四川省自贡市富顺县自贡富顺联考九年级期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2+2x+3=0 D. eq \f(1,x) +x2=1
2.抛物线y= - eq \f(1,2)x2+1的开口方向是（ ）
A.向下 B.向上 C.向左 D.向右
3．关于二次函数y=（x-2)2 +3，下列说法正确的是 ( )
A．函数图象开口向下 B．函数图象的顶点坐标为（-2，3）
C．该函数有最小值，最小值为3 D．当x>2，y随x的增大而减小
4．关于x的一元二次方程 eq \f(1,2)x2-4x+8=0根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
5.在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少,2022年上学期每天书面作业平均时长为100min,经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为( )
A.70(1+x2)=100 B.70(1+x)2=100
C.100(1-x)2=70 D.100(1-x2)=70
6．若一元二次方程(x+a)2=b(a,b为常数)，化成一般形式为x2-6x+5=0,则a,b的值分别是( )
A.3,4 B.-3,4 C.3,-4D.-3,-4
7．将抛物线y= eq \f(1,2)x2先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为( )
A．y= eq \f(1,2)（x-4)2 +5 B．y= eq \f(1,2)（x+4)2-5
C．y= eq \f(1,2)（x-4)2 -5 D．y= eq \f(1,2)（x+4)2 +5
8.已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y=3x2+12x+m上的点,则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y29．若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+b的图象只可能是
( )
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在ɭ 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降( )
B.3 m D.2m
11．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A.﹣1＜x＜3 B.﹣1＜x ＜4
C.x＜﹣1或x＞4 D.x＜﹣1或x＞3
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点在(0,1)与(0,2)之间,对称轴为X=-1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论:➀b=2a;②-34;⑤当x<0时,y随x的增大而减小.其中正确的结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13. 函数y=(x+3)2+5的顶点坐标是 ．
14.已知二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图象经过原点，则m2-1的值为 ．
15.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n-4= ．
16.已知三角形两边的长分别是2和5,第三边的长是方程x2-7x+10=0的根,则这个三角形的周长是 ．
17.新定义:任意两数m,n,按规定y = eq \f(m,n) - m+n得到一个新数y,称所得新数y为数m,n的“愉悦数”.当m=2x+1,n= x -1 的“愉悦数”为正整数时,正整数x的值是 ．
18．如图把抛物线y= eq \f(1,2)x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点0(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= eq \f(1,2)x2交于点Q，
则图中阴影部分的面积为________．
三．解答题（共8小题，共78分）
19．（8分）用适当的方法解方程：x2-x＝6 ；
（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），且过点
C（0，-3），求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标。
21.（8分）已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1).求k的取值范围;
(2).若x13x2+x1x23=24,求k的值.
22.（8分）请阅读下列解题过程:
解一元二次不等式: x2-3x＜0
解：设x2-3x=0,解得x1=3,x2=0则抛物线y= x2-3x与
×轴的交点坐标为(3,0)和(0,0)画出y= x2-3x的大致图象:
由图像可知:当0此时y<0 所以一元二次不等式x2-3x＜0
的解集为0通过上述解题过程的学习按其解题思路和方法解答下列问题:
上述解题过程中渗透了下列数学思想中
的 和 (只填序号)
①分类讨论思想 ②转化思想 ③数形结合思想
用类似方法解x2-3x＜0的解集 .
(3)用类似的方法求一元二次不等式x2-3x-4＞0的解集.
（10分）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横
两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 eq \f(2,5)，求横、竖彩条的宽度.
（10分）【阅读材料】若x2+y2+8x-6y+25=0,求x,y的值.
解:(x2+8x+16)+(y2-6y+9)=0,(x+4)2+(y-3)2=0,
∴x+4=0,y-3=0,
∴x = -4,y = 3.
【解决问题】
（1）已知m2+n2-12n+10m+61=0,求(m+n)2023的值;
【拓展应用】
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,且b,c满足b2+c2=8b+4c-20,a是△ABC
中最长的边,求a的取值范围.
25.（12分）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“痕哀、琼琼和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量(件)与销售单 价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为36件;当销售单价为34元时，销售量为32件.
(1)请求出y与x的函数关系式;
(2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为W元.
①写出W与x的函数关系式;
②将该商品销售单价定为多少元时,才能使网店每周销售该商品所获利润最大?最大利润是多少?
26.（14分）如图在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴分别交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3),连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标。
(2)P为线段BC上的一个动点(点P不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.
(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动,同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点0运动,在平面内是否存在点N,使得以点P,M,B,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.