1_61　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示（含答案）-2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

这是一份1_61　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示（含答案）-2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共11页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,c=等内容，欢迎下载使用。

五年高考
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则CB= ( )
A.2CD−CA B.2CA−CD
C.2CD+CA D.2CA+CD
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )
A.AD=−13AB+43AC B.AD=13AB−43AC
C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB−13AC
5.(2014课标Ⅰ,6,5分,易)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=( )
A.AD B.12AD
C.BC D.12BC
6.(2017北京理,6,5分,易)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(2015北京理,13,5分,中)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x= ;y= .
考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
2.(2018课标Ⅲ文,13,5分,易)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
3.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ= .
三年模拟
综合基础练
1.(2023广东茂名一模)已知△ABC,AB=c,AC=b,若点M满足MC=2BM,则AM=( )
A.13b+23c B.23b-13c
C.53c-23b D.23b+13c
2.(2024届天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为AD的是( )
A.-(CB+MC)-(DA+BM)
B.-BM−DA+MB
C.(AB−DC)-CB
D.AD-(CD+DC)
3.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,6)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD=λAC+μAE,则λ-μ的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-3
4.(2023江苏南通二模,3)已知向量a=(2,1),b=(x,2),若(a+3b)∥(a-b),则实数x=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.(2023浙江嘉兴基础测试,3)在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=2EC,CF=3FD,记AB=a,AD=b,则EF=( )
A.-34a+13b B.34a+13b
C.34a-13b D.-14a+13b
6.(2023四川绵阳模拟,4)已知平面向量a,b不共线,AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b,则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
7.(2023福建漳州二模,6)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC、CD的中点,若AG=23AB+56AD,EG=λEF,则λ=( )
A.14 B.13 C.23 D.34
8.(2024届广东普宁二中第一次月考,13)已知向量a=(2,-3),b=(-1,2),c=(t-2,3t).若向量c与2a+b平行,则实数t的值为 .
综合拔高练
1.(2024届湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,则|c|=( )
A.35 B.43 C.10 D.5
2.(2023河北石家庄一模,5)△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于点D,且AD=45AM,AN=λAB,则λ=( )
A.23 B.34 C.45 D.56
3.(2024届湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是( )
A.AB·AC=AB·AD
B.OA·OB+OC·OF=0
C.EG和HD是一对相反向量
D.|AB−BC+CD+EF−FG|=a
4.(2023广西南宁模考,6)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若BC=a,BA=b,BE=3EF,则AE=( )
A.1225a-1625b B.1625a+1225b
C.1225a+925b D.925a-1225b
5.(2024届山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|<|a+2b| D.|2b|>|a+2b|
6.(2024届河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足GA+GB+GC=0,过点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若AD=xAB,AE=yAC(xy≠0),则1x+1y=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.(2023安徽淮南一模,5)在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB中点,AE=12EC,若AP=AD+AE,则直线AP经过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
8.(2023湖北十一校第一次联考,6)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记AB=a,AD=b,则AG=( )
A.311a+411b B.611a+311b
C.411a+511b D.311a+611b
9.(2024届山东滕州一中阶段练,19)在△OPQ中,OA=12OP,OB=14OQ,QA与PB相交于点C,设OP=a,OQ=b.
(1)用a,b表示OC;
(2)过C点作直线l分别与线段OQ,OP交于点M,N(不与端点重合),设OM=λOQ,ON=μOP,求μ+3λ的最小值.
专题六 平面向量与复数
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
五年高考
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案 B
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则CB= ( )
A.2CD−CA B.2CA−CD
C.2CD+CA D.2CA+CD
答案 A
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
答案 A
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )
A.AD=−13AB+43AC B.AD=13AB−43AC
C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB−13AC
答案 A
5.(2014课标Ⅰ,6,5分,易)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=( )
A.AD B.12AD
C.BC D.12BC
答案 A
6.(2017北京理,6,5分,易)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
7.(2015北京理,13,5分,中)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x= ;y= .
答案 12;-16
考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
答案 B
2.(2018课标Ⅲ文,13,5分,易)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
答案 12
3.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ= .
答案 4
三年模拟
综合基础练
1.(2023广东茂名一模)已知△ABC,AB=c,AC=b,若点M满足MC=2BM,则AM=( )
A.13b+23c B.23b-13c
C.53c-23b D.23b+13c
答案 A
2.(2024届天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为AD的是( )
A.-(CB+MC)-(DA+BM)
B.-BM−DA+MB
C.(AB−DC)-CB
D.AD-(CD+DC)
答案 B
3.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,6)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD=λAC+μAE,则λ-μ的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-3
答案 D
4.(2023江苏南通二模,3)已知向量a=(2,1),b=(x,2),若(a+3b)∥(a-b),则实数x=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 B
5.(2023浙江嘉兴基础测试,3)在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=2EC,CF=3FD,记AB=a,AD=b,则EF=( )
A.-34a+13b B.34a+13b
C.34a-13b D.-14a+13b
答案 A
6.(2023四川绵阳模拟,4)已知平面向量a,b不共线,AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b,则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
答案 D
7.(2023福建漳州二模,6)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC、CD的中点,若AG=23AB+56AD,EG=λEF,则λ=( )
A.14 B.13 C.23 D.34
答案 C
8.(2024届广东普宁二中第一次月考,13)已知向量a=(2,-3),b=(-1,2),c=(t-2,3t).若向量c与2a+b平行,则实数t的值为 .
答案 813
综合拔高练
1.(2024届湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,则|c|=( )
A.35 B.43 C.10 D.5
答案 D
2.(2023河北石家庄一模,5)△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于点D,且AD=45AM,AN=λAB,则λ=( )
A.23 B.34 C.45 D.56
答案 A
3.(2024届湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是( )
A.AB·AC=AB·AD
B.OA·OB+OC·OF=0
C.EG和HD是一对相反向量
D.|AB−BC+CD+EF−FG|=a
答案 C
4.(2023广西南宁模考,6)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若BC=a,BA=b,BE=3EF,则AE=( )
A.1225a-1625b B.1625a+1225b
C.1225a+925b D.925a-1225b
答案 A
5.(2024届山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|<|a+2b| D.|2b|>|a+2b|
答案 D
6.(2024届河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足GA+GB+GC=0,过点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若AD=xAB,AE=yAC(xy≠0),则1x+1y=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2023安徽淮南一模,5)在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB中点,AE=12EC,若AP=AD+AE,则直线AP经过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
答案 A
8.(2023湖北十一校第一次联考,6)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记AB=a,AD=b,则AG=( )
A.311a+411b B.611a+311b
C.411a+511b D.311a+611b
答案 D
9.(2024届山东滕州一中阶段练,19)在△OPQ中,OA=12OP,OB=14OQ,QA与PB相交于点C,设OP=a,OQ=b.
(1)用a,b表示OC;
(2)过C点作直线l分别与线段OQ,OP交于点M,N(不与端点重合),设OM=λOQ,ON=μOP,求μ+3λ的最小值.
解析 (1)∵A,C,Q三点共线,∴设AC=kAQ,k∈R,即OC−OA=k(OQ−OA),∵OA=12OP=12a,OQ=b,
∴OC=kOQ+(1-k)OA=kb+(1−k)2a.
由P,C,B三点共线可设OC=tOP+(1-t)OB=ta+(1−t)4b,t∈R,
根据平面向量基本定理知:t=1−k2,k=1−t4,解得k=17,t=37.
∴OC=37a+17b.
(2)由N,C,M三点共线,设OC=xOM+(1-x)ON,
则OC=xOM+(1-x)ON=xλb+(1-x)μa.
又由(1)知OC=37a+17b,所以xλ=17,(1−x)μ=37,故有37μ+17λ=1.
因为0<λ,μ<1,
所以(μ+3λ)37μ+17λ=67+9λ7μ+μ7λ≥67+2949=127,当且仅当λ=27,μ=67时等号成立,
从而可得μ+3λ的最小值为127.