
m2−4=0，
解得m=2；
设关于x的一元二次方程4x2−x=0的另一个根为x2，
解得x2=14．
故答案为：14．
根据一元二次方程的解的定义，将x=−1代入原方程求得n的值，然后通过根与系数的关系求得方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】k≤9，且k≠0
【解析】解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2−4ac=36−4k≥0，
即k≤9，且k≠0
若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
16.【答案】6
【解析】解：设a2+b2=t，则
t(t−4)=12，
整理，得
(t−6)(t+2)=0，
解得t=6或t=−2(不合题意，舍去)．
故a2+b2=6．
故答案是：6．
先设a2+b2=t，则方程即可变形为t(t−4)=12，解方程即可求得t即a2+b2的值．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
17.【答案】2
【解析】解：根据题意，知x1+x2=3x2=3，则x2=1，
将其代入关于x的方程x2−3x+k=0，得12−3×1+k=0．
解得k=2．
故答案是：2．
根据根与系数的关系求得x2=1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
18.【答案】94
【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，
∵AB=AC=6cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=3 2cm，
∵AP= 2tcm，
则S1=12AP⋅BD=12×3 2× 2t=3t(cm2)，PD=(3 2− 2t)cm，
∵四边形PDFE是矩形，
∴PE/​/BC，
∴∠AEP=∠C=45°，∠APE=∠ADC=90°，
∴∠PAE=∠PEA=45°，
∴PE=AP= 2t cm，
∴S2=PD⋅PE=(3 2− 2t)⋅ 2t，
∵S1=2S2，
∴3t=2×(3 2− 2t)⋅ 2t，
解得：t=94(舍去)，
故答案为：94．
利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
19.【答案】解：(1)2x2−3x−3=0，
∴x2−32x=32，
∴x2−32x+916=32+916，
∴(x−34)2=3316，
∴x−34=± 334，
∴x1=3+ 334，x2=3− 334；
(2)x2−2x=2x+1，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，
∴(x−2)2=5，
∴x−2=± 5，
∴x1=2+ 5，x2=2− 5；
(3)(y−2)(y−3)=12，
∴y2−5y−6=0，
∴(y−6)(y+1)=0，
∴y−6=0或y+1=0，
∴y1=6，y2=−1；
(4)(x−1)2−3(x−1)+2=0，
∴(x−1−2)(x−1−1)=0，
∴x1=3，x2=2．
【解析】(1)方程两边都除以2并将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
(2)解法同(1)；
(3)化成y2−5y−6=0，用因式分解法解方程；
(4)将x−1看作一个整体，用因式分解法解方程．
本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的方程mx2+(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0△=(m+2)2−4m⋅m4>0，
解得：m>−1且m≠0．
(2)假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−m+2m，x1x2=14．
∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=−m+24m=0，
∴m=−2．
∵m>−1且m≠0，
∴m=−2不符合题意，舍去．
∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【解析】(1)由二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
(2)假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系结合1x1+1x2=0，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再根据(1)的结论即可得出不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零结合根的判别式△>0，找出关于m的一元一次不等式组；(2)根据根与系数的关系结合1x1+1x2=0，列出关于m的方程．
21.【答案】大 2 2
【解析】解：(1)m2−8m+12=(m−2)(m−6)；
(2)−x2+4x−2=−(x2−4x+4−4)−2=−(x−2)2+2，
∵x−2≥0，
∴当x=2时，代数式−x2+4x−2有最大值，最小值是2．
故答案为：大，2，2；
(3)2x2+y2−8x+6y+25
=2(x2−4x+4)+(y2+6y+9)−8−9+25
=2(x−2)2+(y+3)2+8
∵(x−2)2≥0，(y+3)2≥0
∴当x=2，y=−3时，这个多项式有最小值，最小值为8．
(1)仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答；
(2)(3)仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答．
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设每件童装降价x元时，平均每天盈利1200元，
可根据题意列出方程：(20+2x)(40−x)=1200，
解得：x1=10，x2=20；
答：每件童装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元．
(2)设专卖店平均每天所获利润W，由题意得，
W=(20+2x)(40−x)，
整理得：w=−2(x−15)2+1250，
∴当x=15时，W最大为1250．
答：当童装销售价为105元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为1250元．
【解析】(1)设每件童装降价x元时，每件盈利(40−x)，每天销量(20+2x)，列出方程计算即可；
(2)根据题意设专卖店平均每天所获利润W，建立二次函数关系式，求出最值即可；
本题考查了一元二次方程的解法和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设AB=x米，可得BC=69+3−2x=72−2x；
(2)小英说法正确；
理由：矩形面积S=x(72−2x)=−2(x−18)2+648，
∵72−2x>3，
∴x<34.5，
∴0∴当x=18时，S取最大值，
此时x≠72−2x，
∴面积最大的不是正方形．
故小英说法正确．
【解析】(1)设AB=x米，根据等式x+x+BC=69+3，可以求出BC的表达式；
(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．