1_5.3　三角函数的图象与性质（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

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考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点( )
A.向左平移π5个单位长度
B.向右平移π5个单位长度
C.向左平移π15个单位长度
D.向右平移π15个单位长度
2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx−π4的图象,则f(x)=( )
A.sinx2−7π12 B.sinx2+π12
C.sin2x−7π12 D.sin2x+π12
3.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x−12的交点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9 B.7π6
C.4π3 D.3π2
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=( )
A.sinx+π3 B.sinπ3−2x
C.cs2x+π6 D.cs5π6−2x
6.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
考点2 三角函数的性质
1.(2023天津,5,5分,易)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=sinπ2x B.f(x)=csπ2x
C.f(x)=sinπ4x D.f(x)=csπ4x
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sinx−π6单调递增的区间是( )
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
3.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和2 B.3π和2
C.6π和2 D.6π和2
4.(2022北京,5,4分,易)已知函数f(x)=cs2x-sin2x,则( )
A. f(x)在−π2,−π6上单调递减
B. f(x)在−π4,π12上单调递增
C. f(x)在0,π3上单调递减
D. f(x)在π4,7π12上单调递增
5.(2023全国乙理,6,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f −5π12=( )
A.-32 B.−12 C.12 D.32
6.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3A.1 B.32 C.52 D.3
7.(2018课标Ⅱ,10,5分,中)若f(x)=cs x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
8. (2022全国甲,11,5分,中)设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A.53,136 B.53,196
C.136,83 D.136,196
9.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分,中)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,0中心对称,则( )
A. f(x)在区间0,5π12单调递减
B. f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线
(2022北京,13,5分,中)若函数f(x)=Asin x-3cs x的一个零点为π3,则A= ;
f π12= .
11.(2019课标Ⅰ文,15,5分,中)函数f(x)=sin2x+3π2-3cs x的最小值为 .
12.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
13.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
14.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
15.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
16.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcs φ+cs ωxsin φω>0,φ<π2.
(1)若f(0)=-32,求φ的值;
(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增, f 2π3=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f π3=2;
条件②: f −π3=-1;
条件③: f(x)在区间−π2,−π3上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东湛江调研,4)已知函数f(x)=asin 2x+cs 2x+2(a>0)的最小值为0,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.3
2.(2023北京昌平二模,5)将函数y=2cs2x2−1的图象向右平移π4个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间−π6,π3上单调递增
B.在区间−π6,π3上单调递减
C.在区间5π12,7π12上单调递增
D.在区间5π12,7π12上单调递减
3.(2023皖南八校一模,6)已知函数f(x)=3sin x2cs x2−sin2x2+12,则下列结论正确的有( )
A.|f(x)|的最小正周期为2π
B.直线x=-π3是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在0,π2上单调递增
D.若f(x)在区间−π2,m上的最大值为1,则m≥π3
4.(2024届福建厦门外国语学校期中,5)将函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的图象向左平移π2ω个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在0,π2上单调递减,则ω的取值范围为( )
A.(0,3] B.(0,2] C.0,43 D.0,53
5.(2024届江苏连云港海州高级中学阶段测试,7)已知函数f(x)=sin x+3cs x(x∈R),先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值为( )
A.11π18 B.π3 C.2π3 D.5π18
6.(2024届四川眉山仁寿铧强中学诊断,10)已知函数f(x)=sin2x−π3,则下列结论不正确的是( )
A.若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为5π12
B.2π3,0是函数f(x)图象的一个对称中心
C.π为函数|f(x)|的一个周期
D.将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后,得到一个偶函数的图象
7.(2024届云南昆明五华期中,13)函数f(x)=sin 2x+cs 2x在0,π2上的最大值是 .
8.(2024届北京交大附中月考,12)函数f(x)=cs(πx+φ)0<φ<π2的部分图象如图所示,则φ= ,x0= .
综合拔高练
1.(2023河南郑州二模,9)将函数y=sin 2x+π3图象上的点A(m,n)向右平移14个周期得到点A',若A'位于函数y=cs 2x的图象上,则m的值可以是( )
A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
2.(2024届四川雅安零诊,12)已知函数f(x)=3sin4x+π3+4sin4x−π6,设∀x∈R,∃x0∈R, f(x)≤f(x0),则tan4x0−2π3等于( )
A.-43 B.−34 C.34 D.43
3.(多选)(2024届山东德州临邑第一中学月考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终点经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:ss x=y0+x0r,称“ss x”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数f(x)=ss x”,有同学得到以下性质,其中正确的是( )
A. f(x)的值域为[-2,2]
B. f(x)的图象关于π4,0对称
C. f(x)的图象关于直线x=34π对称
D. f(x)为周期函数,且最小正周期为2π
4.(多选)(2024届辽宁朝阳联考,12)设符号函数sgn(x)=−1,x<0,0,x=0,1,x>0,已知函数f(x)=sgn(x+π)sin x+cs(x+π),则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在−2π,π4上的值域为[-2,2]
C.f(x)在−π,−π4上单调递减
D.函数g(x)=2f(x)-1在[-3π,2π]上有5个零点
(多选)(2024届广东江门调研,12)若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x∈R,都有
f −2π3+x+f π6−x=0, f 'π3−x+f 'π6+x=0,其中f '(x)为f(x)的导数,则下列结论正确的是( )
A.点−π4,0是函数f(x)图象的一个对称中心
B.ω必定为奇数
C.当ω=3时, f(x)在−π12,π6上单调递增
D.当ω=5时, f(x)在0,π6上存在极值
6.(2023浙江强基联盟2月统测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,φ<π2, f(x)≤fπ6, f(x)+f 4π3−x=0, f(x)在π36,π6上单调,则正整数ω的最大值为 .
7.(2024届浙江名校联盟模拟(一),16)已知函数f(x)=3cs ωx-sin ωx(ω>0)在区间[0,π]上恰有三个极值点和三个零点,则ω的取值范围是 .
8.(2024届黑龙江佳木斯第一中学第三次调研,16)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图, f(x1)=f(x2)=-23,则csπ6(x2−x1)= .
5.3 三角函数的图象与性质
五年高考
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点( )
A.向左平移π5个单位长度
B.向右平移π5个单位长度
C.向左平移π15个单位长度
D.向右平移π15个单位长度
答案 D
2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx−π4的图象,则f(x)=( )
A.sinx2−7π12 B.sinx2+π12
C.sin2x−7π12 D.sin2x+π12
答案 B
3.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x−12的交点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
4.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9 B.7π6
C.4π3 D.3π2
答案 C
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=( )
A.sinx+π3 B.sinπ3−2x
C.cs2x+π6 D.cs5π6−2x
答案 BC
6.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
答案 -32
考点2 三角函数的性质
1.(2023天津,5,5分,易)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=sinπ2x B.f(x)=csπ2x
C.f(x)=sinπ4x D.f(x)=csπ4x
答案 B
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sinx−π6单调递增的区间是( )
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
答案 A
3.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和2 B.3π和2
C.6π和2 D.6π和2
答案 C
4.(2022北京,5,4分,易)已知函数f(x)=cs2x-sin2x,则( )
A. f(x)在−π2,−π6上单调递减
B. f(x)在−π4,π12上单调递增
C. f(x)在0,π3上单调递减
D. f(x)在π4,7π12上单调递增
答案 C
5.(2023全国乙理,6,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f −5π12=( )
A.-32 B.−12 C.12 D.32
答案 D
6.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3A.1 B.32 C.52 D.3
答案 A
7.(2018课标Ⅱ,10,5分,中)若f(x)=cs x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
答案 A
8. (2022全国甲,11,5分,中)设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A.53,136 B.53,196
C.136,83 D.136,196
答案 C
9.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分,中)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,0中心对称,则( )
A. f(x)在区间0,5π12单调递减
B. f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线
答案 AD
(2022北京,13,5分,中)若函数f(x)=Asin x-3cs x的一个零点为π3,则A= ;
f π12= .
答案 1;-2
11.(2019课标Ⅰ文,15,5分,中)函数f(x)=sin2x+3π2-3cs x的最小值为 .
答案 -4
12.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
答案 [2,3)
13.(2022全国乙理,15,5分,中)记函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
答案 3
14.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
答案 x=-524π
15.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
答案 ②③
16.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcs φ+cs ωxsin φω>0,φ<π2.
(1)若f(0)=-32,求φ的值;
(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增, f 2π3=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f π3=2;
条件②: f −π3=-1;
条件③: f(x)在区间−π2,−π3上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 (1)由题意得f(x)=sin(ωx+φ),
∴f(0)=sin φ=-32,∵|φ|<π2,∴φ=-π3.
(2)条件①与f(x)在−π3,2π3上单调递增, f 2π3=1矛盾,显然不选条件①.
选条件②.
∵f(x)在−π3,2π3上单调递增,且f 2π3=1, f −π3=-1,∴T2=2π3−−π3=π,∴T=2πω=2π,
∴ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ),∵f 2π3=sin2π3+φ=1,
∴2π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),即φ=-π6+2kπ(k∈Z),
∵|φ|<π2,∴φ=-π6.
选条件③.
∵f(x)在−π2,−π3上单调递减,在−π3,2π3上单调递增,∴f(x)在x=-π3处取得最小值,
即f −π3=-1.
以下同选条件②.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东湛江调研,4)已知函数f(x)=asin 2x+cs 2x+2(a>0)的最小值为0,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.3
答案 D
2.(2023北京昌平二模,5)将函数y=2cs2x2−1的图象向右平移π4个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间−π6,π3上单调递增
B.在区间−π6,π3上单调递减
C.在区间5π12,7π12上单调递增
D.在区间5π12,7π12上单调递减
答案 D
3.(2023皖南八校一模,6)已知函数f(x)=3sin x2cs x2−sin2x2+12,则下列结论正确的有( )
A.|f(x)|的最小正周期为2π
B.直线x=-π3是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在0,π2上单调递增
D.若f(x)在区间−π2,m上的最大值为1,则m≥π3
答案 D
4.(2024届福建厦门外国语学校期中,5)将函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的图象向左平移π2ω个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在0,π2上单调递减,则ω的取值范围为( )
A.(0,3] B.(0,2] C.0,43 D.0,53
答案 D
5.(2024届江苏连云港海州高级中学阶段测试,7)已知函数f(x)=sin x+3cs x(x∈R),先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值为( )
A.11π18 B.π3 C.2π3 D.5π18
答案 D
6.(2024届四川眉山仁寿铧强中学诊断,10)已知函数f(x)=sin2x−π3,则下列结论不正确的是( )
A.若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为5π12
B.2π3,0是函数f(x)图象的一个对称中心
C.π为函数|f(x)|的一个周期
D.将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后,得到一个偶函数的图象
答案 A
7.(2024届云南昆明五华期中,13)函数f(x)=sin 2x+cs 2x在0,π2上的最大值是 .
答案 2
8.(2024届北京交大附中月考,12)函数f(x)=cs(πx+φ)0<φ<π2的部分图象如图所示,则φ= ,x0= .
答案 π6;53
综合拔高练
1.(2023河南郑州二模,9)将函数y=sin 2x+π3图象上的点A(m,n)向右平移14个周期得到点A',若A'位于函数y=cs 2x的图象上,则m的值可以是( )
A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
答案 D
2.(2024届四川雅安零诊,12)已知函数f(x)=3sin4x+π3+4sin4x−π6,设∀x∈R,∃x0∈R, f(x)≤f(x0),则tan4x0−2π3等于( )
A.-43 B.−34 C.34 D.43
答案 B
3.(多选)(2024届山东德州临邑第一中学月考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终点经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:ss x=y0+x0r,称“ss x”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数f(x)=ss x”,有同学得到以下性质,其中正确的是( )
A. f(x)的值域为[-2,2]
B. f(x)的图象关于π4,0对称
C. f(x)的图象关于直线x=34π对称
D. f(x)为周期函数,且最小正周期为2π
答案 AD
4.(多选)(2024届辽宁朝阳联考,12)设符号函数sgn(x)=−1,x<0,0,x=0,1,x>0,已知函数f(x)=sgn(x+π)sin x+cs(x+π),则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在−2π,π4上的值域为[-2,2]
C.f(x)在−π,−π4上单调递减
D.函数g(x)=2f(x)-1在[-3π,2π]上有5个零点
答案 CD
(多选)(2024届广东江门调研,12)若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x∈R,都有
f −2π3+x+f π6−x=0, f 'π3−x+f 'π6+x=0,其中f '(x)为f(x)的导数,则下列结论正确的是( )
A.点−π4,0是函数f(x)图象的一个对称中心
B.ω必定为奇数
C.当ω=3时, f(x)在−π12,π6上单调递增
D.当ω=5时, f(x)在0,π6上存在极值
答案 ABD
6.(2023浙江强基联盟2月统测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,φ<π2, f(x)≤fπ6, f(x)+f 4π3−x=0, f(x)在π36,π6上单调,则正整数ω的最大值为 .
答案 7
7.(2024届浙江名校联盟模拟(一),16)已知函数f(x)=3cs ωx-sin ωx(ω>0)在区间[0,π]上恰有三个极值点和三个零点,则ω的取值范围是 .
答案 176,103
8.(2024届黑龙江佳木斯第一中学第三次调研,16)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图, f(x1)=f(x2)=-23,则csπ6(x2−x1)= .
答案 13